P. II. F

iDt /uafi dur lüie

La méthode que l’on va voir pour la projection des points d’ombres du plan ABDC, étant la même pour chacun d’eux, on

procédera seulement pour le point A : tirez d’abord par le point B et le point P, redressez l’ombre perpendiculairement au point

M , et comme le plan (Z) a deux de ses arêtes dirigées au point de vue, par le point a’ menez a’ I au point de vue, jusqu’à la rencontre de 81; par le point I, menez la parallèle la au profil 9 8 ; du point 2 , abaissez 2 3 jusqu’à la parallèle 3 8 ; par le point 3 et le point de vue, menez 3 4 jusqu’à la ligne d’ombre; par ce point , élevez 4 5 jusqu’à la droite 2 5 dirigée au point de vue ;

le point 5 sera un des points d’ombres de B A sur le plan Z.

Si par le point M et le point 5, vous menez MT terminée par le rayon AS, le point T sera le terme de l’ombre de la droite AB. Ayant de même cherché l’ombre du point G en R, et joignant

ensuite les points T et R par la droite RT, vous aurez l’ombre

TRODBM du plan ABDC.

On peut, et cette méthode est encore plus brève, résoudre ce problème par l’opération décrite à la (32.*') proposition, parce qu il est aisé , en connaissant l’inclinaison 9 8 du plan , de tracer en

tirant par le plan 7 du point de saillie 9 , le plan 7 6 de l’arète 9L dirigée au point de vue; alors l’opération se termine comme on peut le voir à la proposition.

mey diCT

Soit AB le bâton incliné, B 2 son plan, BI celui de son ombre dirigée au point P, et (X) le cylindre sur lequel le bâton repose au point 5. On prendra sur AB à volonté le point D; de ce point , on abaissera sur le plan B a la droite D d” ; du point d” , on mènera la ligne d’ombre d” 3 dirigée au point P ; par le point de rencontre 3 avec la surface du cylindre , on élèvera la perpendiculaire 3 d’ ; cette ligne se trouvant dans le plan de l’ombre , donnera par sa rencontre avec le rayon DS, le point d’ pour l’ombre du point D du bâton sur la surface du cylindre (X).

En prenant sur le bâton un assez grand nombre de points , comme G par exemple , et opérant pour chacun d’eux comme on vient de faire pour le point D , on obtiendra , en les réunissant , la courbe donnée sur le cylindre par l’ombre du bâton incliné B A.

On remarquera cpie AB ayant le point 5 de contact avec le cylindre, ce point sera le terme de la courbe I d’ c’ 5 , qui est l’ombre demandée. Cette courbe peut être tracée avec plus ou moins de précision, selon le nombre de points que Ion aura

'/af (/ (ncà?ia(d^?i et c/e c/e c /te

inacJori'.

Il serait impossible de passer aux propositions suivantes avant de connaître ce qu’on entend par les angles d’inclinaison et de déclinaison des rayons émanant d’un corps lumineux.

L’angle d’inclinaison est l’angle qu’un rayon fait avec le sol ; ainsi, si l’on suppose le tableau ABDC (i) reccA^ant le rayon solaire RS au point S de la ligne de terre CD, ce rayon en rencontrant la ligne de terre en S, fait avec son plan ( le rayon RS ), un angle RST qu’on appelle angle d’inclinaison. L’angle de déclinaison T SC, est formé par le plan T S du rayon RS av^ec la ligne de terre , il indique en effet de combien le soleil R qui est comme on sait hors la surface du tableau , décline dans cet exemple vei s le point H de la ligne horizontale du tableau.

Il n’est point nécessaire , pour mesurer ces deux angles , que le point de chute S des rayons , se trouve , comme dans cet exemple , placé sur la ligne de terre ; car à tel endroit que le point de chute rencontre la surface du tableau , en faisant passer un plan horizontal supposé par ce point , on pourra tracer la ligne T S plan des rayons , et connaître les angles précités.

(i) Le tableau est ici représenté lul-méme en perspective, afin de rendre cette proposition plus facile à saisii'.

