P. 4- F. II

Si le cylindre (X) est placé de telle façon qu’il reçoive l’ombre du pieu planté perpendiculairement sur le sol , et qu’il faille déterminer l’ombre que EB projeté sur sa surface, l’opération se réduira à abaisser du point A , axe du cylindre , la perpendiculaire A a , à mener ensuite par le point a , la ligne a 5 parallèlement à A4; et comme cet axe est dirigé au point de vue , a 5 devra aussi concourir à ce point. Alors prolongeant l’ombre BC jusqu’à la

rencontre de 2 5 en i , on éièvera i 3 , du point 3 pris sur Taxe du cylindre et d’un rayon égal à 3 r , si l’on décrit l’arc 1 9 D jusqu’à la rencontre du rayon ED, on aura la continuité de l’ombre B G sur le cylindre et le point d’ombre D de rextréraité E du pieu, sera son terme sur la surface cylindrique.

REMARQUE

Il faut observer dans cet exemple , que l’ombre du pieu sur la surface du cylindre ne doit comjnencer à être visible qu’au point 9 , où l’arc i 9 D tangente la ligne de surface 7 8.

Supposons cpie le cylindre (X), au lieu d’être comme dans la proposition précédente, dirigé vers le point de vue, ait un autre point évanouissant dans le tableau et qu’il s’agisse de trouver la projection de l’ombre du pieu DE sur sa surface : pour cela, par le centre A de la circonférence du cylindre , on abaissera la perpendiculaire AB, par le point B, 011 mènera B 4 parallèlement à Il A. en tirant au point évanouissant de cette ligne. Après cette disposition , on déterminera comme à l’ordinaire l’ombre E 5 du

pieu, jusqu’à la rencontre de BC, l’aire du cylindre. On prendra ensuite sur la courbe NHB autant de points que l’on jugera nécessaire pour avoir d’une manière précise la continuation de l'ombre E5 sur le cylindre. Soit NOIIR les points choisis : voulant chercher sur la surface du cylindre, le point d’ombre qui passe par la hauteur H du point H par exemple, on tirera par ce point et le point évanouissant de l’axe du cylindre la droite HZ , on abaissera H 4 et on mènera 4 8 parallèlement à HZ; par le point 8 rencontre de 8 4 avec 5 E , on élèvera la perpendiculaire 8 9 jusqu’à la rencontre de HZ , et le point 9 sera le point d’ombre cherché.

REMARQUE

On voit aisément que bien qu’il faille déterminer l’ombre sur une surface cylindrique , on y arrive cependant par les moyens enseignés aux premières propositions , c’est-à-dire , en supposant qu’on ait pris sur DE des points à volonté comme L, F, etc., et qu’après avoir déterminé, au moyen des rayons, leurs points d’ombres en K et T sur le sol , on ait fait appartenir ces points à deux surfaces planes, ou à deux plans OM 7 3 et 11984; ou plutôt encore, qu’on ait redressé les ombres RE et TE, aux points 8 et 7 où elles rencontrent les plans II984 et OM 7 3 qui touchent Taire du cylindre selon les lignes II 9 et OM; et qu’eiiün ces ombres aient été déterminées par les rayons, aux points M et 9.

Cette proposition étant fondamentale , il est indispensable de la bien comprendre avant de passer outre : elle exige surtout , qu’on se rende bien compte des plans supposés sur lesquels on relève les points d’ombres, afin d’en pouvoir faire toutes les applications possibles.

Soit AB, le bâton incliné dont on veut projeter l’ombre sur le cylindre (X) , AC le plan du bâton , et A 3 celui de l’ombre trouvé par le moyen de YM et du rayon SYI; il s’agit donc de continuer l’ombre sur le cylindre à partir du point 3 ; pour

cela, on mènera 4 N parallèlement à LO jusqu’à la rencontre du plan du bâton AC; on prendra à volonté plusieurs points sur le quart de cercle LP, tels que i par exemple, et on cbercliera sur la surface du cylindre l’ombre de ce point de hauteur et

de tous les autres de cette manière; on abaissera du point 2 la

perpendiculaire 2 5 , jusqu’à la rencontre de 4 N plan de la base

du cylindre. Du point 5 on mènera 8 5'], parallèlement à l’axe

OR, jusqu’à la rencontre du plan du bâton AC. Au point 7, on

élèvera perpendiculairement 7 B jusqu’à la rencontre du bâton ; on joindra le point B avec le point 8 , intersection de la droite 5 8 avec le pian de l’ombre. Le point 9 donné par la rencontre de

la parallèle à l’axe partant du point 2 , déterminera le point d’ombre cherché.

On voit par cette méthode , qu’on trouve le point que l’on a

pris sur le quart de cercle LP, en le faisant appartenir au plan de l’ombre ; car le point 2 que l’on a choisi pour exemple , n’est

d’abord qu’un point de la surface du cylindre , dont on reconnaît l’élévation par le moyen de la perpendiculaire 2 5 qu’on abaisse de ce point sur le plan de la base du cylindre 4 N > la plus rapprochée de la ligne de terre. Si par le point 2 et le point 5 , qui n’est que le plan du premier , on mène des parallèles indéfinies comme 87 et 2 T , et qu’aux points 7 et 8 , où 87 rencontre le plan du bâton et celui de son ombre , on élève d’abord 7 B perpendiculairement jusqu’à la rencontre du bâton en B (i); et qu’enfin on joigne ce point B avec le point 8, il est évident qu’on aura déterminé un plan 8 7 B perpendiculaire au parquet du tableau , et que les points 8, 7, B, 5, 2, 9, se trouvent compris dans ce plan : mais comme 8 5 et 29 sont des lignes parallèles, le point 9 est aussi élevé sur la surface du cylindre que le point 2. De plus, le point 9 étant aussi dans le plan de l’ombre, sera donc le point cherché.

L’opération est la même pour les autres points.

On voit qu’il a fallu supposer le bâton prolongé vers Z pour les points au-dessus du point 2 , comme P , etc.

(i) Il ne faut point oublier que le plan ou la projection horizontale d’une ligne placée au-dessus du terrain perspectif est toujours déterminé sur le sol, par I intersection d’un plan perpendiculaire à ce terrain. Cette projection ou ce plan est un point , quand la droite est perpendiculaire au sol , une ligne d’égale grandeur à la droite proposée, quand elle est dans un plan horizontal, et eniln une ligne toujours plus petite que la droite en question, quand cette dc.'^nicre est inclinée par ra])poil au terrain perspectif du tableau.

