‹ Nouveau traité élémentaire de perspective a l'usage des artistes et des personnes qui s'occupent du dessin, précédé des premières notions de la géométrie élémentaire, de la géométrie descriptive, de l'optique et de la projection des ombres;Chapitre 6 sur 12 · LIVRE QUATRIÈME · texte numérisé non relu

LIVRE QUATRIÈME

Les articles précédeus nous ont déjà donné un*i idée générale des ombres. JNous allons maintenant nous occuper plus particulièrement de la construction des ombres produites j>ar les corps qui sont exposés aux différentes sortes de lumières (fig. i et ?. , pl. i).

Problème premier. Les pmjecfions d'un jmiut lumineux étant donnée* , ainsi que celles dune dmite , tmuvcr la direction et la longueur de r Ombre de cette dmite, sur le plan horizontal.

Soient ab, la commune section des deux plans c, cC, les projections de la lumière, d, dD', celles de la droite donnée. Puisque du point lumineux C, il émane un nombre indélini de rayons, il y eu aura nécessairement un qui passera par D, extrémité du jalon ou de la droite donnée dD , et qui se projettera obliquement sur le plan horizontal en e; par conséquent ce point sera l'ombre du point D : d'autres rayons, tels que Ci ,C2,C3, etc., seront interceptés par le jalon; il y aura donc derrière celui-ci un triangle rectangle Dde , qui sera privé de lumière. Ce triangle peut être considéré comme étant un plan vertical qui s'entre-coupe avec le plan horizontal , et dont l'intersection sera la droite ou trace de, ou bien l'ombre du jalon projetée sur le plan horizontal. Nous pouvons aussi considérer cette ombre comme étant la projection horizontale de la droite De , hypoténuse du triangle Dde. Concevons ce triangleprolongé indéfiniment à gauche; nous verrons que son plan passera par la lumière Ce; cette lumière ainsi que la droite donnée

DE LA PROJECTION DES OMBRES. a'o5

IV, et l'ombre de, seront donc dans un même plan vertical, et puisque de est la projection de De, cd sera celle de CD> ou bien ce sera la projection du rayon Ce, ou de l'hypoténuse du triangle rectangle Cce; par conséquent, l'ombre portée par la droite Dd, se trouvera dans la trace d'un, plan vertical passant par les projections horizontales de la lumjère, et celles de la droite donnée. D'où il suit que pour trouver l'dmbre d'une droite sur un plan horizontal , il faut faire passer par cette droite et par la lumière, un plan vertical , dans lequel doivent nécessairement se trouver les rayons qui passeront par les extrémités de la droite donnée, jusqu'à la rencontre du plan horizontal. Exemple : soient donnée la droite Dd, la hauteur cC, du point lumineux, et qu'il s'agisse de trouver sur le plan horizontal l'ombre de cette droite ; par les points c , d, projections horizontales de la lumière et de la droite donnée, menons une droite indéfinie ede, qui sera la trace du plan vertical passant par la lumière et par la droite f/D; ensuite , par le point lumineux C, et par D, extrémité de la droite, nous mènerons un rayon indéfini qui rencontrera le plan horizontal et la trace ce , en un point e, qui sera l'ombre du point I). Le rayon Cd, qui rencontre le plan horizontal au point d, lui-même déterminera l'ombre de ce point à cet endroit même, et l'ombre cherchée sera la droite de. Faisons de suite l'application de cette règle à la h'g. i, dans laquelle les données, ainsi que les lettres, sont les mêmes que celles de cette ligure.

Soient c, cC, d, dD', les projections horizontales et verticales de la lumière et de la droite donnée. Menons par c, et par d, une droite indéfinie, que nous considérerons comme étant la trace du plan vertical dont nous avons parlé ci-dessus. Faisons tourner ce plan sur la droite ce, jusqu'à ce qu'il soit couché dans le plan horizontal , ce qui se fait , comme nous le savons , en menant une perpendiculaire indéfinie à la trace ce, sur laquelle nous porterons cC, hauteur de la lumière, de c en C; renversons de même

ao6 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

la droite donnée, en menant une perpendiculaire au point d, sur laquelle nous porterons dD', hauteur de cette droite, de d en D; ensuite du point lumineux C, et par D, extrémité de la droite, menons CD, qui rencontrera le plan horizontal en un point e, ce qui déterminera la. longueur de l'ombre de. Nous devons nous étendre un peu sur ce premier problème, parce*qu'il est le fondement de la construction des ombres , ce qui le rend très nécessaire à l'intelligence des problèmes que nous avons ^ résoudre (fig. i,pl. i). > ■ * Si nous concevons un plan Ce, perpendiculaire au J)lan vertical, et passant par le rayon lumineux Ce, la trace ou l'intersection Ce, de ces deux plans, sera la* projection verticale du rayon Ce, laquelle passera par U, extrémité de la projection verticale de la droite donnée; de même, ce sera la projection* verticale de ce , et , par la même raison , de sera la projection verticale de l'ombre tle. Nons voyons- de plus que ta point e se trouve sur la droite ee, qui est perpendiculaire à la section commune uh, que nous pouvons encore considérer comme étant la 'trace horizontale du plan Ce. I>où il suit que nous avons un nouveau moyen de déterminer l'ombre de la droite, sans nous servir du rayon lumineux Ce, en employant seulement les projections de ce même rayon , ce qui , dans plusieurs cas, abrège et simplifie les • opérations.

•* Faisons abstraction du point lumineux C, ainsi que du rayon Ce, et ne considérons que les projections horizontales et verticales de la lumière et de la droite. Par les points cd, menons une droite indéfinie , et par les points verticaux CD', menons une autre droite prolongée jusqu'à la rencontre de la commune section en e ; de ce point menons à ab , une perpendiculaire prolongée jusqu'à la droite ce, qu'elle coupera en e , qui sera le point cherché. Appliquons cette opération à la fig. i , et nous aurons le même résultat.

Cette seconde manière est celle dont se servent la plupart des dessinateurs , qui aussi pour la plupart tombent dans une grande erreur , en prenant la projection verticale du rayon pour le rayon lui- même. Cette erreur ne peut être préjûdiciable à l'opération , mais elle Test beaucoup À l'intelligence de la chose, ainsi que nous le verrons par la suite. Voyons maintenant comment nous pourrons déterminer l'ombre d'une droite dont une partie serait interceptée par un plan vertical (lig. 1).

Soit /Y , la droite donnée, par laquelle et par la lumière cC, nous ferons passer un plan vertical dont la trace horizontale sera la droite cg; ertsuite menons le. rayon CF , prolongé jusqu'au plan horizontal où il coupera cfg, en un point g; fg serait l'ombre de la droite /F, s'il n'y avait pas d'obstacle. Mais comme au point //, il y a un plan vertical jk s qui doit intercepter une portion de cette ombre, il nous faut voir ce que cette portion deviendra. Par l'inspection de la ligure nous voyons d'abord que le rayon CF ne peut pas parvenir en g , qu'il est arrêté par le plan y'Â, au point / ; ce point sera donc l'ombre de F : menons la droite Ui , cette ligne sera la portion d'ombre relevée dans le plan vertical yÂ*, ou bien cette portion d'ombre sera l'intersection du triangle rectangle Ccg", avec le plan y'A, ou bien encore celle du même plan avec le triangle rectangle d'ombre F/g. Par conséquent, pour trouver cette ombre, nous n'avons, comme dans l'opération précédente, qu'à renverser le triangle Ccg, sur le plan horizontal, ce qui nous donnera le triangle C"cg, dans lequel se trouvera aussi la droite fF , en fF" 7 ainsi que l'intersection indéfinie hj, du plan y'À ; nous n'avons plus qu'à mener le rayon C"F", qui rencontrera le plan vertical en /, et la droite fil' sera l'ombre cherchée que nous porterons de h en /. Cette droite ht' ne nous paraît pas égale à hl, à cause du raccourci produit par la perspective de la ligure; mais cet inconvénient disparaîtra en opérant, sur la ligure 2, directement par le rayon de

aort NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIN E. .

lumière, ou indirectement par ses projections; et comme cette opération n'est pas plus diflicilc que la précédente, nous la laisserons faire au lecteur. D'ailleurs elle est indiquée suffisamment dans la figure, pour ne laisser aucune difficulté.

Phoullmk 2. Étant données les projections de la lumière, ainsi que celles (Tune droite inclinée au plan horizontal, trouver l'Ombre de cette droite, sur ce plan (fig. i et 2, pl. 2).

Soient A6,a6', les projections de la droite donnée, et r/,d</', celles de la lumière. Considérons d'abord la ligure 1 , où ce problème est résolu. Nous voyons premièrement, qu'un rayon émanant du point lumineux D, et passant par l'extrémité B de la droite donnée, projettera l'ombre de ce point dans le plan horizontal en e. Mais comme l'extrémité A touche le plan horizontal, son ombre sera donc à ce même point; et comme l'ombre d'une droite sur un plan est elle-même une droite qui est nécessairement déterminée par deux de ces points, la droite Aesera donc l'ombre cherchée. Nous voyons donc que ce problème n'est pas plus difficile que le précédent , car il ne consiste qu'à chercher l'ombre de la verticale occulte B£ , ou la hauteur de B , au-dessus du plan horizontal. Cette ombre serait be, dont le seul point e nous est nécessaire; il ne nous reste donc plus qu'à mener la droite Ae, qui sera l'ombre cherchée. Nous trotiverons cette ombre par les mêmes moyens que ceux que nous avons déjà vus dans le premier problème , c'est-à-dire en couchant la lumière et la droite dans le plan horizontal, ou bien en nous servant de leurs projections. L'inspection des ligures est suffisante pour cela.

Problèmes. Etant données les projections d'une droite inclinée à deux plans , trouver l Ombre de cette dmite sur ces deux plans (mêmes fig.).

Avec un peu d'attention, nous verrons que ce problème n'est pas plus difficile à résoudre que les précédens. Soient Yg . fg' t

DE LA PROJECTION DES OMBRES. aog

les projections de la droite, et d, dit, celles de la lumière. Nous voyons d'abord (fig. i ), qu'an rayon lumineux passant par G, irait projeter l'ombre de ce point dans le plan horizontal en h (s'il n'y avait aucun obstacle), par ce point et par F, menons une droite F^, qui serait l'ombre de FG, inclinée au plan horizontal, comme dans l'exemple précédent. Mais nous avons ici un plan vertical JR , qui- intercepte le rayon en G, et l'ombre en i; et comme l'extrémité G de la droite touche ce plan vertical, l'ombre de G sera donc à ce même point comme l'ombre de F est à ce point sur le plan horizontal; menons donc la droite Gi, et nous aurons l'ombre cherchée Fi, iG.L'applicatioirdecette opération à la figure i ne présentant aucune difficulté , nous nous dispenserons de la décrire. Il peut cependant se présenter une difficulté que nous ferons bien de prévoir, parce qu'elle peut se rencontrer fréquemment.