Sé. 06vll0\^.

^!A'OU'Vûr c/a?ià lone ^ferJ^iecài^ /eJ cù?i^gj c/ ù?tc/c=^

nmdOTieù c/e c/ec/cfiaùo?i c/eJ rayaiià ^immetcco.

Si après avoir projeté sur le sol l’ombre de la droite AB, on désire connaître la vraie grandeur de l’angle d’inclinaison A a’ B, cet angle étant en perspective : du point B comme centre et d’un rayon AB, on décrira parallèlement au tableau le quart de cercle A I T. On trouvera ensuite la perspective de ce cercle sur le parquet en T 4 8 ; au point 4 ■> où l’ombre rencontre l’arc T 8 , on élèvera une perpendiculaire 46 jusqu’au rayon SA; par le point 6, on mènera en tirant au pied des rayons une parallèle à PB; au point O, où cette droite rencontre la droite AB, on dirigera OX parallèlement au plan BT du quart de cercle TiA; au point T, extrémité du rayon BT, on élèvera TX jusqu’à la rencontre de XO; on joindra encore le point X au point A, et l’angle AXO sera l’angle d’inclinaison A60 ou A a’ B son égal et en perspective, ramené dans un plan parallèle au tableau et dont l’arc i a qui le mesure , peut faire connaître la vraie grandeur, puisque dans cette dernière position l’angle AXO n’éprouve

aucune déformation perspective.

Par cette opération, on a fait tourner le plan A6 4B selon AB comme charnière, jusqu’à ce qu’il ait pris la position AXTB, position d’où l’on peut commensurer tous les angles qu’il renferme ,

ce qui n’était pas possible dans la position perspective qu’il avait d’abord, et comme l’angle d’inclinaison A a’ B a pour égal A60 qui est compris dans ce plan , on en pourra connaître la valeur quand il sera placé parallèlement au tableau en AXO.

Si l’on prolonge l’ombre Sa de la droite i a , jusqu’à la rencontre de la ligne de terre qN, l’angle 3 8N sera l’angle de déclinaison ; mais comme cet angle est sur le terrain perspectif et que le rayon lumineux et sa ligne d’ombre sont dans un plan qui fait un angle avec la surface du tableau , il est nécessaire de connaître géométriquement cet angle pour en mesurer la valeur. Il s’agit donc de déterminer la position que la ligne fuyante 3 8

aurait sur le géométral ; pour cela , ramenez au géométral un

point quelconque de la droite 38, le point a; pour cela, de ce point et le point de vue, tracez a M jusqu’à la rencontre de 9 N ; par le point M , menez sur le géométral M 4 > perpendiculairement à la ligne de terre 9N; par le point a perspectif, tirez encore à la distance la droite 9 2 7 ; portez 9 M de M en 4 î

joignez ensuite les points 4? 8, par la droite 48, et cette droite

représentera, dans la position inverse, l’angle de déclinaison que le plan de^ rayons fait avec le tableau. Faites l’angle 5 8N égal à celui M 8 4 5 et N 8 5 sera le véritable angle de déclinaison , comme 8 5 la vraie direction des rayons solaires, eu égard à la surface du tableau.

nici/ioc/e^iou}^ co}i?iaU?'€^ /eifan^/e^ c/ na(Jo?i et c/e c/ec/maid07i

Soit S le point de ctnite des rayons, et P leur plan à l'horizon. Si l’on désire connaître géométriquement les angles d’inclinaison et de déclinaison , on portera d’abord la distance à partir du point de vue, perpendiculairement au-dessus de ce point, comme en VR; de ce point et du point P, on mènera PR, et l’angle RPV sera l’angle de déclinaison.

Si, à partir du point P, on porte la droite PR sur l’horizon comme PX, et que de ce dernier point on mène XS au point S, l’angle PXS sera l’angle d’inclinaison.