Ayant comme à l’ordinaire déterminé par le moyen du point X pris à volonté sur AB et du rayon SXi, la direction de l’ombre du bâton en BM, et BN étant son plan perspectif donné par construction , pour avoir la projection de l’ombre sur le cylindre , on prendra, comme dans les leçons précédentes, des points à volonté sur la circonférence qui sert de base au cylindre , comme le point G par exemple ; de ce point on abaissera la perpendiculaire GF, jusques au plan de la base du cylindre. Au point F on mènera parallèlement F Y jusqu’à la rencontre du plan NB. Au point Y on élèvera la perpendiculaire YD jusqu’au bâton; du point D on mènera au point d’ombre K la droite KD, qui, rencontrant la parallèle à l’axe G G au point R , déterminera ce point pour le point cherché. Ayant opéré de même pour tous les autres points comme 3, on aura la projection 2R3 de l’ombre du bâton sur le cylindre.

Si l’on voulait avoir le retour de l’ombre de AB sur le mur, on n’aurait qu’à prolonger le plan de l’ombre jusqu’à la rencontre en M du pied du mur, et joignant ensuite le point M et le point A, point d’appui du bâton sur le mur, on aurait l’ombre MA, qu’on rendrait visible de Z en A, à cause de Faire du cylindre qui en cache une partie.

lopoMticr).

"mechon c/e 1 0'>7i/>e c/ u7t tk>/ic/e tj/m' (e^>

'/na7'cA&f c/ c(7i eJca//c7'.

Soit (X), le solide dont on veut projeter l’ombre sur l’escalier; par les points supérieurs ABDC, on mènera les rayons B b’ , Dd’, Ce’, parallèles au rayon principal S A a’; par les points i, 2, 3, 4 de la base, on tracera comme en 4> l’ombre 4 F jusqu’au bord de la première marche en F ; de ce point on abaissera perpendiculairement FY ; du point Y on mènera YE, et enfin on continuera à suivre l’ombre parallèlement et perpendiculairement à la ligne de terre, selon les plans de l’escalier, jusqu’à ce qu’elle rencontre le rayon C c’ passant par le point supérieur de la ligne 4 C ; et le point c’ sera le terme de l’ombre pour le point C. Ayant ainsi trouvé les points b’ , c’ , a’ , on n’aura plus qu’à les joindre par les lignes d’ombres correspondantes aux lignes naturelles, et on aura la projection demandée.

REMARQUE

La trace de l’ombre de chacune des arêtes du solide (X) n’est marquée ici sur les surfaces ombrées de l’escalier, qu’afin d’indiquer l’opération ; les ombres n’étant point visibles sur les plans privés de lumière.

ojectto^t c/e l c/ un oî/Jcnc/re u^

uite?^ac.

( P. 6. F. iG. )

L’opération pour trouver cette ombre est extrêmement simple : par les points diamétraux BG, de la base supérieure du cylindre, on abaissera les perpendiculaires BA, GO, on cherchera l’ombre de ces droites sur le mur , par le moyen des rayons G g’ , B b’ , comme à la deuxième proposition ; on prendra ensuite autant de points que l’on jugera convenable sur la demi circonférence ombrée comme D , G ; on opérera de même pour chacun de ces points , et leurs ombres c’ , d’ , sur le mur (X) , donneront la

courbe b’ c’ d’ g’ , qui terminera l’ombre du cylindre proposé.

L’ombre de la banquette (Y) sur la surface éclairée du cylindre, s’obtiendra toujours par le même principe, en prenant sur le bord supérieur du mur (Y) , des points à volonté comme K , et en cherchant leur ornbre par une ligne supposée comme RL, de même que dans la première proposition. Le point T où le plan d’ondjre RLAT est terminé par le rayon RT, sera l’ombre

du point R. Cherchant de la même manière d’autres points , on

aura la projection de la ligne ER du mur (Y), sur le cylindre, par la courbe TE.

L’ombre de I4 banquette (A) sur le mur du fond et sur le

parquet (Z), s’obtiendra en prolongeant un des rayons passant par

le point supérieur du bord du mur, comme P par exemple, juscj[u’à la rencontre de la parallèle partant du point R plan de ce point supérieur. Le point J donnera la ligne d’ombre JP pour le mur, et JII pour le parquet; car le bord supérieur PR du mur (Y) étant dirigé au point de vue, son ombre devra concouruaussi à ce point; connaissant donc le point d’ombre J, il ne faudra plus que tirer par le point de vue et ce point, pour obtenir la ligne d’ombre JH (i).

REMARQUE

Nous ne répétons tous ces détails de pratique c[ue pour faciliter autant que possible l’intelligence des premières leçons qu’il est bon de revoir souvent ; puisque c’est en les appliquant diversement qu’on parvient à résoudre les cas qui, au premier abord, semblent présenter les plus grandes difficultés. C’est donc dans cette intention que nous plaçons de temps-en-temps quelques propositions aisées et qui rappellent les premiers principes. Cependant pour ne

(i) Lorsffu’un cylindre est éclairé par les rayons du corps lumineux supposé dans le plan du tableau , il est moitié ombré et moitié éclairé. Car on voit par le diamètre G B par lequel passent les rayons solaires , qu’il est évident qu’à partir de ses extrémités, tous les autres points, tels rapprochés qu’on puisse les supposer des points B, G, sont moins en saillie qu’eux et ne peuvent par-conséquent recevoir les rayons lumineux.

Le contraire a lieu pour les points de la surface cylindrique placée en rcgatxl du corps lumineux qui, à dater des points B, G, en allant vers F, reçoivent tcujours directement la lumière solaire , et vont en augmentant de clarté jusqu’au point F.

point rendre cet ouvrage trop volumineux, nous supposerons après cette deuxième section , que l’élève ayant acquis la pratique de ces opérations , ces redites deviendraient tout-à-fait inutiles.

Le mur circulaire concave (X) étant divisé régulièrement par le diamètre 12, du centre 3, on mènera au point de vue V le rayon 3^ ; par le point 4 on élèvera perpendiculairement 4 5 jusqu’au bord du mur; ce qui déterminera la portion éclairée et

celle ombrée du mur (X) , d’après ce que nous avons vu dans

la précédente proposition. Il ne s’agira donc plus, pour avoir la

projection de l’ombre sur le sol (Z) et sur le mur (X) , que de

prendre sur le bord supérieur 5 A de ce mur , autant de points qu’on le jugera nécessaire pour l’exactitude de la projection de la courbe ombrée , tels que ceux A , B , D , M , Q , 5 , et d’opérer ensuite pour tous ces points comme nous allons le faire pour le point M : on abaissera de ce point la droite MN ; on mènera la parallèle NO, jusqu’à la rencontre de la courbe, ou du pied du mur; on fera passer par le point supérieur M, le rayon MO jusqu’à NO, et le point O sera le point d’ombre cherché : le plan QG DP indique assez que la ligne d’ombre CDP, a été redressée perpendiculairement au point D, jusqu’à la rencontre en P du rayon

QP, et qu’on a trouvé l’ombre courbe OET en opérrmt ainsi pour le nombre de points qu’on a jugé convenable do prendre sur 5 A , pour l’exactitude de l’opération.