Si l'extrémité G, ou g, g' (fig. 2), d'une droite inclinée était plus élevée qu'elle ne l'est dans cet exemple , le rayon lumineux rencontrerait le plan à une distance trop grande pour notre papier, et même si ce point était seulement aussi élevé que celui de la lumière , le rayon alors serait parallèle au plan horizontal , et par conséquent ne pourrait jamais le rencontrer. Dans ce cas, nous prendrons un point quelconque de la droite , tel que /, que nous coucherons dans le plan horizontal en IL , parallèlement à la lumière </D; nous mènerons par / et par d, projection horizontale de la lumière, une droite indéfinie, ensuite par D et par L, nous mènerons un rayon prolongé qui coupera la droite dl , en un point m, qui sera un des points de l'ombre cherchée; par ce point et par F, nous mènerons une droite prolongée jusqu'au plan vertical JR, ce qui nous donnera le point i,«de même que par l'opération précédente. Ou bien , si nous voulons opérer par les projections de la droite et de la lumière, nous mènerons le rayon d't, jusqu'à la rencontre de la commune section des deux

aïo NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

plans de projection en'm; de ce point abaissons la perpendiculaire mm, qui coupera le prolongement de dl, en m, qui sera le point cherché.

Problème 4. Les projections dune droite étant données , ainsi que celles d un plan incliné aux plans de projection , trouver la portion d'Ombre interceptée par ce plan ( fig. 1 et a, pl. 3).

Soient AB la section commune des deux plans; c, ce' les projections de la lumière; d, dd', celles de la droite; EFG, celles du pian incliné au plan horizontal. Ce problème n'est pas plus difficile* à résoudre que le précédent, car nous voyons d'abord dans la figure 2,1° que sans l'obstacle du plan EG, l'ombre de la droite (TD } serait projetée dans le plan horizontal en dk ; 2 0 que le triangle hcC peut être considéré comme étant un plan indéfini qui coupe le plan EG, selon la droite IJ ; 3° que l'inclinaison .de cette droite est la même que celle du plan EG sur le plan horizontal ; 4° <l ue k rayon C/i est intercepté par le plan EG , au point K ; que ce point est à l'intersection du rayon et de la droite àJ; que cette ligne, ainsi que la droitedonnée </D, et la lumière, se trouvent dans le plan du triangle rectangle hcC : il ne nous reste donc plus qu'à doucher le plan de ce triangle, ainsi que les lignes qu'il contient , dans le plan horizontal en hcC' ; ce que nous allons effectuer de cette manière (fig. 1).

Si nous voulons opérer par le rayon lui-même, menons une droite indéfinie cd, qui sera (ainsi que nous le savons) la trace d'un plan vertical passant par lu lumière et par la droite donnée. Ensuite , des points c , </, abaissons à cette même droite des perpendiculaires sur lesquelles nous porterons la hauteur de la lumière de c en G , et la hauteur de la droite donnée de d en D. De abaissons aussi une perpendiculaire s lie, sur laquelle nous porterons la longueur gG (qui est la hauteur de j, au-dessus du plan

horizontal) de y en J. De ce dernier point, menons la droite JI,

DE LA PROJECTION* DES OMBRES. a 1 1

qui sera intersection du plan incliné. Par C et parD, menons utf rayou qui coupera 1J eu K, qui sera le point cherché. De ce point abaissons sur hc, une perpendiculaire K-A , dont l'extrémité k sera la projection horizontale de K. Donc la longueur de l'ombre sur le plan incliné EG, sera IR, et sa projection horizontale \k. Par conséquent, l'ombre entière de la droite dD sera dlK , ou dlk. Si nous voulons opérer par les projections de la lumière , menons la droite indéfinie cd-, par c et par â , projections de la lumière et dé la droite donnée, menons un rayon .qui "coupera FG, projection du plan incliné en un point K\ de ce point abaissons une perpendiculaire sur le prolongement de cd , ce qui nous donnera-égalementle point k. Nous opérerons de la même manière à 1 égard uVpJan Lm, P/»' 3 qui est incliné en sens contraire du précédent , et de la droite NO, no'. Le lecteur fera très bien de s'exercer à varier ces difljprens problèmes de plusieurs manières, parce qu'il n'est pas possible que nous puissions insérer dans cet Ouvrage tous les cas qui peuvent se présenter % et' qui d'ailleurs, peuvent tous aussi se résoudre par les mêmes*principes.

Aûn de ue pas répéter les différens. problèmes des ombres des corps solides produites par une lumièfe telle que» celle-ci , dont les rayons sont sensiblement divergens , nous allons passer de suite à la construction des ombres /ormees par une lumière dont les rayons sont censés parallèles entre eux,, tels que sont les rayons dti soleil. D'ailleurs, ce sont les mêmes principes que ceux que nous venons devoir, et nous n'aurons aucune difficulté à les appliquer à une lumière quelconque. ^ v

Problème 5. De la construction des Ombres , lorsque les ray ons lumineux

sont parallèles entre eux.

Dans les opérations que nous.venôns de faire, nous avons supposé la distance de la lumière à l'objet éclairé , comme étant

connue, parce que cela nous a fait concevoir plus facilement les premières constructions des ombres, qui sans cela, auraient jm nous paraître un peu abstraites. Si , par exemple , nous eussions voulu d'abord opérer par la lumière du soleil , il nous eût été impossible de déterminer sur les plans de projection la position de cet astre relativement aux di fierons corps éclaires. ^Voyons comment nous pourrons y suppléer (fig. i, pl. 4).

Soient c , ce, les projections d'une droite ; e , ee', celles de la lumière. Cette lumière étant supposée couchée dans le plan horizon-, tal , E sera le point lumineux -, Ef , le rayon; ef , ef , les projections de ce rayon ; enfin cf sera l'ombre de la droite donnée. Concevons le rayon fE; prolongé indéfiniment vers z, ses projections seront aussi les prolongemens irfdéfinis de Ce, fe, vers z y z'I^Concevonv maintenant le point lumineux E, placé successivement en.G,- H , etc. , et toujours sur le prolongement du rayon ; les projections de ce point seront nécessairement aussi sur les prolongement des projections de ce même rayon , en gft, g'k'. , etc. Il est évident que cela ne changera rien à la direction ni aux dimensions^de.

pourrons, sans aucun inconvénient, considérer le lieu de la lu-

mière comme étant éloigné de nous d une distance indéfinie quel* conque. Ce que nous allons achever d eclaircir par des exemples.

Problème 6. Les projections d un rayon solaire étant données , ainsi que celles dune droite, déterminer V ombre de cette droite sur le plan horizontal (même figure).

Soient zf, z'f, les projections du rayon, et i, u , celles de la droite donnée. Puisque nous considérons les rayons solaires comme étant sensiblement paraHèlës entre eux , leurs projections seront nécessairement aussi parallèles entre elles. Par conséquent, si

DE LA PROJECTION DES OMBRES. ai5

nuus menons par i, une droite À7, parallèle à fz, ej^nar un e autre droite parallèle à (z\ ces deux lignes seront les traces d'un plan passant par la lumière, quelle que soit sa distance par rapport à nous. Nous pouvons aussi considérer ces lignes comme étant les projections d'un rayon lumineux indéfini , mais dont nous pouvons déterminer la direction et l'angle qu'il fait avec les plans de projection, ce que nous avons vu au commencement de la Géométrie descriptive. Comme la droite donnée est égale à là droite t-C, l'ombre i'k, sera égale à l'ombre cf. Si nous eussions voulu opérer directement par le rayon, nous voyons bien ce qu'il aurait fallu l'aire , et nous aurions eu Lk, pour la direction du rayon, et l'angle Lk/, pour la mesure de l'inclinaison de ce même rayon avec le plan horizontal. Les projections d'un rayon solaire suffisent doue pour déterminer les ombres des différens corps. Comme les corps peuvent être éclairés d'une infinité de manières différentes, les artistes peuvent choisir celle qui convient le niiein à l'objet qu'ils se proposent. Mais les anciens ingénieurs , architecte et dessinateurs sont généralement convenus d'en adopter une qui fut constamment la même, ce qui leur a paru plus avantageux à plusieurs égards. Malheureusement leurs descendans n'ayant pas étudié suffisamment cette partie, et par conséquent n'ayant pas compris le principe adopté dansl'origine, sont tombés, pour la plupart . dans une erreur grossière à ce sujet, en confondant le rayon avec ses projections. Prenant particulièrement la projectiou verticale pour le rayon lui-même, et l'employant indifféremment dans les deux plans, il en résultait un contre -sens dans les projections horizontales et verticales des ombres. Cette méthode vicieuse a été suivie géuéralement et très long-temps par toutes les Ecoles, excepté par celle du Génie, à Mézière, dirigée par Monge, et depuis, par l'École Polytechnique.

Selon cette convention dont nous parlons , là position de la lumière doit être telle, que chacune de ses projections fasse un angle

NOUVEAU TRAftÊ DE PElfcPECTÎvT:.

. de la section commune des deux pfouis de^prdjectipn ,

ce qui ne peut avoir lieu que dans le cas où le rayon es^^aiv^to il ii ection de la diagonale d'un cube, dont une des faces est Bailli' te au nlau vertical , ce que nous allons tacher de faire *cottiprendre par un exemple. . a *

Suit AB (fi^. i bis) un plan horizontal sur lequel est posé un cube. Considérons dans ce cube les faces cd, de', comme étant ks deux plansde projectiou , horizontal et vertical. Si nous menous dr lau^le C, à l'angle opposé d , une droite Cd, cette ligne sera l'axe ou In diagonale du cube. Supposons que cette diagonale soit un rayon lumineux prolongé indéfiniment vers E, ou jusqu'au soleil; pour avoir la projectiou horizontale de ce rayon, de l'un de ses points quelconque, tel queC, abaissons uneperpendiculairesur le plan horizontal AB, nous aurons c pour la projection deC; et l'extrémité d du rayon touche le plan AB, la droite cd sera la projection horizontale de Cd , portion du rayon, ou celle • le la diagonale du cube. (Jbservons que la droite cd, est la diagonale de la face du cube Çui pose sur le plan AB, et qu'elle divise 1 angle droit /de en deux parties égales, et fait par conséquent un angle de 4 r > c avec lecôtéed ; or, ce côté étant la section commune des deu\ fa ces cd, de 7 , ou plans de projection , la projection' horizontale de la diagonale dû cube fait donc un angle de 'p° a\ee la commune section dés deux plans de projection , du bien avec le plan vertical.. Si nous prolongeons indéfiniment vers A, cette droite cd , nous aurons la projection indéfinie du rayon dE. Maintenant pour avoir la'projection verticale de ce^même rayon, abaissons du point C une perpendiculaire sur le plan vertical , nous aurons, c pour la projection verticale deC; et comme d touche le plan vertical, la droite c'd sera la projection cherchée. Cette ligne est aussi la diagonale d'un carré, et fait par conséquent *uri. angle de 45° avec le coté cd , ou avec la commune section des deux plans. Donc . les projections d'un rayon lumineux

coi ii nu

UOIi<

DE LA PROJECTION DES OMBRES. 2 i5

qui est dans la direction de la dief^ale d un cube ? 'dont: une des faces est parallèle ait plan vertical , font àn+ahg}e\de 45° avec la section commune des deux plans de projection.