Pour se former une idée de la théorie de cette opération pour le premier cas , il faut supposer qu’on fait passer par l’œil du spectateur un des rayons partant de l’astre, ce qui est toujours possible. Ce rayon est supposé aller plonger dans la perspective à un point S au-dessous de l’horizon et sur un plan vertical passant par la ligne horizontale; si de ce point de chute des rayons, on élève une droite perpendiculaire SP jusqu’à la rencontre de l’horizon , ce point P sera le plan du point S. Si par l’œil du

spectateur, que l’on supposera hors du tableau et à la distance

VD ou VR, on mène une ligne dirigée au point P, cette droite

sera dans le plan du rayon et fera avec l’horizon un angle RPV,

qui sera la déclinaison. Car si on suppose un instant le plan

PRV tournant autour de PV comme charnière^ pour venir prendre la position horizontale perpendiculaire au tableau , on verra qu’on a exactement lait ce que l’on vient de démontrer.

En raisonnant de la même manière, on fera aisément comprendre comment en aljaissant en PX la droite PP»., que l’on peut

regarder comme le plan du rayon dont la chute est en S , on

ne fait que développer le raccourcissement perspectif de PR, qui n’est que PV, quand on imagine le plan PVR rabaissé dans une position horizontale passant par PV. Le rayon SX, comme on l’a déjà dit, a été supposé passer par l’œil du spectateur; quand ce plan, pour la possibilité de la figure, a été construit en PR V, l’œil était en R, maintenant il est en X, et dans cette position étant placé dans le plan du tableau , l’angle que le rayon

XS fait en PXS avec l’horizon, indique géométriquement l’angle d’inclinaison cherché,

REMARQUE

On suppose que le plan PSX, qui devait être incliné à l’égard de la surface du tableau, de façon à ce que le point X fut perpendiculaire et en dehors du tableau au point où est l’anl vrai du spectateur, a tourné autour de PS pour s’appliquer sur la surface du tableau; dans cette position l’angle d’inclinaison PXS n’étant plus en raccourci , peut être mesuré géoraétriquèment.

n est indispensable de connaître dans ce cas, quel est le point de tangence du rayon solaire avec le profil Aran des deux cylindres, ou de tout autre portion de leur surface, et cette question ne peut être résolue qu’en connaissant l’angle d’inclinaison des rayons, en en ramenant un dans le plan du tableau, de meme qu’on vient de l’enseigner dans les (36.^) et propositions^

Comme il est plus aisé de n’avoir point de lignes à prolonger hors du tableau et que la transposition de la distance au-dessus du point de vue nécessiterait cette préparation , on obtiendra la connaissance géométrique de l’angle d’inclinaison en prenant une ligne quelconque CB sur le parquet, dont on cherchera l’ombre en c’. Ensuite ayant, d’après la méthode indiquée dans la figure ( 36.® ) , fait tourner dans le plan du tableau l’angle d’inclinaison j>erspectif Cia, parallèlement au tableau en C 3 2 , on prolongera C3 jusqu’à la rencontre de BZ, et l’angle CZB sera égal à l’angle CSa. Alors renversant pour l’opération cet angle en OZK, on aura ZO, pour la direction des rayons ramenés dans le plan du tableau et dans le sens inverse de CZ. Cette préparation étant achevée , si l’on mène une tangente n a’ à la section des cylindres Arnn et parallèlement à ZO, ou à une autre courbe prise dans le plan du tableau, le point de tangence, comme n, déterminera la ligne d’ombre ny.

REMARQUE

On peut remarquer que le problème a été résolu, en ramenant cette proposition au cas où le soleil serait dans le plan du tableau, parce qu’il n’y a que cette position des rayons qui puisse déterminer sur la courbe A m n , le vrai point de tangence d’ui> des rayons avec elle.

Si on avait eu dans cette figure le profil opposé à Amn, il n’eût pas été nécessaire de renverser le rayon CZ, et on n’aurait eu qu’à mener à la courbe de l’autre profil, une tangente parallèle à ce rayon.

^ïopo^ifiop.