Quant à la projection de l’ombre de la surlace convexe du mur (Y) , l’opération étant absolument la même , il serait inutile de la décrire; on observera seulement que le ravon B A partant du coin du mur et rencontrant AC au point A , donne lui-raêrne l’ombre portée sur le mur parallèle (O).

Pour trouver cette projection , on abaissera d’abord par les points diamétraux i , 3 , de la table , les perpendiculaires A 2 , B 4 ? C 5 , D 8 , afin d’avoir son plan 8254 sur le parquet ; alors pour déterminer le plan de l’ombre de la surface (X), on cberchera d’après la méthode ordinaire, sur le parquet, les ombres des lignes A2, C5, 6 4, D 8. Les rayons partant des points supérieurs ACBD, donneront en Py’OM, la projection ombrée de la surface (X). Si la table n’avait pas d’épaisseur, cette projection suffirait; mais comme son épaisseur est représentée ici par Ai, B 3 , etc. , il faudra chercher encore par les memes moyens que l’on a employés pour la surface (X) , l’ombre de cette deuxième surface i 9 3

b’ dont les rayons iT, 9 x’ , 3L, b’ s’, donnent la projection sur le parquet en T x’ Ij s’.

En considérant ces deux circonférences ombrées , on verra que depuis y’OM, celle de la surface supérieure de la table (X) est extérieure , et quelles se croisent toutes deux aux points M et y’ , ou celle de la surface inférieure ressort et se projette sur le parquet jusqu’aux lignes d’ombres Z, U, r’ r” provenant du cylindi’e, qui sert de pied à la table. Le contour de l’ombre sur le parquet sera donc r’x’y’PMU.

Pour avoir l’ombre de la saillie 3 7 de la table posée sur le cylindre (Y) , on prendra sur la circonférence de la partie supérieure du cylindre, des points à volonté comme c’ R 7 , et on opérera pour chacun d’eux, comme on ^a opérer pour le point c’ , par exemple : de ce point on abaissera perpendiculairement c’ Q indéfiniment, et par ce point encore, on mènera la parallèle c’a’ jusqu’au point a’, appartenant à la surface inférieure de la table qui projette l’ombre sur le cylindre ; on fera passer un rayon a’ Q jusqu’à ce qu’il rencontre c’ Q , le point Q sera l’un des points de la courbe demandée ou de l’ombre e’ Q t’ , etc.

En jetant un regard sur la figure (Z), qui représente la coupe horizontale de la circonférence b’ 3 9 i en e’ c’ r’ , et celle c’ R 7 , etc., du cylindre en ErCR, etc., ou verra que cette opération n’est autre chose qu’une application des premiers princijies; car il ne s’agit absolument que de supposer des plans Ee’, Ce', Rr’, etc. , parallèles à celui du tableau ; ces plans doivent donc toucher le cylindre , suivant des droites perpendiculaires au parquet , dont les points E,C, R, représentent dans cette coupe les points supérieurs. Or, si par les extrémités e’ c’ r’ , etc., de ces plans, on fait passer des rayons de lumière qui doivent par la donnée

de la question y être compris; les points de rencontre sur la surface du cylindre des extrémités de ces rayons avec les perpendiculaires représentées ici par E,C,R, etc., doivent nécessairement déterminer une série de points qui donneront la courbe de l’ombre e’ Q t’ , comme on le voit au cylindre (Y) (i^.

Le soleil étant situé dans le plan du tableau , ses rayons parallèles embrassent ou enveloppent la sphère selon un de ses grands cercles : ceci se démontre en faisant passer une boule dans le vide d’un cylindre droit; car alors la surface du cylindre représente les rayons solaires, et ces rayons tangentent la surface do la sphère selon un de ses grands cercles.

Si cette propriété a lieu quand le soleil est dans le plan du

(i) Si la table, au lieu d’être circulaire, avait été de forme carrée, l’opération par laquelle on vient d’obtenir la projection ombrée de la circonférence du cercle A.DBC, aurait seryi à trouver celle de la table carrée sur la surface du cylindre (Y) qui lui sert de pied , et sur le parquet. Il n’aurait fallu , dans ce dernier cas , que tracer le plan perspectif de la table sur le sol , et opérer ensuite exactement comme dans cet exemple.

tableau, elle doit exister aussi dans telle position que puisse prendre le soleil à l’égard d’une sphère; car ses rayons étant toujours supposés parallèles entr’eux, celui des grands cercles de la sphère qui les recevra perpendiculairement, séparera la partie ombrée de la portion lumineuse et la projection de son ombre sur le sol ou sur un plan quelconque, sera l’ombre portée de la sphère.

D’après ce que l’on vient de voir , on conçoit qu’il s’agit d’abord de déterminer celui des grands cercles de la sphère qui est perpendiculaire au rayon solaire choisi : soit donc S s’ l’inclinaison des rayons solaires. Du point de contact A de la sphère avec le sol, on élèvera le rayon AB, j>ar le centre B du cercle (X), on îuènera le diamètre CR perpendiculairement à AB; par le centre et le point de vue, on tirera 9 Tt perpendiculairement à CR; on fera les rayons 9 B et BIT, égaux aux rayons CB et BR en tirant à la distance par les points R et C. On mènera par le centre B un diamètre fE, perpendiculaire au rayon S s’ , à son point de tangence avec la sphère. Par les points f et E du nouveau diamètre , on tirera au point de vue les parallèles 12, et 3 4 ati diamètre 9 H. Par les points 9 et II on mènera parallèlement au diamètre f’ E , les droites i 3 et !\ 2 qui détermineront par leurs rencontres . avec les droites perpendiculaires au tableau , le plan incliné i 3 4 2 , qui recevra sur sa surface les rayons solaires perpendiculairement. Alors ayant inscrit perspectivement le cercle 9 5 E 6 H 8 f 7 , ce cercle sera le grand cercle cherché qui divisera la sphère (X) en deux portions, dont l’une, celle en regard des rayons , sera éclairée , et l’autre dans l’ombre.

Maintenant pour avoir l’ombre portée de la sphère sur le sol , il ne s’agira que de projeter celle de ce grand cercle; pour cela, de tous les points du grand cercle on abaissera des perpendicu-

laires comme qT, HK, etc., sur le sol, on mènera les diamètres TR, MN, et on décrira lè plan perspectif du grand cercle pE Hf en T N RM. On cliercliera encore par la méthode ordinaire la projection de tous les points du grand cercle, et on aura l’orabrc portée sur le sol de la sphère (X), dans la projection O U s’ Z.

Comme il est toujours nécessaire de rappeler les principes, nous allons indiquer encore comment on doit chercher la projection d’ombre d’un des points du grand cercle, le point 9 par exemple; par ce point oij fera passer un rayon solaire 9 U , parallèle à celui S s’ qui a été choisi pour l’inclinaison des rayons. Du point T, plan du point 9, on mènera, parallèlement à la ligne de terre, TU, et la rencontre de cette ligne d’ombre avec le rayon passant par le point 9, déterminera le point U pour l’ombre de ce point 9. Il est évident qu’en opérant ainsi pour tous les autres points du grand cercle perpendiculaire aux rayons solaires, on aura la projection sur le sol de la sphère (X).