Considérons maintenant l'arête cC comme étant une droite verticale dont nous voulons avoir l'ombre sur le plan horizontal, d'après la direction du rayon que nous venons d'établir. Sans faire aucune opération , nous voyons d'abord que cd est l'ombre demandée , puisque le rayon projette l'ombre dé C en d , et que l'autre extrémité de Cette ombre est le point c. Nous devons encore voir que si nous eussions opéré par les projections du rayon, nous aurions obtenu le même résultat, car ce peut être considérée comme étaut la projectiou verticale de cC , et nous voyous que la projectiou verticale du rayon Eb , prolongée jusqu'au plan horizontal,- nous donnera également le point b. Observons que la droite cC étant le côté ou l'arête d'un cube, est aussi le côté d'un carré égal à celui dont cd est la diagonale ; or,: cette diagonale étant l'ombre de la droite cC, nous pouvons en conclure que Jorsque les projections de la lumière font, un angle de 45° aVec la commune section des deux plans de projection, * la longueur de l'ombre d'une droite perpendiculaire à tun des deux plans est égale a la diagonale du carré de cette même droite s car nous pouvons aussi considérer c'd comme étant l'ombre de la droite c'C , qui est perpendiculaire au plau vertical.

Puisque les rayons solaires sont censés parallèles entre eux , ainsi que leurs projections le sont entre elles, menons par les points /, d , c , des parallèles à cd , et par les points supérieurs F , D , c , menons des rayons paralèèlement à Ed, nous aurons les points d'ombre g, h, i f sur le jftan horizontal, et par conséquent les ombres de chacune de ces droites. Joignons les points g, A, ï, par des droites parallèles aux lignes FD, De 1 , nous aurons l'ombre totale du cube sur le plan horizontal. Il suit de

2 iG NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

ce qui vient d'être dit, que nous ne devons avoir aucune ci i 11 î — culte à effectuer sur la ligure a, les opérations que nous n'avons j)u qirin<li(jtier sur la ligure i bis*

Nous allons opérer seulement, sur un seul point du cube, et nous répéterons successivement pour chacun des antres. Soient ch , he' les projections de la lumière , faisant un angle de !\î> " avec la section commune des deux plans; si nous voulons opérer par le rayon, il nous faut dabord le chercher, ce qui se rédnii (ainsi que nous l'avons vu) à chercher la droite originale qui est censée avoir donné ces projections. D'un point quelconque . tel que c, élevons sur ch. une perpendiculaire cC que nous ferons égale à ce'. Portons cette hauteur cC sur ch, de c en .r, et la droite C.r (qui est la diagonale du carré) , de c en d\ menons la droite indélinie Cd , qui sera la diagonale du cube, ou le rayon cherché; et l'angle Cdc , qui est d'environ 35° i6', sera la mesure de l'inclinaison du rayon sur le plan horizontal , et non pas 4 5 i (unnie le croient communément ceux qui prennent la projection verticale du rayon pour le rayon lui-même ; # car si ce rayon était incliné de 45° sur le plan horizontal , comme le serait Gr, dont la longueur égalerait la hauteur de là droite, ou serait le côté du carré de cette ligne, tandis queerf, ombre de cette même ligne , est la diagonale du carré de sa hauteur. Nous voyons de . plus que si le rayon Car faisait un angle de 45° avec le plan horizontal , la projection verticale ex de ce rayon ne pourrait pas faire 45° avec AB. Il est important de ne pas confondre le rayon avec ses projections. L'ombre de dD , ou d</, sera dh. , et ainsi des autres.

Cette direction de la lumière , qui est à la fois la plus avantageuse et la plus commode f>our les dessins en projections horizontales et verticales ( ou plans et élévations) , ne conviendrait point aux dessins en perspective , parce que les deux plans de projection se trouvent éclairés sous le même angle , et par con-

sequcnt ne pourraient être distingues l'un de l'autre j ce qui est un inconvénient qu'il convient d'éviter 11 faut alors élever da-

m ~m m "> * '''km m '

vantage la lumière , afin que le plan horizontal soit plus éclaire

que le plan vertical , et ainsi que le font ordinairement la plupart

des peintres. D'ailleurs , quelle que soit la direction de la lumière,

la manière d'opérer est absolument la même. Comme les ombres

di? tous les corps terminés par des surfaces planes, ne sont pas

plus difficiles à trouver que celles du cube, et qu'il est inutile de

multiplier les figures sans nécessité, nous passerons de suite aux

ombres des corps ronds, ou terminés par des surfaces courbes.

Nous commencerons par le cercle.

Problème 7. Les projections d'un Cercle et celks de la bumière-étmxt dân- . nées , trouver l'ombre d* ce cercle (fig.^/pl. 5). j> ^ ^

Soient cd , de' les projections de la lumière , et efghi, g'h'i'/k', ceHes d'un cercle. Prenons sur la circonférence de ce cercle autant de points que nous le jugerons à propos; par chacun de ces points , menons autant de droites indéfinies parallèles à cd ; ces lignes seront les projections horizontales d'autant de rayons lumineux. Par chacun des points correspondans de la projection verticale , menons des droites parallèles à cd , qui seront les projections verticales de ces mêmes rayons , ainsi que nous-l'avons vu précédemment. Par chacun des points d'intersection de ces dernières lignes avec AB , abaissons autant de perpendiculaires qui couperont les projections, horizontales de la lumière , et chaque point d'intersection sera l'ombre du point correspondant. Par exemple , l'ombre de h sera m, celle de l sera n, etc. Ainsi , l'ombre circulaire nopq, etc. , sera l'ombre du cercle donné. Cette ombre est circulaire, parce que les rayons qui enveloppent la circonférence du cercle forment un cylindre dont l'axe est oblique, lequel cylindre est coupé parallèlement à sa base, par l e

ai8 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

plan horizontal : d'où il suit que chaque fois que ce cas se rencontrera, nous pourrons abréger l'opération de beaucoup; car il nous suffira de chercher seulement l'ombre du centre u, qui sera v; et avec un rayon égal à celui du cercle donné % nous décrirons l'ombre circulaire cherchée.

Il s'agit maintenant de trouver l'ombre du cercle donné sur le plan vertical (tig. 2). Ainsi que dans l'exemple précédent , par des ]x>ints pris arbitrairement sur la circonférence du cercle , nous ferons passer les projections horizontales de la lumière jusqu'à la rencontre de AB ; de chacun des points d'intersection avec cette ligne, nous élèverons des perpendiculaires indéfinies. Ensuite, de chacun des points verticaux gh'i'fk', etc. , nous mènerons les projections verticales de la lumière; et chacun des points d'intersection avec les perpendiculaires correspondantes , sera un des points de l'ombre cherchée. Cette ombre sera une ellipse parce que le cylindre donné par les rayons sera coupe obliquement à sa base par le plan vertical.

L'opération relative à la figure 3 ne présente pas plus de difficultés que les précédentes. Il s'agit de trouver sur le plan horizontal, l'ombre d'un cercle parallèle au plan vertical.

Dans la tigure 4, le cercle donné est perpendiculaire aux deux plans de projections : par conséquent , nous pouvons connaître les principaux points tels que c, d, e, e,/% e'; nous pouvons donc trouver facilement les ombres de ces points , qui seront f,f, g, /», î; mais en retranchant le centre /, il ne nous en restera que quatre à la circonférence de l'ellipse, ce qui ne suffit pas pour tracer cette courbe. Il nous faudra donc prendre d'autres points intermédiaires tels que/, k, etc., sur la projection horizontale du cercle ; mais nous serons arrêtés parce que nous ne connaissons pas les hauteurs verticales de ces points; il nous faudra donc nécessairement coucher le cercle dans le plan horizontal , et éleyer les perpendiculaires /J , kK , qui seront les hau-

DE LA PROJECTIO* DES OMBRES. ai 9

teurs cherchées; de même les points/, m, seront élevés dans le plan vertical de e en qui est la hauteur de kl ou jm\ nous pourrons alors terminer l'opération sans obstacle.

Nota : ayant trouvé les deux diamètres conjugués eg, As, qui

se coupent en/, nous aurions pu chercher les deux axes de cette ellipse par le moyen que nous avons vu dans la Géométrie descriptive; mais cette opération étant plus longue que celle-ci. nous ferons bien de nous en dispenser.

La tigure 5 nous présente le même problème que le précédent : seulement l'ombre est portée également sur les deux plans de projection. Comme il n'y a aucune difficulté, nous nous dispenserons de décrire l'opération.

Nous allons chercher l'ombre d'un cercle, p*sé dans le plan de la lumière.

Soient (fig. i , pl. 6) cv/, c'd\ les projections du cercle, et ef, M* . celles de la lumière. Menons par le cercle cd, une droite indélinie cgi qui sera la trace horizontale d'un plan passant par le rayon . Menons à l'ellipse, projection verticale du cercle, deux tangentes parallèlementà et\ prolongées jusqu'à AB. Des points d'intersection j, k, abaissons sur AB des peqiendiculaires qui couperont cg en l,g, ces points détermineront la longueur Ig de l'ombre cherchée. Mais, comme dans la suite nous aurons besoin dans ptbs (I une occasion de connaître exactement la position des point* de tangence liï , ce qui est un peu plus difficile sur l'ellipse que sur le cercle, nous allons les chercher directement sur ce dernier. Abaissons le cercle dans le plan horizontal , et menons dans In direction du rayon les tangentes Mg, N/, qui nous donneront les points cherchés IH; en abaissant de ces points des perpendiculaires sur cg % nous aurons leurs projections horizontales A, i, et par suite Kï qui seront plus exactement déterminés. Nous ne devons pas négliger d'observer que, par cette seconde opération , nous aurions pu facilement trouver d'abord l'ombre /, g. HW

aao NOUVEAU TRAITÉ DE TEIISPECTIVE.

avoir besoiu de la projection verticale du cercle ; ce qui abrège

beaucoup le travail.

Nous nous proposons, figura 6, pl. 5, de trouver l'ombre d'un cercle dont la projection horizontale ah est perpeudiculaire à la trace cd du plan passant par la lumière. D'après ce que nous avons vu dans l'exemple précédent, nous pouvons résoudre ce problème d'une manière facile et très abrégée. Nous savons <jiu lorsque le rayon de lumière est dans la direction de la diagonale d'un cube , la longueur de l'ombre d'une droite dans le plan horizontal , est égale à la diagonale du carré de sa hauteor : d'après cela prenons ea ou eb, que nous porterons sur une perpendiculaire quelconque de e en /, et nous prendrons fa ou fd, que nous porterons de e en g et de g en h. Nous aurons eh pour la longueur de l'ombre du diamètre vertical du cercle. Ensuite , par g menons de part et d'autre une perpendiculaire à eh , sur laquelle nous porterons le rayon du cercle de g en i et de g en/ } la droite ij sera l'ombre du diamètre horizontal de ce même cercle. Nous aurons donc les deux axes d'une ellipse que uous pouvons terminer avec une règle de papier.