Soit (X) la demi sphère, MIT la demi circonférence perspective qui lui sert de plan , S le point évanouissant de la chute des rayons , et P leur plan. Les points de la circonférence p’ , Z , R , y , devant en partie projeter leurs ombres sur la surface concave de la sphère , et cette ombre n’étant qu’une représentation d une portion de cette courbe , si l’on parvient à trouver sur la surface concave un assez grand nombre de points de p’ZRy, on aura

j’ombre cherchée prenant le point A à volonté sur l’arc ZR; de ce point, on abaissera sur le plan MT la perpendiculaire AB; du point B, on mènera BI dirigée au point P jusqu’à ce qu’elle rencontre en I, le plan -MIT d’un grand cercle qui passerais par le diamètre Zy; du point I, on élèvera jusqu’au rayon AS, la perpendiculaire ID; du point I, on mènera lE parallèlement à l’horizon jusqu’à la rencontre de Ep’ dirigée au point de vue et partant du diamètre p’R; du point E et des points D, G, on tracera EG et GD jusqu’à ce quelles se rencontrent en G. Par le point de vue et le point G, on mènera VU jusqu’à la rencontre de Rp’; du point II, on tracera la parallèle HJ; alors, par le point J et le point A, on mènera JA. Au point K, où cette droite rencontre la circonférence, on abaissera RL jusqu’au plan; du point L, on décrira en perspective et d’un rayon p’L, la courbe perspective LC jusqu’en G, où elle rencontre le plan d’ombre B G P. Enfin du point G, on élèvera la perpendiculaire G a’ jusqu’à la rencontre du rayon solaire AS, et le point a’ sera le point d’ombre cherché.

Opérant ainsi pour tous les autres points nécessaires à la projection ombrée, on aura l’ombre demandée 3 a’ 2.

REMARQUE

Quoique cette proposition paraisse d’abord extrêmement difficile , on parvient à résoudre la cpiestiou d’une manière fort simple, et c’est en connaissant géométriquement l’angle d’inclinaison du rayon solaire A N , ramené dans le plan du tableau en A R ; car alors on sait à cpiel point A R rencontre la circonférence (X); mais comme

AK n’est autre chose que AD ramené dans le plan du tableau, si l’on parvient à mettre en perspective la saillie KJ dans le plan du rayon AD en a’ D, le point où le rayon A DS rencontrera a’C, sera le point d’ombre du pofnt A, sur la surface concave de la demi-sphère (X).

S’il arrivait que le point de vue se trouvât placé sur le diamètre p’B. de la sphère, alors l’opération ne saurait avoir lieu comme on vient de l’indiquer, par l’impossibilité qu’il y aurait à ramener par exemple le point G perspectivement sur Rp’, comme il est ici en H ; dans ce cas , au lieu de tirer du point p’ au point de vue, on prendra sur l’horizon un point à volonté comme O dans cette figure, et on mènera la parallèle lE jusqu’à la rencontre de la droite Op’ en q, et le reste de l’opération se fera 'exactement pour le point O, comme on a vu pour le point V. Ceci est aisé à comprendre, car les droites Vp’ et VH ne sont autre chose qu’une échelle de dégradation, qui sert à reconnaîtie la grandeur de DI ou GE son égale sur la droite R p’ ; or comme pour ces sortes d’échelles on peut prendre à volonté tel point que l’on désire sur l’horizon , il est donc indifférent dans cette opération de choisir le point V ou tout autre point comme O sur la ligne horizontale , puisque dans ces deux cas l’ouverture de l’angle perspectif, que donnent les deux parallèles fuyantes qui forment l’échelle de dégradation, ne change point (t).

(i) On peut abréger l’opération en menant par les points I et T , une droite jusqu’à l’iiorizon. Alors par ce point évanouissant et le point D, tirant une parallèle à la première, et en élevant une perpendiculaire du point T, on aura sans autre travail le point P ramené en J. Le reste de l’épure s’achèvera comme on vient de

vorr.

4o.* ^ïopo^itior).

^'T^eciion c/e / 0771/^ ^i/7^c^i/}^ c/ i C777i/re

^lortee c/ i

lOTte d^üe^.