REMARQUE

Il faut remarquer que pour avoir plus de facilité dans celte dernière opération , il est bon de chercher toujours les points d’ombres des extrémités du même diamètre , ensuite les points qui se trouvent sur les diagonales du carré 3 4 2 i , comme 5,6,8, etc. ; on évite ainsi la confusion inséparable d’une épure difficile par la quantité de lignes qu’elle exige.

AB et CD sont les cercles perspectifs qui servent de base aux deux cylindres, ainsi qu’aux deux hélices de la vis. SI est le rayon solaire choisi à volonté.

Comme le soleil est dans le plan du tableau, il est évident qiie le rayon SI passant par le point I de la courbe de la grande hélice , projettera l’ombre de ce point en i’ sur le profil du plan incliné r’ r , parce que les points I , i’ , r , sont situés dans le même plan. L’ombre de la courbe IX de la grande hélice sur le plan incliné commencera donc en i’ ; mais comme pour projeter la courbe entière de cette ombre sur le plan incliné il faut plusieurs points, voici la méthode par laquelle on en peut déterminer autant qu’en exigera l’exactitude de l’opération.

On prendra par exemple un point 2 à volonté sur l’hélice I X ; par ce point, on mènera un rayon 22’ parallèle au rayon S I ; par le point 2 , on abaissera une perpendiculaire 2 2” , qui rencontrera la circonférence AB plan de l’hélice IX en 2”. Par ce point, on inènera 2” 2’ parallèlement à la ligne de terre , et on aura fait appartenir le rayon 2 2’ à un plan 2 2” 2’ , parallèle au tableau ; ce plan devra couper le plan incliné r’ r A' R , selon une courbe qui étant déterminée, donnera nécessairement par sa rencontre avec le rayon 22’, le point où ce rayon rencontrera le plan incliné et ce j^oint sera le point d’ombre cherché.

I>’opération se réduira mamtenant à déterminer des points appartenant à la courbe formée par la rencontre du plan a 2” 2’ avec le plan incliné de la vis. Pour cela , on prendra sur 2” 2 , un point quelconque T; par ce point et le centre P, on mènera le rayon PN; par les points N et R où ce rayon rencontrera les deux plans AB et CD de la grande et de la petite hélice, on élèvera des perpendiculaires NM et R 6, jusqu’aux rencontres IM et 6 sur les courbes des hélices rY et r’ Pi. Par les points M et G, on mènera 6M, et cette droite appartiendra au plan incliné et achèvera le plan NRGM dirigé à l’axe PV du cylindre. Maintenant par le point T on élèvera la perpendiculaire T O jusqu’à la rencontre de MG en O, et ce point appartiendra à la courbe cherchée. Le point Z étant évidemment le point de naissance de la courbe, en cherchant par la même méthode d’autres points de cette courbe, comme le point 7 par exemple, on tracera ZO7; mais comme le rayon 2 2’ est dans le plan de cette courbe , sa rencontre en 9 avec elle donnera le point cherché, c’est-à-dire, l’ombre du point 2 de l’hélice I X , sur le plan incliné de la vis , dont le profil est r’ r.

REMARQUE

On emploîra la même pratique pour chercher autant de points de la courbe ombrée, qu’on le jugera nécessaire à l’exactitude de sa projection sur le plan incliné de la vis.

Il faut encore observer, comme il arrive au point 3, que le rayon 3 3’ a une portion 8 3’ de son plan y’ 3’ qui sort de la circonférence AB; si on élève une perpendiculaire au point de section

8 , cette droite 8 4 déterminera au point 4 de la grande hélice rY, le point final de la petite courbe s’ Q 4 (i)-

La courbe ombrée i’ 9 U étant représentée dans cette figure par 2 A 5 , qu’il s’agisse de la projeter sur les retours du plan incliné de la vis : il est évident que les points de départ de l’ombre seront donnés par les rayons parallèles comme 4 3 , 21, etc. Maintenant si l’on veut avoir la projection du point A sur les retours supérieurs et inférieurs du plan incliné , il faudra d’abord chercher perspectivement le plan du point A en T ; par ce point et le centre P, on mènera O TP, aux points O et p’, où Op’ rencontre les deux plans des hélices, on élèvera les perpendiculaires OK et p’ r” , par tous les points de rencontre de ces droites avec la grande et la petite hélice ; on tracera des lignes comme K r’ r” , n’ M et les points a’ et a” donnés par les sections de ces obliques avec la verticale T A a” seront la représentation du point A sur les divers retours du plan incliné.

En opérant successivement ainsi pour tous les autres points de la courbe ombrée 2 A 5 , on aura la projection entière de l’ombre de la vis.

Nous pensons que les exemples que l’on vient de voir, doivent suffire pour apprendre la projection des ombres quand le soleil

(i) La perpendiculaire abaissée sur le plan du point dont on cherclie l’ombre, détermine toujours le départ de la courbe donnée par la section du plan coupant de l'ombre , avec le plan incliné de la vis.

est dans le plan du tableau. Ces principes ayant été bien conçus, on en doit pouvoir faire l’application dans tel cas que l’on puisse se proposer soi-méme.

mis lois OMBllS,

Xe § oîeiî QÏcùi\k eit cciKXiib c)ti GaEit

eccu.

Avant de nous occuper des ombres quand le coips lumineux est placé en avant du tableau , il est indispensable de se rendre compte de sa position dans l’espace, afin d’oter toute incertitude à ce sujet. i.° L’astre est toujours supposé en arrière du spectateur, et celui-ci ne peut apercevoir que la rencontre de ses rayons avec le sol. 2.° La position de l’astre à gauebe ou à droite du point de vue et son élévation dans l’espace est arbitraire, et doit être déterminée relativement au sujet que l’on éclaire et à l’effet d’ombre que l’on désire produire. 3.” Le soleil ou le corps lumineux qui cause l’ombre , est toujours du côté opposé au point du terrain perspectif qui représente la réunion ou la chute de ses rayons ; c’est-à-dire que , le foyer lumineux étant hors du tableau , et le point évanouissant de la chute de ses rayons devant être situé au-dessous de l’horizon , ces deux points sont nécessairement à l’opposite l’un de l’autre. 4-° Les ombres portées des objets, dans le cas que nous traitons, se projettent en fuyant vers la ligne horizontale et diminuent de grandeur à mesure qu’elles s’éloignent des corps opaques qui les causent.

^^OdÙw?l

ta/'/eaa.

Si nous supposons le soleil en S , et la droite AB la surface verticale du tableau , il est évident que l’œil V ne pourra apercevoir l’astre placé derrière lui, mais il verra le point C (i) chute du rayon SC qui rencontre le géométral BX, placé derrière la vitre B A. Ce point de chute C, placé au-dessous du plan de l’horizon , va dans les opérations que nous allons décrire , servir de point de réunion à toutes les lignes partant des points supérieurs des objets et représenter en quelque sorte l’astre même.