Problème 8. Trouver sur ww circonférence de cercle, les points de tangetwe des plans passans par la lumière , lorsque le cercle donné n est pas dans le plan de cette même lumière.

Nous avons déjà résolu ce problème (fig. i, pl. 6), qui ne présentait aucune difficulté, parce que le cercle était dans le même plan que la lumière, et qu'il n'y avait qu'à le coucher dans le pian horizontal , puis mener un rayon tangent à ce cercle. Mais dans le cas qui se présente , nous n'avons pas le même avantage , puisque ces deux plans diffèrent de position; nous devons donc tacher de les ramener à un seul et même plan , ou à deux plans parallèles entre eux ; ce que nous pouvons faire avec un peu d'attention (lig. a, pl. 6).

Soient cd, demies projections de la lumière; ef t e'f\ celles du cercle donné. (Nous supposerons l'ombre de ce cercle trouvée, l>ar les moyens que nous connaissons. ) Prolongeons indéfini* ment de part ou d'autre, le plan ef du cercle vers g, et considérons fg comme étant la commun* section de deux plans de projection. Prenons'sur çd un point quelconque duquel nous élèverens une perpendiculairéÀHVet ayani déterminé le rayon H/, nous aurons le triangle rectangle ihfi , dont M sera la projection horizontale. Cherchons ^maintenant la projection de ce triangle sur-k droite fgf Ce qui doit se faire (ainsi qrie nous le savons) en abaissant sur cette ligne des perpendiculaires de chacun dés points h, i"; il est évident que-ic point i, se trouvant par hasard sur fg, sera lui-même -sa pxojection , et h sera celle de à ; hi sera donc l&'prqjection horizontale du triangle ihW. Le point original dont h est la projection , sera donc élevé au-dessus du plan horizontal de la hauteur AH , du triangle rectangle ihH ; par conséquent nous n'avons qu'à porter- cette hauteur de h en If, et à mener l'hypoténuse H *, qui sera le rayon Hi\ ramené dans le plan du cercle ef on fg-, car le triangle rectangle ihH', étant conçu relevé sur sa base hi , sera absolument dans le plan fg ou dans celui du cercle. Il ne nous reste donc plus qu'à mener au cercle deux tangentes parallèles à HY, ce qui nons donnera les points cherchés J, K , et dont les projections'seront;, k, ft, ainsi que leur ombre sur la circonférence de l'ellipse en /, m. Nous verrons par la suite combien la connaissance de ce problème évite de travail , particulièrement dans la recherche de l'ombre du tore ou cylindre annulaire.

Nous nous sommes un peu étendus sur l'ombre du plan circulaire, parce que ce problème contient à peu près toutes les difficultés qui peuvent se rencontrer dans la construction des ombres des différens plans; par cette raison nous allons aussi construire l'ombre d'un cylindre dans les mêmes positions que celles des cercles

m NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

que nous venous de voir, ainsi que par les mêmes projections de la lumière.

Problkmk 9. Les projections de la Limitent >, et celles dun Cylindre étant données, trouver l'ombre de ce cy lindre ( lig. 5 ).

Cette opération se réduit à trouver l'ombre du centre u , du cercle supérieur, qui sera v \ de ce point et d'un rayon ug , nous décrirons un cercle auquel nous mènerons les tangentes fp , js, aux deux cercles , et l'ombre du cylindre sur le plan horizontal sera déterminé. Nous devons facilement voir que fp, js, sont les ombres des droites (f, j/, qui sont les lignes de tangence des plans verticaux ifp, ys, passans par la lumière , et qui touchent le cylindre en sur toute sa hauteur. Nous devons voir aussi que la moitié flj du cylindre doit être ombrée, et l'autre moitié fhj éclairée ; il s'agit maintenant de savoir si cette partie est également éclairée sur toute sa surface. Observons que le plan rencontre perpendiculairement la surfoce du cylindre; cette partie sera donc plus claire que celles qui sont rencontrées par les plans 5g, 5i, etc. , toujours plus obliquement à mesure qu'ils s'éloignent de h ; par conséquent la lumière doit diminuer graduellement d'intensité jusqu'aux points /,/, où l'ombre commence , et dont la partie jk est seulement visible dans la projection verticale en j*'. Ainsi que nous le voyons dans la ligure on&brée, cette partie jk, ou jA', diminue aussi d'intensité en s'éclaircissant toujours de / vers k , parce que la lumière réfléchie suit la même marche que la lumière directe, ainsi que nous l'avons vu.

La figure 4 représente un cylindre dont la position est analogue à celle du cercle de la figure 5, pl. 5, et se construit de la même manière que cette ligure.

La ligure 5 est analogue à la figure 6 , pl. 5 , et par conséquent

se construit de même. Nous observerons seulement que la tangente y'z doit être considérée comme étant la trace d'un plan perpendiculaire au plan vertical passant par le rayon lumineux ^ et qui est tangent au cylindre selon la droite jy ; par conséquent l'ombre de cette ligne sera dans le plan horizontal zy, pour la partie zj, et dans le plan vertical zj f , pour l'autre partie z\. I! en sera de même à l'égard de la tangente f x. Nous invitons nos lecteurs à chercher l'ombre de ce même cylindre, suffisamment éloigné du plan vertical pour que son ombre soit contenue entièrement dans le plan horizontal , ce qu'ils peuvent aisément faire.

Fig. i , pl. 7 . Nous chercherons d'abord l'ombre desdeux bases du cylindre, de la même manière que nous l'avons fait pour le cercle (lig. 4, pl. 5), ensuite nous mènerons deux tangentesàcesellipses, et nous aurons l'ombre portée par le cylindre sur le plan horizontal. Mais cela n'est pas suffisant , il nous faut encore trouver, sur les deux projections du cylindre, leslignesdetangencedes plans de la lumière, ce que nous avons déjà fait (fig. 2, pl. 6), c'està-dire en ramenant le rayon lumineux dans le plan du cercle, ce que nous ferons ainsi : par un point quelconque a, pris sur la projection de la lumière ab , élevons une perpendiculaire sur laquelle nous prendrons à volonté un point A; portons la hauteur aA, de a en c, prenons Ac, diagonale du carré, et portonsla sur ab ; de a en d, menons la droite Ad; cette ligne sera la diagonale du cube, le rayon, ou l'hypoténuse du triangle rectangle Aad; projetons ce triangle dur ef, plan prolongé du cercle : en abaissant sur cette ligne des points a,d, des perpendiculaires «a , dà , la droite ad sera la projection de ad, base du triangle; portons la hauteur a A de a en A', et menons A'd, qui sera la projection cherchée du rayon ramené dans le plan du cercle; menons parallèlement à ce rayon A'd , les tangentes Af, gh , nous aurons les points de tangence Ag cherchés; de ces points abaissons sur

*a4 NOUVEAU TRAITE DE PERSPECTIVE.

la projection horizontale du cylindre , les droites îk , Im , qui seront les lignes de tangence ou les limites de l'ombre du cylindre en dessus et en dessous; enfin, portons les hauteurs l'A, Ig, sur la projection verticale, nous aurons les droites i'k', g'm' y pour les limites de l'ombre en avant et en arrière daus la projection verticale. Nous n'avons pas cru inutile de répeter ici cette opération que nous avonsdéjà faite ; observons que le rayon no , tombant perpendiculairement sur le cercle, ou proûl du cylindre, nous indique le point, o, et l'endroit où le cylindre sera le plus éclairé: or, les droites obtenues par ce point, seront Irn, pour la projection horizontale,. et îh' , pour la projection verticale; ces lignes seront donc les parties les plus lumineuses sur ces deux projections.

Figure 2. Lorsque nous aurons fait les deux portions d'ellipse , comme dans la figure 5 , pl. 5 , nous coucherons le cercle xy dans le plan horizontal, nous projetterons le rayon dans le plan de ce cerjcle, et nous mènerops les tangentes parallèlement à ce rayon ; des points a , b , nous mènerons les droites ac, bd, qui seront les limites de l'ombre; de e, extrémité de la tangente be, nous mènerons la droite e/, tangente à l'ellipse, cette ligne sera l'ombre portée de la ligne de tangence du cylindre, sur le plan horizontal. Enfin, couchons le cercle yz dans le plan vertical , ce cercle se trouvera dans le même plan que la projection verticale de la lumière; menons deux taugentes gh, î&, parallèlement à la projection du rayon ; des points g, i , menons les droites lm , no , qui seront les limites de l'ombre sur le cylindre vertical ; du point k , menons la droite kp , cette ligne sera l'ombre portée sur le plan vertical par la tangente w>, et l'ombre totale du cylindre se trouvera terminée dans les deux plans.

Figure 3. Cette figure est analogue à la figure 1, pl. 6; elle se construit absolument de même , et ne doit nous présenter aucune difficulté. Par conséquent nous nous dispenserons d'en rien dire.

•La figure i, pl. 8, se construit comme lafig. 6, pl. 5. Nous observerons seulement que la base kfl, étant couchée dans le plan horizontal , et la lumière étant ramenée clans ce plan , jie peut être qu'une ligne droite telle que ch ; par conséquent le point F, qui est à la partie supérieure du cylindre sera l'endroit qui recevra plus de lumière selon la droite fe, que toutes les autres parties qui ne sont pas sur cette ligne. R , L seront les points d'attouchement des plans lumineux tangens à la surface du cylindre, les projections de ces tangentes seront dans le plan horizontal, les droites ha , lb, et dans le plan vertical k'a', tb'; l'ombre de ces lignes dans le plan horizontal, sera mi, nj.

(Figure 2). Si nous avons bien entendu, ce qui a été dit jusqu'ici, et particulièrement la ligure 2, pl. 6 , nous n'éprouverons aucunedifficulté dans la construction de cette figure, dans laquelle nous croyons même nécessaire de supprimer les lettres , puisque cette opération est entièrement analogue à celle.de la figure 2 , que nous venons de citer. D'ailleurs , il convient de laisser quelque chose à l'intelligence du lecteur, qui doit beaucoup s'exercer.

Comme les figures ombrées ne sont ici que pour l'intelligence des constructions , nous avons jugé à propos de les réduire pour éviter une perle de place.

Problème 10. Trouver l'Ombre de l'intérieur if une surface cylindrique

concave (fig. 5, pl. 8).