Soit (O) la sphère, (E) son plan sur le terrain perspectif, S la chute des rayons, P leur plan sur l’horizon, et S Y le rayonchoisi pour l’inclinaison des rayons solaires. Ce rayon a été supposé passer par le centre C de la sphère, ce qui est toujours possible : par le point X extrémité du rayon CX et le seul point* de contact avec le sol, menez la ligne d’ombre XP; au point p’, où cette droite rencontre la circonférence , plan du grand cercle de la sphère qui est dans le plan de l’horizon, élevez p’n jusqu’à la rencontre du rayon Y S ; au point n , menez n U parallèlement à Xp’, en tirant au point P, pied des rayons. Au point U, où n ü rencontre l’axe RX, tracez le rayon parallèle UL, qui sera terminé par la perpendiculaire fL, élevée de l’extrémité de Xf. Si par le centre C et le point L, vous menez la droite CL, cette ligne sera le rayon Y S ramené dans le plan du tableau, puisque dans cette opération le triangle perspectif c n U , tourne autour de eu, pour prendre la position CLU parallèle au tableau, et l’angle Cl. IJ ou CîvX son égal, donne l’angle d’inclinaison des rayons solaires sur le terrain perspectif.

Cette préparation étant achevée, il s’agit de trouver celui des grands cercles de la sphère qui est perpendiculaire au rayon Y S.

nouveau

Pour cela, par le point L on mènera géométriquement le rayon solaire RC, ainsi que la perpendiculaire géométrique (i) DL; au point D où DL rencontre le diamètre plan f Z, et d’un rayon XD, on décrira l’arc de cercle perspectif Dm jusqu’à la ligne d’ombre Xp’. Par le point m et le point n, on mènera mn, qui représeiitera perspectix ement dans le plan de l’ombre la perpendiculaire LD; mais comme LD n’est autre chose qu’une perpendiculaire au rayon RC, l’oblique mn son égale sera aussi perpendiculaire au rayon perspectif Y S.

Maintenant comme il est nécessaire d'inscrire le grand cercle que l’on cherche dans un carré , afin de pouvoir le décrire en perspective , et que pour cet effet il faut mener plusieurs lignes perpendiculaires au rayon Y S ; il est donc indispensalile de chercher le point évanouissant accidentel de la droite mn. Pour cela, on observera que cette droite inclinée est dans le plan formé par le rayon Y S et la ligne d’ombre Xp’; par conséquent elle ne peut aller s’évanouir au-dessus de l’horizon que sur un des points d’une droite élevée perpendiculairement au point P, puisque cette ligne se trouve aussi dans le plan du rayon , de la ligne d'ombre et de l’oblique mn. Si l’on prolonge donc mn jusqu’à la rencontre de PE prolongé suffisamment, le point de rencontre sera le point évanouissant accidentel où iront aboutir toutes les lignes perpendiculaires au rayon Y S.

On entend par mener une perpendiculaire gcomctrique à une ligne, comme ici au rayon lumineux CK, élever à un point donné L de ce rayon, mip perpendiculaire par les moyens géométriques et non perspectivement. Ceci est possiiiîe toutes les fois que les lignes en question se trouvent tracées dans un plan parallèle à celui du tableau.

Il est encore indispensable pour décrire le carré dans lequel devra être inscrit le grand cercle perpendiculaire au rayon Y S , de connaître la direction perspective de plusieurs lignes perpendiculaires à la ligne d’ombre XP. Pour cela, prolongez p’X jusqu’à la ligne de terre en q ; tracez , par les moyens perspectifs , la ligne d’ombre p’ q sur le géométral du fal)leau , comme on a fait en 84 (F. 36 , même planche), cette ligne étant tracée au géométral, menez-lui géométriquement une droite perpendiculaire, remettez cette perpendiculaire en iiersjîective , et AB résvdtat de cette opération ,

sera la perpendiculaire perspective aux lignes d’ombres dirigées au point P et au rayon Y S.