Si de ce point on mène une perpendiculaire à l’horizon, le point B, rencontre de cette droite avec le plan horizontal, sera

(0 Ce point C , dans la perspective , sera non-seulement la chute du rayon solaire choisi , mais nécessairement le point évanouissant de tous ceux dont on aura besoin pour la projection des ombres. Car le soleil étant situé hors du tableau , ses rayons font un angle quelconque avec son plan ; de plus , ces rayons sont parallèles ; ils doivent donc, dans ce cas, se réunir au même point évanouissant, qui est pour cela toujours supposé sur un plan passant par la ligne horizontale, ou la plus grande étendue de la vision. Dans ce deuxième cas de la position du corps lumineux, le point évanouissant de la chute de scs rayons, sera doi'énavant représenté par la lettre (S).

le pied ou le plan du soleil sur l’horizon , et c’esl à ce point que devront concourir toutes les lignes d’ombres piovenant des points plans des objets.

Le terrain perspectif BX étant dans le tableau figuré par l’espace B 2 , la perpendiculaire élevée sur l’horizon du point i (i) qui représente le soleil, sera i a sur la surface du tableau; le point 2 représentant le point R., deviendra sur la ligne horizontale du tableau, la réunion des lignes d’ombres, comme le point i représentant le point C , figurera le point de chute ou la réunion des rayons solaires.

Soit S le point de chute du rayon solaire pris arbitrairemenl ; de ce point élevant une perpendiculaire à l’horizon, le point 1* sera son plan : AB étant une droite perpendiculaire au sol, on aura la projection de son ombre, en joignant son plan à celui du soleil par AP, et son extrémité supérieure B, au point de chute S. La rencontre du rayon BS et de la ligne d’ombre A P en C, déterminera ce point pour l’ombre du point B. Quand à

(i) I.e point I n’est que !a perspective du point C, ciiute dos rayons solaires, mais comme ce point de chute dans les opérations représente le soleil mtine , sou image perspective i aura la même propriété.

l’ombre de la droite ED qui rencontre le mur en G, on mènera d’abord le rayon ES et la ligne d’ombre DP dirigée au plan du soleil. Au point G, où DP rencontre le mur, on redressera l’ombre selon IG perpendiculairement au sol, le point I rencontre de la ligne d’ombre avec le rayon E S , donnera l’ombre du point E sur le mur, et le terme de la longueur de l’ombre brisée DGI. On ramènerait l’ombre de b’ a’ projetée en a’ c’ sur le sol au géométral (Y), en Xa’”, en ayant, par la droite Va’ et la ligne a’ a” dirigée à la distance , déterminé le point géométral du point perspectif a’ en X, et la droite Xa’” pour la déclinaison que la ligne d'ombre c’a’” fait géométriquement avec la ligne de terre TU.

Je / J mi do/ic/e dur c/ed onarc/ied J edca/ie?'’.

De toutes les arêtes du solide proposé ayant abaissé des perpendiculaires à son plan , comme A E , BU, etc. , on obtiendra la projection perspective Eli G K. de tons ses points plans. Alors pour avoir celle de son ombre sur l’escalier il ne faudra plus que chercher l’ombre de toutes ces lignes en j^articidier ; par exemple , du point H plan de la droite supposée DU, on mènera au plan P des rayons ; au point L , où cette ligne d’ombre rencontre le pied de la marche 7 8 , on élèvera LO perpendiculairement jus-

qu’au bord 5 6 de la même marche; du point O l’ombre ayant à parcourir le plan horizontal de la marche , on la dirigera de nouveau vers le point P. Au point U, où OU rencontre le plan vertical de la deuxième marche , on redressera de même l’ombre ,

selon UR. Du point R on dirigera RT au plan P des rayons,

jusqu’à ce que cette ligne rencontre le rayon BT passant par le

point supérieur B. Le point T sera l’ombre du point B, et le point R celle du point D. Déterminant par la même méthode l’ombre du point A en Z , et continuant ainsi pour tous les autres angles du solide, et joignant ensuite ces divers points d’ombres entr’eux, on aura la projection ombrée du solide (X) sur les marches de l’escalier et sur le terrain perspectif.

Cette opération n’étant que la répétition de la (3i) et (Sa) proposition , il serait inutile de la détailler davantage ; il suffit de dire qu’on doit opérer pour tous les points du solide, comme

on a fait pour ceux-ci , en observant que toujours le rayon qui passe par le point supérieur, et la ligne d’ombre qui part du plan de ce point, donnent l’ombre du point supérieur (i).

Quand les lignes de l’objet comme BD, sont perpendiculaires à des plans horizontaux , leurs ombres sont dirigées au plan du soleil.

Lorsque les lignes d’un objet sont parallèles à l’horizon ou à

(i) Dans le cours de ces propositions il faut entendre par points supérieurs, les points d’un solide ou d’une ligne placée au-dessus du terrain perspectif et dans une position quelconque. Ainsi, quand pour obtenir la projection horizontale ou le plan du point A appartenant au solide (X) de cet exemple, en abaisse sur le terrain du tableau la verticale A E , le point d’intersection E de cette droite sur le parquet perspectif, est le plan du point supérieur A.

la ligne de terre , leurs représentations sur des plans horizontaux et verticaux ( quand ces derniers sont parallèles au tableau ) , conservent la position horizontale dans telle élévation où puisse se trouver l’astre, qui éclaire, placé en avant du tableau.

Soit AB le bâton incliné et AD son plan, que l’on supposera avoir été déterminé d’après un géomélral : pour avoir la direction de la ligne d’ombre qui doit prendre naissance en A, point de contact du bâton avec le sol , on choisira arbitrairement le point X sur le bâton ; par ce point on abaissera la perpendiculaire XC, jusqu’à la rencontre du plan d’inclinaison AD; alors on cherchera l’ombre de la ligne supposée XC, en menant CP et XS, comme dans les propositions précédentes , et la rencontre en O du rayon avec la ligne d’ombre, donnera ce point pour l’ombre du point X. Maintenant en revenant aux principes, on verra que connaissant sur un plan deux points appartenant à une ligne d’ombre, on aura la direction de cette ombre tant qu’elle ne rencontrera pas d’obstacle. Or on connaît le point A où l’ombre doit prendre naissance ; le point X que l’on a fait appartenir à une ligne supposée XC afin d’avoir son omlire en O, est un des points du bâton AB; donc le point O est aussi un point d’ombre du bâton. Puisqu’on connaît de l’ombre le point A et le point O, ou aura sa direction indéfinie.