Soient CDE, ch', les projections d'un demi-cylindre concave. Par C, menons la projection horizontale de la lumière qui coupera la courbe en D \ de ce point élevons une droite indéfinie perpendiculaire à AB; par /', projection verticale du point supérieur du cylindre (élevé verticalement au-dessus de C), menons la projection verticale de la lumière, qui coupera la droite élevée du point D en 1', ce point d'intersection sera l'ombre de f dans

l'intérieur du cylindre. Pour avoir un second point de cette ombre , menons à volonté par un point quelconque de la courbe, tel que /, Une parallèle à CD , qui coupera cette même courbe en un point k ; de ce point, élevons sur AB, une perpendiculaire indéfinie, et de/, projection verticale de /, menons une parallèle à fi', qui coupera la perpendiculaire en un point A', qui sera l'ombrede/. Enfin, menons la projection horizontale de la lumière , de manière qu'elle soit tangente à la courbe en / : la projection verticale de ce point sera ce point sera la naissance de l'ombre dans la cavité cylindrique. Par ces trois points (ou par un plus grand nombre) , nous ferons passer une courbe qui sera l'ombrede la partie circulaire //C ou Z'À'r'; enfin, nous mènerons la droite fd , qui sera l'ombre de /W, portion de la droite /'c, et l'ombre de l'autre partie m'c , sera dans la projection horizontale en CD : l'ombre cherchée sera ainsi terminée.

Cherchons maintenant cette même ombre directement par le rayon lumineux. Considérons CD , comme étant la trace d'un plan coupant le cylindre; la section qui en résultera sera le rectangle DF; menôns par F, un rayon qui coupera DG en i , ce point d'intersection sera l'ombre de F ; portons la hauteur Di de d en i', et nous aurons le point cherché. 11 en sera de même pour la section jk, qui nous donnera le point K, et la hauteur J(K, sera égale à celle RA'; à l'égard du point de tangence /, il ne nous donnera pour section que la seule droite /L; par conséquent le point L, sera lui-même le lieu de l'ombre, ou sa naissance en t dans la projection verticale. Nous croyons qu'il est à peu près inutile de dire qu'un rayon qui passerait par le centre n, irait frapper perpendiculairement l'intérieur de la courbe au point o, et que par conséquent cette partie sera plus éclairée que les autres, ce qui, dans la projection verticale, répond à la droite oo'.

La fig. 1, pl. 9 est l'inverse de la précédente , et np présente .aucune difficulté. 1 *

(Fig 2). Cette figure se rapporte au cas de la fig. 2 , pl. 6 et fig. 2 , pl. 8 , dans lesquelles le plan de la courbe n'est pas dans la même direction que celui de la lumière; il convient donc auparavant de les faire coïncider, et alors il n'y aura aucune difficulté. L'inspection seule de cette figure étant suffisante , nous n'en dirons pas davantage.

Problème i i (fig. 3 et 3 bis). Trouver l'Ombre d'un Cône sur le plan

horizontal.

Nous avons vu précédemment que l'ombre sur la surface d'un cylindre, ainsi que son ombre portée sur le plan horizontal, étaient déterminées par la ligne d'attoucbement d'un plan passant par la lumière, et tangent à la surface de ce même cylindre; il en sera de même du cône dont il est question ici. Supposons le problème résolu (fig. 3 bis); concevons deux plans CDE , CFE, passant par la lumière , par les limites de l'ombre portée, et par celles de l'ombre du cône : ces plans seront. tangens à la surface du cone, et par conséquent au cercle de sa base, selon les droites DC, FC; et la ligne de leur intersection , ou l'arête CE , sera dans la direction du rayon lumineux passant par le sommet C, et projetant l'ombre de ce point sur le plan horizontal en E ; les projections horizontales de ces plans seront évidemment les triangles cDE, cFE. Il suit de ce qui vient d'être dit, que pour résoudre le problème qui nous occupe, il suffit d'avoir seulement l'ombre du sommet ou le point E, ce qui n'est pas difficile, et que nous pouvons trouver directement par le rayon CE (fig. 3) , ou par sa projection verticale c'e ; de ce point nous mènerons deux tangentes ED, EF, au cercle de la base, ainsi que les rayons De, Fc, qui seront les limites de l'ombre sur la

surface du cône , et les tangentes seront les limites de l'ombre portée sur le plan horizontal. Le reste peut se concevoir facilement sans plus d'explication.

(Fig. 1 et bis, pl. 10). Dans le problème que nous venons de résoudre , le cône est posé sur sa base dans le plan horizontal ; dans celui-ci nous le supposerons posé sur son sommet. Ce problème exige un peu d'attention , non pour ses difficultés, car il est aussi facile que le précédent, mais pour le bien entendre., parce que nous ne devons pas nous contenter d'une construction* purement mécanique; nous devons d'abord chercher le point d, ombre du centre G, de la base du côrle , ce que nous pouvons faire très facilement, soit par le rayon, soit par sa projection verticale , ainsi que nous le voyons dans cette figure. De ce point //, comme centre, et avec un rayon égal à celui de la base du cône, nous décrirons un cercle, et du sommet C, nous mènerons les tangentes Ce , C/, et l'ombre portée par le cône sur le plan horizontal , sera déterminée; il s'agit maintenant de trouver les limites de l'ombre du cône, ou la tangente qui indique la séparation de la partie éclairée et de celle ombrée, ce que nous pouvons faire de plusieurs manières : i° en menant par le point de tangeance e , une parallèle à cd , qui coupera la circonférence de la base en g; de ce point menons le rayon gC, et nous aurons la projection horizontale de la tangente cherchée; 2° du centre C , élevons une perpendiculaire sur Ce, et le rayon Cg, sera la ligne cherchée; 3° prenons sur le prolongement de rfC, un point // , éloigné «lu centre C, d'une distance égale à Qd\ de h menons à la base du cône les tangentes /ig, ht, ce qui nous donnera les mêmepoints g , i.

(Fig. i bis). Si nous concevons deux plans eH ,/*H, passant par les limites rectilignes de l'ombre portée, ces plans seront tangens au cône selon les droites CG, Cl, et s'entrecouperont suivant la droite CH : cette ligne d'intersection ou arête , fera

avec le plan horizontal, un angle HC/t, égal à celui que fait le rayon lumineux , et par conséquent le point h , étant la projection de H (qui est élevé au-dessus du plan' horizontal de la* hauteur Ce) , sera éloigné de C, dé la distance Qd\ car nous voyons qu'un rayon qui passerait par c, et.qui projetterait l'ombre de ce point sur le plan horizontal en d , serait égal et parallèle à HC. Nous ferons bien .d'étudier* l'analogie de ces plans dans les deux ligures , afin de mieux concevoir l'opération que nous venons de faire , ainsi que celles qui nous restent encore à voir.

Nous devons observer ici' de quelle utilité sont les^règles du tracé des ombres. Si l'on proposait à un artiste (qui ignorerait ses principes) de dessiner de tête, sans consulter la nature, deux cônes opposés par leur base*, il est très probable que cet artiste déterminerait les ombres de ces cônes selon celles de la figure 1 , c'est-à-dire qu'ayant déterminé l'ombre de l'un de ces côn^s, le supérieur par exemple , selon la droite ab, il ne manquerait pas de faire immédiatement celle du cône inférieur de b en c, ce qui serait une grande faute, car elles doivent être (fig. 3), de « en b, et de c en d. De même si cet artiste avait à déterminer les ombres d'un cylindre tenasiîné par deux cônes, il les ferait selon la figure 4, tandis qu'elles doivent être commé dans la figure 5.

S'il s'agissait de déterminer l'ombre dans l'intérieur d'un cône creux, comme dans l'exemple suivant (fig. 6). En terme de fortification on nomme puits, un trou conique fait à la surface du terrain , tel que nous le supposerons dans cet exemple ^ ab , est la projection horizontale de la lumière (la même que dans les exemples précédens). Concevons un plan vertical passant par cette ligne, et coupant le cône^ renversons cette coupe dans le plan horizontal , nous aurons le triangle AcB ; proposons-nous maintenant de chercher l'ombre du point a , portée dans l'intérieur du . cône \ par A , projection verticale de a , faisons passer un rayon

qui projettera l'ombre de ce point en D, sur le côté Bc, du triangle ABc; ce côté Bc, a pour projection horizontale la droite cb, par conséquent tous les points qui seront sur Bc, correspondront à tous ceux de bc\ nous n'avons donc qu'à abaisser une perpendiculaire de Dsur bc, ce qui nous donnera rf, pour le point cherché de l'ombre de a, dans l'intérieur du cône; ce premier point ne présente aucunè difficulté, mais nous ne sommes pas encore à la fin. Prenons un autre point quelconque, tel que e\ faisons passer par ce point un plan vertical ef, parallèle au premier ; il est évident que l'ombre de e , doit se trouver sur <?/, comme celle de a, se trouve sur ab en d\ il doit nous sembler d'abord, que cette seconde opération n'est pas plus difficile que l'autre; mais si nous observons que la première coupe par le contre, ou par le sommet du cône , est un triangle , et que dans celle-ci le plan ef, ne passant point par le sommet , la coupe verticale sera une hyperbole EGF, qu'il nous faudra construire à chaque point dont nous chercherons l'ombre; alors nous commencerons à voir que cette opération n'est pas aussi facile qu'elle nous avait paru d'abord. Ayant tracé cette hyperbole (selon les règles que nous avons vues dans la géométrie descriptive), nous mènerons un rayon par B, qui projettera l'ombre de ce point dans l'hyperbole en H , et dont la projection horizontale sera h.

Cette manière de trouver ainsi l'ombre de chaque point , serait extrêmement longue, et exigerait un si grand nombre de lignes, qu'il y aurait nécessairement confusion ; d'après cela , nous devons donc chercher un moyen plus simple et plus prompt. Prolongeons le plan AB de la base du cône, indéfiniment vers I; par le sommet c, menons le rayon lumineux cl; de I, abaissons une perpendiculaire sur ie prolongement de ab, ce qui nous donnera le point i ( qui est analogue au point h , de la figure i ) ; de ce point menons les tangentes ij , ik, et les points j, jfr, seront à la naissance de l'ombre portée dans l'intérieur du cône par Tare j*k ;

DE LA PROJECTIOx\ DES OMBRES. a3i

les deux points /, et le point d, seront donc trois points de l'ombre cherchée; mais ces trois points ne suffisent pas pour décrire la courbe de cette ombre ; prenons donc un autre point quelconque, tel que e (que nous supposerons n'être pas trouvé précédemment par le moyen de l'hyperbole); par j, et par le point donné e, menons la droite tel, cette ligne sera la trace d'un plan incliné que nous concevrons passer par le sommet c, du cône. Or, nous savons que toute coupe d'un cône par un plan qui passe par le sommet et par la base, est un triangle; menons donc les droites le, ec, nous aurons le triangle ecl, pour projection horizontale de cette coupe , et le triangle EcL, pour la projection verticale de la même coupe.. H ne nous reste plus qu'à mener par E , un rayon qui portera l'ombre de ce point en H , sur le côté Le du triangle (nous voyons bien que ce point est le même que celui trouvé précédemment) , ce qui nous donnera h , sur la projection horizontale le.