AB étant tracée sur un plan horizontal, on n’aura qu’à la prolonger jusqu’à l'horizon et son point de rencontre avec la ligne horizontale, sera le point évanouissant de toutes les lignes horizontales, perpendiculaires an rayon Y S qui est dans le plan de qP.

Connaissant donc les deux points évanouissans qui étaient nécessaires; par le centre C, tracez en tirant au point P un diamètre

09 (i), parallèle au plan Ap’; par les points plans A et p’ , élevez

les perpendiculaires ASS et p’qc’ indéfinies; par le point R ex¬

trémité du diamètre RX, menez encore en tirant au point P la droite 8r’, parallèle aux droites 5 9 et Ap’; ces lignes étant tirées, on aura le carré Ap’r’8 dans le plan du rayon YS, dans lequel on inscrira selon les moyens perspectifs , le grand cercle de la sphère XqRS.

(i) Dans celte figure le centre C se trouvant placé sur la ligne horizontale, le diamètre 5 9 mené parallèlement au diamètre ])lan Ap’, en tirant du point C au point P, doit nécessairement dans cet exemple se confondre avec la ligne horizontale.

Maintenant par le centre C et par les points diamétraux li6;> obtenus en menant par le point de contact X une parallèle o’o” à AB, et ayant ensuite élevé aux points de rencontre avec le plan, des perpendiculaires o’'6, o’b jusqu’à la rencontre de h(i; tirez par les points h, 6, à l’évanouissant de mn, les droites /ja, 3 i ,, V 7 , perpendiculairement au rayon solaire. Du centre C et des points V et 7 , où la droite 7 V rencontre le grand cercle R 5 X9, menez au point évanouissant de AB, les parallèles perpendiculaires à qp’; 34, 12 et vous aurez le carré i 2 43; mais comme ce carré est dans un plan perpendiculaire au rayon Y S , si par le moyen ordinaire vous inscrivez le grand cercle I17GV, ce grand cercle déterminera, aux points Y”, y’, où il croisera celui parallèle au tableau, la courbe d’ombre Y’Gv’, et par conséquent l’ombre de la boule proposée.

REMARQUE

Cette opération exige, et nous supposons dans l’élève une grande habitude de la perspective linéaire , sans laquelle il serait inutile d’essayer ce problème qui ne peut être résolu qu’à l’aide des moyens qu’elle enseigne et d’après lesquels on parvient à représenter des plans dans toutes les situations possibles.

( Même figure. )

Après avoir trouvé la projection de l’ombre propre de la sphère.

on conçoit qu’il est aisé de déterminer sur le sol la projection de son ombre portée , puisqu’il ne s’agit alors que de cherche!

les points d’ombres du grand cercle h y 6 Y” sur lequel les rayons tombent perpendiculairement, et comme sur tous les points de la circonférence de ce grand cercle, passent des rayons parallèles qui la tangentent , la chute sur le sol de tous ces rayons doit nécessairement y projeter une figure ombrée , qui est celle du grand cercle perpendiculaire aux rayons, et en même-temps celle aussi de la sphère.

Soit 6 le point à projeter. On abaissera jusqu’au plan du cercle h y’ 6 Y” , la droite 6 o” ; on cherchera par l’ombre P o” et le rayon 6 k’, la projection de ce point sur le sol en k’; ce point sera un de ceux de l’ombre demandée. Cherchant de même une assez grande quantité de points pris sur le cercle . h Y"” 6 y’ , on aura son ombre portée sur le sol , ou ce qui est la même chose , l’ombre de la sphère (O) (i).

Si le centre de la sphère n’eût point passé par la ligne horizontale, par le point G on aurait tiré au point évanouissant de AB; dans cet exemple ces lignes se confondent, mais les droites o’h et o”6 déterminent la perspective de ce diamètre horizontal, perpendiculaire au rayon Y S.

(i) Il faut oLsei'ver que pour avoir l’ombre dont nous parlons, il est nécessaire d’avoir le plan du cercle li y’ 6 y” perpendiculaire au rayon principal , ce qui n’a pas été fait dans eette épure, pour ne point multiplier les lignes d’opération.