Il reste à déterminer sa longueur sur le parquet, ce qui s’obtiendra en cherchant, comme on vient de le faire pour le point X, l’ombre du point B extrémité du bâton, en foisant appartenir ce point à une perpendiculaire BD prolongée jusqu’au pian AD, et en cherchant ensuite par le moyen du rayon BS et de la ligne d’ombre DP, le point d’ombre R, qui devra nécessairement être le terme de la projection de l’ombre du bâton sur le sol.

REMARQUE

On voit que pour avoir l’ombre de AB, la recherche de l’ombre du point X était inutile, et que puisqu’on connaissait le point A par la nature de la question , il suffisait de trouver l’ombre du point extrême B , pour avoir tout de suite l’ombre demandée. On n’a donc fait prendre un point X à volonté sur AB, que pour apprendre qu’il faut user de ce moyen quand les extrémités d’une ligne ne sont pas connues. Cette méthode est celle généralement mise en pratique dans ce traité , à cause qu’elle est la plus simple que l’on puisse employer et la plus utile aux peintres, parce quelle oblige moins que les autres, à prolonger les lignes d’opération hors des limites de la surface du tableau.

Cette difficulté de prolonger souvent à une très-grande distance les lignes qui nécessitent les opérations de perspective , est cause quelquefois de la négligence c[ue les artistes mettent à tracer exactement certaines parties de leurs compositions; et comme il faut être très-exercé dans la pratique de la science des projections , pour savoir suppléer à cet inconvénient, nous croyons faire une chose utile en donnant le moyen de l’éviter.

^(^’ecàcnt c/e^ 1 0772/t?^ c/ iù7t ^iieto e/^ c/ mt

êatmi mc/uie.

Le bâton AB étant incliné et appuyé sur le mur (X), et AC étant son plan , qu’il s’agisse d’avoir la projection de son ombre , ( le point S ayant été pris pour le point évanouissant de la chute des rayons ) alors on choisira à volonté sur AB le point E, on abaissera ED jusqu’à la rencontre du plan AC; par les points D et E on mènera la droite DP et le rayon ES, la rencontre de

ces deux lignes ayant déterminé le point d’ombre du point E en H , on aura la direction de l’ombre sur le sol , puisque le point A, naissance de l’ombre, et le point H suffisent pour la déterminer jusqu’au pied du mur en I. Un deuxième point étant indispensable pour avoir sa direction sur ce mur, on prendra ar¬

bitrairement un nouveau point L sur le bâton , et on cherchera son ombre comme pour le point E , mais en observant de la redresser perpendiculairement au point R , où elle touchera le pied du mur, jusqu’à la rencontre du rayon SL. Alors le point V étant un nouveau point d’ombre de AB, et le point I appartenant aussi à cette ombre, par ces deux points on la dirigera jusqu’au point F où elle rencontre le coin du mur ; mais comme le bâton touche le sol et le mur en A et en B , et que son

ombre doit aussi partir de ces points, on achèvera la projection de l’ombre cherchée , en joignant le point F au point B.

REMARQUE

La leçon précédente suffit pour apprendre comment on doit déterminer l’ombre du pieu MN dont le plan est QT, en cherchant, comme on a vu, l’omhre du point extrême M, en le faisant appartenir à une droite MT abaissée jusqu’au plan TQ. La ligne d’ombre TU étant relevée au point U jusqu’en R, rencontre du rayon MS, donnera le point R pour terme de l'ombre sur le mur (Y). Le pieu étant placé horizontalement, son ombre sur le mur devra être aussi parallèle à l’horizon; menant donc RO parallèlement à MN et joignant le point O au point N naissance de l’ombre, on aura la projection demandée Pi ON.

Après avoir cherché par la méthode précédente, l’ombre du point X en T et ayant, au moyen de ce point et du point A, diri

jusqu’au pied du mur l’ombre de la ligne RA, du plan incliné (A") on achèvera la projection de l’ombre , en cherchant celle du point extrême R sur le mur (Z) en F. La droite BE qui termine le plan incliné étant parallèle à l'horizon , si par le point F on mène la parallèle FN, la droite brisée AOFN sera l’ombre portée des lignes AB, BE, du plan incliné.

Les lignes d’ombres concourant dans certains cas aux mêmes points accidentels que les lignes qui les projettent, si du point O, où l’ombre AO rencontre le mur (Z), on mène une droite O F au point accidentel de l’oblique AB, O F donnera de même la direction de l’ombre de AB sur le mur (Z) (i).

Cette méthode n’étant pas plus brève que celle dont nous nous servons , et ayant en outre l’inconvénient d’obliger à la recherche du point accidentel de la droite AB, presque toujours située hors du plan du tableau , on ne l’indique ici que pour montrer que la pratique que l’on a adoptée est en effet la plus simple que l’on puisse employer et la plus convenable aux peintres.

iopo^tttor).

c/e 1 0771 c/ ime c/7^mte duru7t^i/a.

mc/me'.

ait

AB étant la ligne proposée, on cherchera son ombre B G sur

(1) Il est évident que, si l’on fait passer un plan par la droite AB prolongée jusqu’à la rencontre du mur (Z) , et qu’on ait la direction de ce plan sur le sol en AO, comme il doit passer par le point A où A B touche le sol , et par le point où AB prolongé suffisamment touche le mur, la droite qui passera par le point O et le point accidentel que l’on suppose R , sera la section sur le mur du plan qui passe par RB A et AO; et comme ce plan n’est autre chose que celui de l’omhre , on voit que si du point O on tire au point accidentel de B A, on aura OR pour la ligne d’ombre sur le mur (Z).

le sol en opérant sans avoir égard au plan incliné (Z). Ensuite pour avoir l’ombre sur le plan incliné, on mènera GF parallèlement à l’horizon, au point F, où cette droite rencontre le plan DE de la ligne inclinée DP, on élèvera FjN^ perpendiculairement au sol; au point N, rencontre de DP, on tracera MN sur le plan incliné et parallèlement à GF, jusqu’à la rencontre de GM; alors le point M appartiendra, comme on le voit, à la direction de la ligne d’ombre de AB sur Je plan incliné, à partir du point O où B O rencontre le pied CD du plan. Ainsi donc, après avoir

par le point O mené OM, le point H donné par la rencontre

du rayon AGS avec la ligne d’ombre OM, déterminera en ce

point le terme de la projection de l’ombre de AB sur le plan incliné (Z).

On voit que c’est par les plans supposés qu’on parvient à résoudre tous les problèmes concernant la projection des ombres : clans le cas que l’on vient de voir, on a d’abord déterminé, à l’aide

du point accidentel de la chute des rayons et de leurs plans sur l’horizon, le plan de l’ombre AB G; on a ensuite fait appartenir le point d’ombre G à un plan parallèle au tableau que l’on a prolongé jusqu’au plan de la ligne DP, indiquant l’angle que la surface inclinée fait avec le sol. Alors la perpendiculaire F N prolongée jusqu’à la rencontre de DP, a déterminé la hauteur du plan FGMN qui nous a servi à connaître la place que le point d’onabre G aurait sur le plan incliné s’il s’élevait perpendiculairement sur lui-même.