De cette dernière opération , nous pouvons déduire un nouveau moyen de trouver ce point d'une manière très abrégée. Remarquons que ce point A, se trouve situé à l'intersection de 7c , côté du triangle, et de ef, trace horizontale du plan vertical, qui contient ou forme l'hyperbole , par la section du cône, de mèmv que H , se trouve à l'intersection de Le, et de l'hyperbole EGF. Par le point donné e, menons une droite ef y parallèle à ab ,"le point cherché doit se trouver sur cette ligne; par i t et par le même point e, menons la droite ie/; de / menons le, le point cherché doit aussi se trouver sur cette ligne: donc il sera à l'intersection A, et de cette manière, si simple et si expéditive, nous trouverons autant de points que nous en aurons besoin , et par tous ces points nous mènerons la courbe qui sera l'ombre cherchée.

Problème i 2. Déterminer i 0 ï Ombre sur la surface dune Sphère; a° C Ombre portée par cette même sphère sur le plan horizontal (lig.. i , pl. 1 1 ).

Considérons la droite cd, projection horizontale de la lumière-, comme étant la trace d'un plan coupant vertical, et passant par le centre de la sphère ; la section sera un grand cercle que nous Toucherons dans le plan horizontal; ou bien, pour éviter la confusion des ligues, nous le projetterons verticalement sur la droite r ,|>. en considérant cette ligne comme étant la commune section des deux, plans de projection, et sur laquelle nous projetterons aussi le rayon lumineux, selon l'inclinaison de la diagonal." du cube, ainsi que nous l'avons fait jusqu'ici; cela fait , nous memrons les rayons tangens au cercle, et des points e',/, nous abaisserons sur le plan horizontal les perpendiculaires e'e , f'f, ces nouveaux points seront les projections horizontales des premiers, [/ombre de ë, sera portée sur ab en g , et celle de/', sera projetée sur la même ligne en d; par conséquent la longueur de l'ombre portée par le grand cercle ëh'f de la sphère , sera gd , sur ab , ou bien SS projection gd. Maintenant considérons ce grand cercle vertical , comme étant une sphère (ce quine change rien) ; ilest évident que la droite <?'/', sera la limite des parties éclairées et ombrées de* cette même sphère , ainsi que la projection verticale d'un grand ' cercle incliné au plan horizontal. Le point//', extrémité dun diamètre horizontal ainsi que son opposé ou antipode , auront chacun leur projection horizontale en /t, i, et la droite Ai, seraé\ ideimucnt la projection horizontale du diamètre , dont /*', est une des c\tn mités; les rayons qui passeront par h' et son opposé, projetteront les ombres de ces points en j , milieu de gd, les projections horizontales de l'ombre de ces points , seront j, k ; ce qui nous don nera i" les deux axes ef, Ai, dune ellipse qui sera la projection horizontale du cercle incliné, dont ëh'f\ est la projection vert.-

DE LA PROJECTION DES OMBRES. a55

cale, Ou bien la projection horizontale des limites de l'ombre sur la surface de la sphère; 2 0 les deux axes gd, jk, d'une autre ellipse qui sera la coupe du cylindre formé par les rayons tangens à la surface de la sphère , par le plan horizontal , ou bien les limites de l'ombre portée j>ar cette même sphère, sur le plan horizontal. . \ +

Nous pourrions tracer ces deux ellipses par le moyen de la petite règle de papier, et le problème serait résolu. Mais uous ne devons employer ce moyen que pour gagner du temps , et qu'après avoir bien entendu cette opération ; par conséquent nous devons ic construire les contours de ces ellipses par plusieurs points à volonté suiV/% li^nequi sépare la partie éclairée de celle qui est ombrée. Dans cet exemple, nous n'opérerons que sur un seul point, puisque tous ceux dont nous pourrions avoir besoin se trouveront de la même manière. Soit le point t, pris à volonté sur éf. Cherchons d'abord la projection horizontale de ce point , qui n'est autre chose que de rapporter sur une des projections de la sphère, un point donné sur l'autre projection, opération que nous avons déjà faite , et que cependant nous croyons nécessaire de rappeler ici. Abaissons d'abord de F, sur le plan horizontal une perpendiculaire indéfinie, sur laquelle doit se trouver le point cherché, ensuite menons par une parallèle à a^, et considérons cette ligne comme étant la trace d'un plan coupant perpendiculaire au plan vertical - 7 la section de la sphère par ce plan sera un cercle qui aura pour diamètre n'o\ et par conséquent p'ri ou f/o\ pour rayon. Prenons donc ce rayon , et portons-le dans la projection horizontale de p en /, qui sera le point cherché. Pour avoir l'ombre portée par ce point , suf le plan horizontal , menons par /, une droite parallèle à la direction de la lumière, et par ï , un rayon qui coupera a b ed m \ prenons **m , que nous porterons de / en m, qui sera le point cherché, et ainsi des autres. Rappelonsnous que par cette seule opératiou , nous pouvons avoir quatre

points sur chacune de ces ellipses, qui sont /, 7, r, s et m , t , u , v , à cause de leurs distances, respectivement égales, des axes. Nous trouverons l'ombre sur la projection verticale de AB, de la même manière que nous avons trouvé le point /. Il y a cependant plusieurs points de cette ombre que nous pouvons avoir directement ; tels sont «, h , qui appartiennent à la circonférence du grand cercle horizontal, et dont les projections seront sur Je diamètre x*f qui est la projection verticale de ce cercle ; tels sont encore les points 1,2, qui sont sur la circonférence du grand cercle vertical parallèle au plan AB, et dont les projections seront en ïï. Les ombres des projections horizontale et verticale sur la sphère sont égales.

Cherchons maintenant l'ombre dans l'intérieur d une hémisphère concave ou creuse, posée horizontalement ((ig. 2). Menons les tangentes ab y cd, et , par le centre , la droite efg. Ces lignes seront les projections horizontales de la lumière, et les points de tangence h 9 i, seront à la naissance de l'ombre cherchée. Pour trouver un autre point de cette ombre sur la droite eg , concevons, comme dans l'exemple précédent , que la demi-sphère soit coupée par un plan vertical , dont cette ligne est la trace. Couchons cette coupe dans le plan vertical en e'hg', par e\ projection verticale de e; faisons passer un rayon qui projettera l'ombre de ce point en k, dans la concavité de la courbe ; de ce point abaissons une perpendiculaire âqf <?g , qui coupera la ligne en À, qui sera le point cherché. Nous avons donc déjà trois points de l'ombre que nous cherchons , ce qui ne suffit pas pour tracer une courbe. Prenons à volonté autant de points que nous jugerons à propos, sur l'arc hei , par exemple, menons par-ce point la projection horizontale d'un rayon , qui coupera la demi-sphère en Imn ; la projection verticale de cette coupe sera le demi -cercle, /Wn'; menons un rayon par T, qui portera l'ombre de ce point sur la courbe èn o'\ abaissons de ce point une perpendiculaire sur /n, le point d'in-

tersection o, sera le point cherché. Il en sera de même de tqus les autres points, par lesquels nous mènerons la courhe hokoi, etc. , qui sera la limite de l'ombre en question.

Si la demi-sphère proposée était en projection verticale , comme dans la ligure 3 , nous prendrions eg, projection verticale de la lumière, pour le plan coupant, et nous ferions le reste de l'opération absolument comme ci-dessus, car nous devons nous ressouvenir que dans la direction de la lumière que nous avons adoptée jusqu'ici , les deux plans de projection sont frappés par le rayon ♦ sous des angles égaux ; c'est pourquoi les deux opérations que nous venons de faire sont absolument semblables, ainsi que leurs résultats. Nous allons encore en voir une nouvelle application - dans le problème suivant.

Problème i3. Déterminer l Ombre dans V intérieur dune Niche (fig. 4).

Nous devons d'abord observer que la niche est composée de deux parties dont nous connaissons déjà les formes : savoir , la partie inférieure qui est cylindrique, et la partie supérieure qui est sphérique; par conséquent r nous devons opérer de la même manière^que nous l'avons fait pour la concavité du cylindre et de la sphère. Menons par et par c', les projections de la lumière, à l'extrémité de cd; élevons une perpendiculaire à AB, qui nous donnera le point d' : la droite d'à sera la limite de l'ombre appartenant au cylindre. Par x, centre de la partie sphérique supérieure de la niche (qui n'est que le quart d'une sphère, mais que nous considérons pour l'instant comme étant une demisphère) , menons fg\ projection verticale de la lumière et coupant la demi -sphère, dont nous projetterons la coupe en FhG; menons le rayon Fi ; abaissons une perpendiculaire sur fg', ce qui nous donnera le point d'intersection 1, qui sera l'ombre de/, dans l'intérieur de la demi -sphère. Nous avons donc les deux

a36 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE

demi-axes d'une ellipse qui sont hx , i'x. Par conséquent , nous pouvons construire le quart hk'/', de cette ellipse , par le moyen ordinaire de la règle de papier. Observons que ce quart d'ellipse appartient à la demi-sphère que nous avons supposée pour plus

de commodité; mais comme ici nous n'en avons que le quart qui est déterminé par le diamètre c'e, il n'y aura donc que lare h/', qui appartiendra à la partie sphérique de la niche, par con s< quent lare k'i', devra appartenir à la partie cylindrique de cette même niche, comme est kn'. Pour parvenir à trouver cet arc, cherchons d'abord la projection horizontale de f, qui sera f, et par laquelle nous ferons passer le plan fit. Par n 9 élevons une perpendiculaire qui coupera /g' en ;/', qui sera le point cherché, par lequel nous mènerons l'arc k'n'd. Ainsi l'arc hA' est l'ombre de l'arc iWh', et l'arc k'n'd', est l'ombre de lare l'fdc'. Nous croyons inutile de dire que dans un dessin plus grand nous serions obligés de chercher un plus grand nombre de points pour pouvoir tracer plus correctement ces arcs, tel que le point o, o, p, etc.

Proiït.èmp. i4- Déterminer l'Ombre sur la sn/face atâi C) Undrr dont l'axe est circulaire (tel est un anneau) et dont la forme extérieure est nommée Tore (fig. i, pl. 12). . #

Soit cd 9 la projection horizontale de la lumière. Si, comuit dans les exemples précédens, nous considérons cette ligne comme étant la trace d'un plan coupant, le résultat de cette coupe sera deux cercles égaux , qui auront pour diamètre ef 9 gh ; et comme COfl deux cercles sont daus une même situation par rapport à la lumière, les résultats doivent êtrô égaux. Par conséquent, nous n'aurous besoin que. d'opérer sur l'un des deux, qui sera gh , et tous les points que nous trouverons, nous les rapporterons au cercle ef. Couchons d'abord le cercle gh, dans le plan horizontal en GH . et menons les rayons Id, Kl , tangens au cercle aux

DE LA PROJECTION DES OMBRES. a 3 7

points I , K; il est facile de voir que ces points sont les limites de l'ombre et de la lumière sur ce cercle; et que les ombres de ces mêmes points sur le plan horizontal, seront à l'intersection des rayons et de la droite cri, aux points d, l ; et qu'en abaissant sur cd, des perpendiculaires des points I, R, nous aurons pour leurs projections horizontales les points * , k , et dont i sera supérieur ou en dessus, et A, inférieur ou en dessous ; de même qu'en menant un rayon tendant au centre M du cercle, nous aurons N pour le point le plus éclairé, et n pour sa projection horizontale. Par cette opération , nous avons obtenu les points n, A, /, i, d y que nous reporterons sut" cd en o, p, q y r, s. Si maintenant nous faisons une coupe selon la droite tu, parallèle à AB, nous aurons deux cercles qui seront égaux aux précédens ; la projection de la lumière sur ce plan sera la même que celle sur le plan vertical, c'est-à-dire, une droite telle que Vw, faisant un angle de 4^° avec tu. Par conséquent les points de tangence V, X, auront v, x, pour projections horizontales, et y, u } pour ombres portées sur le plan horizontal. Observons que ces deux derniers points ne sont pas à leur place ; et comme nous n'avons besoin ici que du seul point u, nous négligerons y, si nous le jugeons à propos. Parv, projection horizontale de V, menons une droite indéfinie parallèle à cd : l'ombre de V devra se trouver sur cette ligne en z , et nous pouvons la trouver de plusieurs manières, i° en élevant de m, une perpendiculaire qui coupera la ligne en 2° en portant de v en z, la diagonale du carré de la hauteur vY', 3° en élevant de v, la droite vV, égale à i/V, et perpendiculaire à vz , ensuite mener par V un rayon V'z parallèle à ld 9 puisque vz est parallèle à cd.