4 l o^7ilre

ncc/ie.

ime

Le point S est la réunion des rayons , P leur plan , V le point de vue, et RTqNa la niche dont il faut projeter l’ombre propre.

La position du point de chute des rayons se trouvant à la gauche du point de vue, le corps lumineux sera nécessairement

du côté opposé ; et comme l’ombre de la niche devra être donnée

par le côté de son contour le plus près du corps qui l’éclaire, les points de la courbe qA et de la droite qT seront ceux qu’il

faudra déterminer pour avoir la projection de l’ombre. On prendra

donc arbitrairement sur la courbe aNq, le point A, et on cherchera quelle sera la projectio^i de son ombre dans la partie concave de la calotte de la niche. Pour cela , du point A on abaissera sur le plan RT, la perpendiculaire AB; par le point B, on mènera au point P la ligne d’ombre BP, et par le point A, le rayon AS. Au point I où BP rencontre la demi-circonférence R IT plan de qa, on élèvera IK jusqu’au rayon AS; par le point I, on mènera lO parallèlement jusqu’à MV; du point O, on élèvera perpendiculairement OF; du point R, on tracera RF parallèlement jusqu’à la rencontre de O F. Par le point de vue et le point F, on mènera VFE jusqu’à MN élevée du centre M; du point de rencontre E, on tracera la parallèle EG jusqu’au

prolongement 2 G de 2R; et joignant enfin le point G au poifit A par G A , cette ligne sera le rayon ramené dans le plan du tableau! Si du point H, rencontre du , rayon avec la courbe 2N, on abaisse la perpendiculaire HL , qu’au point L et d’un rayon LM, on trace perspectivement la courbe LZ, et qu’enfin du point Z oii la courbe supplémentaire rencontre le plan d’ombre IB, on élève Z a’ jusqu’au rayon perspectif AS; le point a’ sera le point d’ombre du point A, dans la partie concave de la calotte sphérique de la niche.

En opérant ainsi pour une assez grande quantité de points pris sur le contour de la niche, on aura la projection de son ombre Ca’i’X. Il faut observer cependant que la projection des points pris sur le cylindre est beaucoup plus aisée à déterminer que celle des points de la calotte ; car soit q un point du cylindre dont on veut avoir la projection. De son plan T, on tirera une

ligne d’ombre jusqu’au demi-cercle RXT, et par le point q on

mènera un rayon indéfini qS; au point X, on élèvera une perpendiculaire Xi’ jusqu’à la rencontre du rayon qS, et le point i’ sera le point d’ombre cherché. Ayant ainsi déterminé un assez

grand nombre de points, on décrira l’ombre proposée Ca’i’X T.

A l’égard de l’ombre du point T, il est évident que sa trace sur le plan du demi-cercle horizontal qui sert de parquet à la niche, doit être donnée par la ligne d’ombre TX, menée directement au plan des rayons.

REMARQUE

Le départ G de la courbe d’ombre est donné par le point de

tangence C du rayon Ce’, tracé parallèlement au rayon lumineux GA, ramené dans le plan du taldeau.

Si par l’effet de la position du corps lumineux la chute des rayons avait eu une autre place que celle qu’occupe le point S dans cet exemple, et que le rayon GA ramené dans le plan du tableau, au lieu d’avoir l’inclinaison qu’il a dans le cas que nous avons choisi, eût rencontré la courbe Na en tout autre point; la naissance de l’ombre eût alors changé nécessairement par suite de cette nouvelle position du rayon AG; mais en suivant le principe général que nous venons d’indiquer , le commencement de l’ombre portée eût été trouvé sur tout autre point de la courbe qui forme le bord de la niche , en menant un rayon parallèlement à l’inclinaison de AG, et en le faisant tangenter avec la courbe, afin d’avoir de nouveau le point de départ de la ligne ombrée.

On peut considérer deux ombres dans le pied-douche; i.° celle que projette la circonférence inférieure de la table ILK sur la

surface de ce solide; et 2.° celle que les rayons causent en tangentant son aire, comme on peut le voir par le plan des rayons