REMARQUE

Le point d’ombre G se trouvant clans le plan ombré AB G, le point M, point supérieur du point G, sera aussi clans ce plan.

Le rayon A G fait de même partie de ce plan , et puisque A G et OM sont dans un même plan, ces lignes doivent nécessairement se rencontrer en se croisant, et le point H qui est leur point d’intersection, sera évidemment l’ombre du point A sur le plan incliné.

Soit AB, la droite dont on veut avoir la projection ombrée sur le plan incliné Z R , S la chute des rayons , et P leur plan sur l’horizon.

On cherchera d’abord sur le sol, et comme à l’ordinaire, l’om¬

bre de AB, sans avoir égard au plan incliné (i); ayant trouvé par la rencontre de AS et de OP, le point d’ombre du point A en a’ , on dirigera O 4 a’ au point P , jusqu’à la rencontre du bord du plan au point 4- Da point B, naissance de l’ombre, on dirigera de meme B 3 au point P , et seulement jusqu’au bord du talud RT; mais comme l’ombre doit passer par les points 3

(i) Il est sous-entendu que pour obtenir l’ombre de la verticale AB sur le sol ou terrain perspectif, il est indispensable de la supposer prolongée jusqu’au sol, comme l’indique ici le point O.

et 4, il est évident qu’en joignant ces deux points, 3 4 sera l’ombre du bâton sur le plan incliné , et cpic les parties brisées B 3 et a’ 4 ) seront la représentation de l’ombre sur les plans horizontaux.

Supposons maintenant que la droite dont nous cherchons l’ombre, au lieu d’être AB, est NX, et que le point d’ombre de son extrémité X, au lieu d’être tombé en dehors du talud, soit resté en dedans au point i ; il faut alors , pour avoir ce point d’ombre sur le talud , mener par le point i , la droite i 5 parallèle à l’horizon ; du point 5 , tirer parallèlement à la ligne d’inclinaison du plan R Y : élevant ensuite par le point i , i G perpendiculairement au sol , et tirant par sa rencontre en 6 avec y 6 5, au point 8 direction de l’ombre au bord du talud, la ligne ombrée 8 6 ; cette droite déterminera par sa rencontre en x’ avec le rayon X i , le point x’ , pour le terme de la projection de

l’ombre de NX sur le plan du talud.

Quand le point d’ombre est trouvé sur le sol , on peut résou¬

dre cette question ainsi : par le point 8 , direction de l’ombre sur le plan horizontal juscpi’au bord du plan incliné , menez la droite 8 1 au point I , qu’on a du déterminer sur la direction du plan des rayons SP, par une droite VI dirigée parallèlement à l’inclinaison du talud T Z ou RY; ce point I deviendra alors le

point accidentel de toutes les lignes d’ombres du talud. Cette proposition est facile à comprendre ; car en menant par le point de vue, VI parallèlement au talud, on supposera le plan talué prolongé à l’infini jusqu’à l’horizon ; si ce plan avait conservé

la position horizontale, les lignes d’ombres qui eussent été projetées sur sa surface auraient été dirigées au point P. Si l’on suppose que ce plan ait tourné autour de RV comme charnière, pour prendre la position VI, ce plan se sera incliné à l’égard

de rliorizon d’une quantité mesurée par l’angle IVP; dans ce mouvement le plan d’ombre XM i ayant toujours conservé sa position, est constamment demeuré dirigé vers la droite PS, l’ombre 8 6 qui , dans la première supposition , avait son point évanouissant au point P, doit nécessairement l’avoir dans le deuxième cas , sur un point fen-dessous du point P et sur sa perpendiculaire. Or ce point est déterminé par le prolongement de l’inclinaison du plan, jusqu’à la rencontre de PS qui dans cet exemple est le point I.

Soit S le point de chute des rayons , P leur plan , (Y) la surface taluée, et (Z) le solide dont il faut trouver l’ombre : comme il serait inutile d’opérer pour les trois arêtes du solide qui sont nécessaires à la projection de son ombre, attendu que la pratique est la même pour toutes , on se bornera à trouver seulement l’ombre d’une d’entr’elles , celle AB par exemple : on cherchera à cet effet d’abord l’ombre du point A, que l’on projettera par la méthode ordinaire sur le sol en O. Par ce point et le point de vue , on mènera O a jusqu’à la rencontre du plan de la ligne d’inclinaison MN; du point a, on élèvera al perpendiculairement au sol; du point I, on mènera de npuveau IV dirigée au point

de vue , c’est-à-dire parallèlement à a O et jusqu’à la rencontre de OU, élevée du point O perpendiculairement au terrain perspectif. Du point U et par le point L, rencontre de la ligne d’ombre B<0 avec le plan talué, on mènera UL, et cette droite, en rencontrant le rayon AO S, déterminera en a’ le point d’ombre du point A sur le plan incliné, ainsi que le terme de la ligne d’ombre brisée B La’.

REMARQUE

On sent qu’il est inutile de procéder à la recherche de l’ombre de tous les autres points du solide, puisque l’opération est la meme pour ceux-ci que pour le point A, et qu’il ne s’agit plus, quand leur projection est trouvée, que de les joindre par des lignes d’ombres qui représentent celles du solide proposé.

On pourrait se servir encore ici de la deuxième méthode que nous avons indiquée dans la leçon précédente, en observant d’opérer dans le sens inverse , c’est-à-dire que dans cet exemple , les projections d’ombres sur le plan incliné allant en remontant, il faudrait, par le point de vue, mener une droite VR, parallèlement à l’inclinaison MN, jusqu’à la rencontre de la droite SP, prolongée au-dessus de la ligne horizontale. Le point de rencontre de ces deux droites deviendrait alors, par les mêmes raisons que nous avons démontrées, le point évanouissant des lignes d’ombres projetées sur le plan incliné (Y), et dans ce cas, connaissant le point d’ombre L à la naissance du talud, il faudrait tirer à ce point, et la rencontre avec le rayon AO donnerait, de mêmeque notre opération , le point d’ombre cherché.

3o.^ ^topo^itîon.

r^9'(^ectùon c/e^ 1 07nlre c/ 1 01 /^uton dur ùm dv/cJe

ayi^?îd ùnc/mt dj c/on^e ù imywùjz/ accci/ediée/.

Soit AB le bâton dont il faut avoir l’ombre sur le talud (Z), et 1243 le plan de cette surface. Le point d’ombre D ayant été projeté sur le sol, de ce point et par le point évanouissant des lignes 12 et 78, on mènera DO jusqu’à la rencontre du plan 3 I du profil 7 i du talud ; par le point O , on élèvera perpendiculairement OR; du point R, on mènera R 9 parallèlement à 0 6, en tirant au même point évanouissant ; par le point C , rencontre de la perpendiculaire élevée du point d’ombre D avec R9, on mènera au point d’ombrë L, et CL étant rencontrée par le rayon DA, déterminera en a’ l’ombre B La’ du bâton sur le plan incliné.