Faisons encore une coupe par le centre selon la droite i , i ; la projection de la lumière sur ce plan sera un angle droit ou dego 0 V par conséquent les points de tangence seront 3 et 4 , et leurs projections horizontales seront Set 2; l'ombre portée sur leplan horizontal

par le point 4> sera 6. Nous trouverons ce point en portant de 2 en 6, la diagonale du carrt; de la hauteur 1 , 4- Nous avons maintenant suflisamment de points pour tracer la courbe 1V2 , qui sera le quart de l'ombre du corps , et la courbe dz6, qui sera le quart de l'ombre portée par la courbe wi, sur le plan horizontal. Ceci nous suflira pour tracer le reste de ces ombres, ainsi que la projection de l'ombre du corps sur sa projection verticale. Nous croyons que l'inspection de cette ligure doit nous suffire (en l'étudiant cependant un peu), et de crainte de la surcharger de lettres, et pour éviter la confusion, nous n'en dirons pas davantage.

Ce que nous avons dit jusqu'ici sur les ombres, renferme tous les principes de cette science, ainsi que toutes les difficulté anî |>euvent se rencontrer dans l'exécution des différons problèmes. La multiplicité des exemples que nous pourrions donner ne pourrait rien y ajouter d'essentiel , et augmenterait considérablement les frais de cet ouvrage, et ne nous dispenserait nullement d'étudier cette partie, ce qui est absolument nécessaire pour pouvoir l'entendre. Nous allons cependant en donner encore un exemple.

Problème i5. Étant données les Projections d'un Cône et dune Sphère } déterminer l'Ombre du premier de ces corps sur le second (fig. 1 , pl. r 3).

Nous croyons devoir prévenir que ce problème exige toute notre attention, comme réunissant les principales difficultés qui peuvent se rencontrer dans l'application des ombres. Nous supposerons aussi que les ombres qui appartiennent proprement au cône et à la sphère sépares l'un de l'autre, ont été trouvées par bft moyens que nous avons vus précédemment , afin de ne pas surcharger inutilement cette figure qui est déjà assez compliquée. Soient cd la projection horizontale de la lumière; Er/, le rayon; fE, la hauteur du cône; fghd, l'ombre portée par le cône sur le plan horizontal (abstraction faite de la projection horizontale de la

sphère^; ef, eh, les limites de l'ombre sur la surface horizontale du <^ne; /E, la projection verticale de l'ombre du cône ou des droites ef, eh', çiEfi", la projection verticale du cône.

Nous avons déjà dit que les droites fd, hd, étaient les traces de deux plans inclinés au plan horizontal, tangens à la surface du cône selon les droites ef, eh, et se réunissant à l'arète E</ ou ed, qui qp est la projection horizontale. Si nous plaçons dans l'ombre portée par le cône dans le plan horizontal une sphère, il est évident qu'une partie de cette ombre se projettera sur cette sphère; c'est là ce qui est l'objet du problème qui nous occupe. Supposons donc la sphère coupée par un plan vertical cd, selon le diamètre gj; faisons la projection verticale de cette coupe sur ce diamètre, nous aurons le cercle kllkm, qui interceptera le rayon Ed en un point N, qui aura n pour projection horizontale; ce point sera donc l'ombre du sommet du cône projetée sur la sphère. Nous pourrions trouver les autres points de la même manière en multipliant les opérations; mais à cause de la grande obliquité de plusieurs lignes, nous ne pourrions les obtenir avec assez de précision : c'est pourquoi nous allons employer un moyen plus général , plus direct , et qui de plus, nous donnera l'intelligence de plusieurs opérations qui nous paraîtraient fort difficiles, en employant les moyens ordinaires. Par ce nouveau moyen , nous pourrons trouver en une seule opération une série de plusieurs points, ce qui abrège infiniment le travail.

Nous allons donc considérer la sphère comme étant coupée par un plan incliné au plan horizontal dont la trace sera fd. Il ne s'agit plus que de connaître l'inclinaison de ce plan , ce qui n'est pas difficile, puisqu'il est tangent à la surface du cône selon la droite fe (il aura donc même inclinaison que le côté du cône sur sa base), qui est la projection horizontale de la droite ïE. Nous aurons donc un triangle^, rectangle dont un côté sera fe, le second sera l'axe du cône qui est perpendiculaire à ef, et dont la hauteur

2 / + o NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

e*E' est connue, puisqu'elle est égale à ce même axe; enfin, le troisième côté sera l'hypoténuse /E', dont l'angle E[/è, mesurera l'inclinaison cherchée du plan coupant. Concevons ce triangle relevé sur sa base fe, nous aurons une idée de l'inclinaison de ce plan dfe. D'après cela, de k (centre de la projection horizontale de la sphère) , abaissons de part et d'autre une perpendiculaire sur df 9 cette ligne ab sera parallèle à fe> et nous servira de plan vertical pour projeter la sphère , ainsi que le plan coupant incliné. Pour cela, élevons de e sur ab, une perpendiculaire sur laquelle nous porterons la hauteur eE' , de e en E" ; ensuite projetons / en f ; menons fE", et nous aurons un triangle rectangle efE% semblable et égal au premier, par conséquent nous aurons aussi l'inclinaison du plan coupant mesurée par l'angle efE\ Maintenant, avec le rayon kk' t perpendiculaire sur ab, décrivons un cercle qui sera la projection verticale de la sphère. Actuellement nous devons facilement voir que cette sphère se trouve coupée par le plan incliné fE*, ou par l'ombre du cône selon la droite o'p\ qui sera un des diamètres du cercle de cette coupe. La projection horizontale de ce diamètre sera op, que nous partagerons en deux parties égales au point q, ou bien de q\ moitié de dp', abaissons une perpendiculaire à ab, qui coupera la circonférence aux points r, 5; la ligne rs sera le grand axe de l'ellipse, et op le petit : cette ellipse sera la projection horizontale du cercle produit par la coupe de la sphère, et que nous pouvons tracer avec la règle de papier; mais comme ici nous n'avons besoin que de la moitié de l'ellipse , nous nous dispenserons de la décrire entièrement. Nous ferons la même chose à l'égard de la trace hd, et nous transporterons ces ombres sur la projection verticale AB(fig. i,pl. 14), où la projectionest entière; nous avons mis cette seconde figure , pour éviter la confusion dans la première. »

Nous croyons nécessaire d'ajouter encore un exemple qui nous

l)K LÀ PROJECTIO-YUES OMB1ŒS.

prouvera I avantage qu'il y a de savoir résoudre un problème par plusieurs procèdes, puisque nous serons obligés dans celui-ci de changer de méthode, c'est-à-dire que nous commencerons Topera hou d'une manière qui nous donnera directement les point.** que nous cherchons, et si nous voulions continuer suivant le même mode, nous aurions beaucoup plus de travail et molus" de précision.

Problème j6. Déterminer l'Ombre dioie suïïfaee concave de révolution , nommée en Architecture Piédouche (lig. i, pl. i5).

Soient A, B, les projections du corps propose^ i, 2,3, 4, etc. , sont les traces d'autant de plaus coupans parallèles à la direction de la lumière. Nous chercherons d'abord la projection verticale de la tranche 2, qui uous servira de modèle pour les suivantes. Pour y parvenir, nous commencerons par diviser la concavité du corps B, par tranches horizontales comme c'rf, e'f, g'h?, i'k , etc. , qui seront exprimées par autant de cercles dans la ligure A. Observons en passant, qu'il est avantageux dans ces sortes de cas, pour • éviter de multiplier les lignes sans nécessité, de faire, autant que possible, les tranches de même diamètre, atin de n'avoir pour leurs ex pressions horizontales qu'unseul cercle pour deuxtranches, telles sont les tranches a'b', i'k et c'tt, g'h', etc. Cherchons main** tenant notre coupe verticale dé la tranche i. 11 est évident que le premier point 2, sera sur la tranche q'r en 2'; le second/, sur la tranche i'k' en /', ainsi que sur celle a'b' en p'; le troisième m, sera sur les tranches g7i', c'd'en m' et o'; enfin le quatrième point n, sera sur e'f en ri. Par tous ces points, nous ferons passer la courbe p'o'n'mli', qui sera la projection verticale de ilmn. Ensuite par p' y nous mènerons la projection du rayon qui sera arrêté par la courbe eu s\ qui sera le premier point de l'ombre cherchée. ?»ous trouverons de la même manière les points e, f, 11, etc., ce

xia NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

(jiiî nous donnera la courbe e's't'u, qui sera la portion d ombre portée par l'arc i'jt ou Le jx)int u appartiendra donc à la

coupe horizontale 4* dont la projection verticale est déjà si différente des premières:, et si nous voulions continuer connue nous avons commence, nous aurions des coupes très irrégulières . e» dont les lignes pourraient être coupées si obliquement, que nous aurions beaucoup de peine à obtenir uue précision suffisante; c'est pourquoi nous allons changer de marche pour avoir le reste de

l'ombre. rAS^LarfSî#J

Concevons que la tranche ou le cercle </'r\ soit un plan horizontal indéfini, sur lequel le cercle supérieur dà', projette' son ombre (abstraction faite de la concavité intermédiaire du corps Nous savons que pour obtenir cette ombre, nous n'avons qu'a mener un rayon parjp (projection verticale du centre^*), jusqu'à sa rencontre en z\ avec le plan r/V, et dé ce point r', abaisser une perpendiculaire qui coupera la projection horizontale de fa lu — mière, et passant par le centre- j", nous donnera s, pour l'ombre du centre du cercle db' , sur le plan horizontal. Comme ce cercle est parallèle au plan horizontal , son ombre sera un cercle de même rayon. De z, comme centre, traçons cette circonférence qui coupera le cercle horizontal qiSren 6, qui sera nécessairement un point de l'ombre cherchée ; mais comme 6 est très près de r, nous pouvons prendrè sans erreur sensible r' pour sa projection verticale. Cherchons maintenant un autre point, que nous trouverons delà même manière que le précédent. Le rayon y'z; coupe la tranche i'k' au point 7'. En abaissant de ce point une perpendiculaire j nous aurons le centre 7, ou l'ombre du centre V, sur le plan ïk' , prolongé ou ik\ de ce centre 7, nous décrirons un cercle égal au premier, ou plus simplement un arc sur la circonférence horizontale ik , de la tranche i'k', ce qui nous donnera un second point 8 , et dont la projection verticale sera 8'. U en sera de même

de toutes les autres tranches de B, qui nous donneront successi-

DE LA PROJECTION DES OMJ3RKS.

vement les Centres t), 10, etc., ainsi que les arcs n et ia, etc. et dont 1rs projections en B seront it', 11'. Par les sections i >.. it, 8, 6, nous ferons passer une courbe qui sera la projection horizontale de la portion d'ombre portée dans la concavité de Ja tigure. Nous ne dirons rien sur ce qui reste à faire pour terminer l'ombre portée par le corps sur le plan horizontal, ainsi que sur la portion relevée dans le plan vertical. Ce que nous avons fait jusqu'ici , joint à rinspeotion de la ligure, doit nous suilire pour cela.