REMARQUE

La seule différence qui existe entre cette proposition et la précédente , consiste seulement à connaître perspectivement le plan d’inclinaison de toutes les arêtes du solide, sans lequel il serait impossible, d’après nos principes, de déterminer la parallèle P1C9 qui doit servir à indiquer la position du point d’ombre D , sur la surface inclinée , s’il s’élevait perpendiculairement à lui-même.

Oâ!" ^‘(Copo^lttop.

^^‘r^ection c/e / 07Ji/?^c c/ i

dw^ é fût mc/(}ie.

( P. II. F. 3i. )

Il lie ^cy?^a??it(/e leoiyaee

La pyramide tronquée (Z) devant avoir son ombre projetée sur le plan incliné (Y) , on cherchera d’abord l’ombre sur le sol des points supérieurs C, B, A, en a, b, c, sans avoir égard au plan incliné. De tous ces points, on mènera des parallèles comme a T, jusqu’au plan 4 3 de la ligne d’inclinaison 4M, et des points de rencontre on élèvera des perpendiculaires comme T U , etc. , de ces nouveaux points , on mènera des parallèles aux premières , comme UO; des points tels que O, où ces droites rencontreront les perpendiculaires élevées des points d’ombres abc comme aO» on tirera des lignes aux points i , a , 3 , donnés par les ombres

dirigées des points E, 6, G du plan perspectif de la base du solide aux points a,b,c, jusqu’à la rencontre du pied du talud H 4- Ces lignes, comme 0 3, donneront par leur rencontre avec les rayons , comme A a’ en a’ , les termes des ombres des arêtes

de la pyramide sur le plan incliné; joignant ensuite les points

c’ , b’ , a’ , par les lignes c’ b’ , b’ a’ , on aura l’ombre E t c’ b’ a 3 G, dont une partie est cachée par le solide (Z).

REMARQUE

Les arêtes de ce piâsme n’étant point perpendiculaires au ter-

rain perspectif, ne peuvent avoir leurs ombres sur le parquet dirigées au pian des rayons ; mais si l’on suppose que des quatre angles de la base supérieure du solide , on abaisse des perpendiculaires comme AN, BD, etc., et que sans avoir égard au talud (Y) , on cherche l’ombre de ces points supérieurs sur le sol , en c b a , il est évident que les ombres de ces arêtes pourront être projetées, puisqu’on connaîtra deux points de l’ombre de chacune d’elles , c’est-à-dire celui du point supérieur et celui que le point de contact donne naturellement. C’est pour cela que dans l’opération que l’on vient de décrire , on joint les points de rencontre des lignes d’ombres avec le bord du talud, aux points d’ombres des points supérieurs du solide , ramenés sur la surface du plan incliné en c’ b’ a’.

Soit MR et RZ les inclinaisons de deux plans, dont l’arète d’intersection RII est en avant, comme on le voit par le plan ZR. Pour avoir l’ombre que projette AB, placé perpendiculairement au terrain perspectif et parallèlement au tableau, il faudra d’abord trouver l’ombre du point A sur le sol en O, au point a’, où la ligne d'ombre dirigée au plan des rayons P, rencontre Z G

plan de la droite MI, on élèvera a Y jusqu’à l’arète MT; par le

point R du profil, on mènera RR; du point R, qui indique la

plus grande saillie de l’angle INIRZ, on tracera RL jusfju’à la

rencontre L de l’ombre B a’; au point L, on élèvera la perpen¬

diculaire LF; du point F, on tracera Fa’, et cette droite étant dans le plan du rayon, déterminera par sa rencontz-e avec lui en X, le point d’ombi'e du point A, sur le plan incliné ZGHP»..

L’opération eût été la meme si la di'oite AB était plus élevée, comme en D par exemple; seulement il eût fallu joindre aloi-» le

point F au point Y, et Y" F eût été la dii’ection de l’oinbie sur

le plan incliné MBIII. La l'enconti’e du l’ayon DS avec cette

droite, eût détei'ininé en E l’ombi'e du point Ü, ainsi que la plus grande étendue de l’ombi'e brisée B a’ F

Il est évident, qu’en menant un plan R RL F pai’allele a celui

Z MI G de ce solide, ce plan devi’a nécessaii’ement couper celui formé par la ligne d’ombre BP et le i-ayon solaii'e DS, selon la section LF. Si le point L s’élevait perpendiculairement sur luimême, il irait renconti’er l’arète RII au point F, pai’ce qu’il appartient à une ligne RL, qui est le plan de cette pi’emièi’e; ayant joint ce point F au point a’ , la di’oite F a’ sei'a donc la section

du plan d’ombre avec le plan incliné Z R II G; mais le rayon est

aussi dans le plan de l’ombre, il ne peut donc que rencontrer la ligne a’ F, et détei'ininer sur elle, par son point d’intersection

X , l’ombre du point A et le terme de l’ornljjre brisée B a’ X.

Cette démonsti’ation est la meme pour le cas ou AB seiait plus élevée au-dessus du sol , et pi-ojetterait son oznbre sur les deux plans inclinés comme dans le deuxième exemple que l’on vient de donner; alors seulement la pei’pendiculaire a’ Y élevée du point d’ombi'e jusqu’à l’ai'ète du plan supérieur, scr\ irait à déterminer

lO.

la direction de la ligne d’ombre sur le plan MRHI, où la coupe du rayon DS donne encore par sa rencontre avec elle, le point £ pour terme de l’ombre de DB.

REMARQUE

Il faut remarquer que le plan triangulaire Z RM, formé par les deux plans inclinés, étant dirigé au point de vue, c’est-à-dire perpendiculairement au tableau, comme on le voit par la droite Z R plan de MR, les deux lignes inclinées MR et R Z doivent avoir leurs points évanouissans sur une droite N VJ passant par le point de vue; parce qu’effectivement le plan MR Z perpendiculaire au tableau , étant supposé prolongé jusqu’à l’horizon , ne peut faire autrement que de passer par une droite qui passerait elle-même au point de vue ; car on peut toujours supposer sur le plan MRZ, une ligne horizontale i 2 prise à volonté et dont le point évanouissant serait à l’horizon; mais comme le plan sur lequel elle est tracée , fut un angle droit avec le tableau , le point évanouissant de cette ligne serait nécessairement le point de vue , elle passerait donc par N J ; mais les lignes inclinées M R et RZ, étant dans le même plan que i 2 , si elles étaient horizontales, iraient aussi passer par le point de vue, puisqu’elles seraient alors parallèles à 12; changeant de position pour s’incliner, ces lignes n’ont point quitté le plan MRZ, elles doivent donc passer aussi par la droite N J ; l’une en-dessus du point de vue comme MR, et l’autre en-dessous comme R Z.

’cr^^icô ta^iee