Nous bornerons ici ces principes qui contiennent tous les élé-r mens, nécessaires pour aller plus avant dans cette partie, car ce nVst réellement pas tant la quantité d'exemples qui instruit beau? coup, qu'un travail persévérant, gradué, et fait avec discernement. Noua ne cesserons de répéter que celui qui veut faire <| uniques progrès dans l'étude des ombres, doit multiplier les problèmes qu'il se proposera à lui-même, en commençant par las plus faciles qu'il étudiera sous tous les rapports, et en passant successivement à déplus difficiles. Par cet unique moyen, il parviendra à vaincre les difficultés qui >e rencontrent assez souvent dans

lté t'tude, difficultés beaucoup plus grandes qu'on ne le croit communément 11 fera bien aussi de s'aider de modèles en bois ou en carton des difléreus corps élémentaires dont nous avons parlé dans les exemples que nous avons vus ; et lorsqu'il sera sullisamment instruit, il pourra avec eonuaissauce de cause s'éviter un travail superflu . et même plus nuisible qu'utile dans beaucoup d'occasions. Par exemple , nous croyons que dans tous les dessins d'architecture civile et militaire, dans ceux de machine-, dans les cartes topographiques, etc. . on ferait très bien de supprimer les oui lues portées, qui étant même bien exécutées ( ce qui arrive rareuient ), nuisent plus <|u'elles ne servent à l'effet, ce qui est absolument contraire au but qu'on se propose : mais comme c'est une vieille habitude . suivie universellement , et

même sans exception, notre proposition pourra bien être traitée de paradoxe; et comme un paradoxe n'est pas un sophisme , nous nous permettrons d'exposer les raisons sur lesquelles nous fondons notre manière de voir; et comme nous ne prétendons pas exiger que personne voie comme nous, chacun fera là-dessus ce qu'il jugera à propos. Mais nous déclarons en particulier, que nous nous en sommes souvent très bien trouvé , et que nous avons gagné beaucoup de temps et évité un travail considérable.

Lorsque nous voulons examiner une pièce de mécanique compliquée et flont les pic-ces sont polies, comme les roulages d'un* pendule, un métier h faire des bas, etc. , nous nous gardons bien de l'exposer au soleil, car la quantité de points lumineux réfléchis, d'ombres portées, etc., nons fatiguerait tellement la vue, que nous la verrions très mal. Mais si nous modérons la concentration de la lumière du soleil par l'interposition d'une glace dépolie, les ombres portées disparaîtront , ainsi que les réflexions de la lumière alors nous verrons cette pièce très distinctement , et l'effet considéré pittoresquement sera infiniment plus agréable. Si nous ajoutons que très souvent il est physiquement impossible de tracei exactement ces ombres, à cause du travail immense que cela exigerait, il résultera évidemment de cet exposé, trois avantages incontestables , i° suppression d'un travail pénible; 2° grande économie de temps; 3° effet beaucoup plus avantageux pour le dessin. Nous allons ajouter à ces raisons deux observations que nous avons eu occasion de faire à ce sujet.

Du temps de la République, il.y avait un bureau de dessinateurs attaché au Comité de salut public; et M. deFourcroy qui en était membre, recommandait surtout aux dessinateurs de lui apporter leurs dessins lorsqu'ils ne seraient encore qu'au trait, parce que , disait-il , quand vous y avez mis tes ombres portées , je n'y reconnais plus rien.

A peu près à cette même époque , nous étions atlaclié à PÉcoïe des mines, où nous voulûmes introduire cette nouvelle manière de dessiner qui fui aussitôt désapprouvée , même avant d'être connue, et nous n'en parlâmes plus. Quelque temps après , on nous chargea de faire le dessin d'une machine à refendre les cuirs ; nous profitâmes de cette occasion pour faire l'essai de notre nouveau système, saus en rien dire. Lorsque le dessin fut h' ni. l'ingénieur chargé de l'inspection nous en témoigna sa satisfac-" i ion ; mais quand nous lui fîmes l'observation que les ombres portées étaient supprimées, aussitôt, et sans nous répondre, il nous tourna le d'os, et parut très piqué de notre observation.

11 ne faudrait pas conclure de ce que nous venons de dire, que l'étude de la construction des ombres devient inutile, car pour se permettre de supprimer à propos les ombres portées dans les dessins civils ou militaires, il faut parfaitement en connaître la théorie. D'ailleurs, il y a des circonstances dans lesquelles on ne peut se dispenser de les observer rigoureusement ; telles sont des parties des paysages éclairées par le soleil , des scènes de nuit éclairées par la lune, un flambeau , une lampe, etc. , et surtout des vues intérieures de souterrains, où le jour ne saurait pénétrer. Nous croyons seulement qu'on peut les supprimer avec avantage toutes les fois qu'elles ne sont pas absolument nécessaires, et on y gagnera de toutes manières.

Nous ne doutons pas qu'on ne nous objecte que, d'après la direction de la lumière qui est adoptée ,• la largeur des ombres 'portées étant égale à la saillie des corps, on peut par leur moyen avoir facilement une connaissance exacte de ces saillies. Nous répondrons à cela , ce que nous avons déjà dit au commencement de la Géométrie descriptive, que l'on ne peut avoir par le dessin , aucune idée exacte des dimensions d'un corps, que par le concours des deux projections. Et , en effet , jamais , en fait de dessins civils ou militaires , on ne présente une projection isolée. Par

conséquent les ombres portées deviennent absolument inutiles pour cet objet.

Lorsque nous conseillons de supprimer les ombres portées dans la plupart des dessins, il ne faut pas entendre une suppression totale. Ali n de se former une idée précise de ce que nous entendons , nous allons tacher de nous faire comprendre par quelques exemples. Si d'abord nous plaçons un corps quelconque, qui soit blanc , tel qu'un cylindre, une sphère, etc., sur un plan horizontal, et que nous l'exposions au soleil, nous verrons l'ombre* de ce corps, ainsi que son ombre portée, d'une manière bien tranchée, c'est -à -dire que les limites en seront bien prononcées. Ensuite plaçons eutre le soleil et ce corps, une glace mince et dépolie d'un côté seulement , alors nous verrons l'ombre du corps un peu adoucie, et l'ombre portée extrêmement affaiblie. A cette première "glace, ajoutons-en une seconde, et même uriV troisième s'il est nécessaire (ces deux dernières peuvent être dépolies des deux côtés); nous verrons que l'ombre du corps sera encore très sensible, tandis que l'ombre portée aura entièrement disparu à une distance plus ou moins grande de sa naissance, et terminera insensiblement d'une manière vague et harmonieuse.

Si nous soumettons à cette expérience plusieurs corps, groujiés de manière que les uns se touchent et que les autres soient à des distances plus ou moins grandes des premiers, nous distinguerons parfaitement les ombres de ces corps , et par conséquent leurs formes, l' harmonie de Ce groupe ne sera point troublée par les nombreux et durs ressauts des ombres . portées. Nous verrons, que lorsqu'un corps touche immédiatement un autre corps, il n indique sur celui-ci que la naissance de l'ombre portée, et «que. ce rudiment d'ombre s'affaiblit en raison de la distance d'un corjis à un autre, distance qui est généralement très petite. Nous voyous donc que par ce moyen , nous pouvons modifier à notre gré la lumière du soleil : c'est donc à nous de sentir, le degré g affai-

DE LA PROJECTION DéS OMBRES 547

bassement qui coin u-nl le mieux .111 but que nous nous proposons.

Si nous \oulons nous donner la peine d'observer, nous verrons souvent cet effet dans la Nature. Lorsque par un beau soleil nous odons unecollection d'objets, coin me un palais, uueviHe, etc., nous avons la vue blessée par les grandes et nombreuses oppositions des vives lumières et des ombres portées. Mais s il survient un léger nuage qui voile faiblement le soleil , alors nous voyons ces mêmes objets beaucoup plus distinctement qu'auparavant , nons ne perdons rien de leurs formes ni des rapports de teintes qui existent entre eux ou entre leurs parties. \ous ajouterons encore à fontes ces raisons, que si nous voulions absolument tenir à l'idée de juger du relief des corps, par la longueur des ombres portées, tant sur les dessins que sur les cartes topographiques, notre moyen se trouverait fréquemment en défaut ; carces- ombres sont le plus souvent portées sur des surfaces très irrégultères et inclinées dans tous les sens. Nous terminerons en ajoutant trois ligures à l'appui de tout ce que nous avons dit. La première sera une niche ( fig. i , pl. t6 ) que nous pourrons comparer à celle qui est ombrée (fig. 4>p'-i 1). La -seconde (fig. 2)sera un cône portant son ombre en partie sur un cylindre, sur le plan horizontal et sur le plan vertical , le tout éclairé par le soleil (fig. 1 bis). Enfin, la troisième ( fig. 3 ) qui est le même sujet que la précédente , sera faite d'après les principes que nous venons d'exposer et pourra se comparer avec elle. , .

Nous devons voir, particulièrement d'après ces dernières ligures , que l'application de ces principes aux dessins civils et militaires , consistent seulement à bien sentir le jeu de la lumière sur les surfaces des différens corps, ainsi que les formes de la naissance des ombres portées par d'autres corps qui les touchent immédiatement, ou qui en sont peu éloignés, et il est très rare qu'on soit obligé de faire quelques petites opérations, ce qui est d'un grand avantage sur la manière suivie jusqu'ici. En un mot,

plus on sera instruit dans la science des ombres, moins on sera oblige de faire des opérations longues et pénibles, sans aucune nécessité absolue.

La ligure x bis représente l'opération jiar laquelle on a trouvé les ombres de la 'figure j , et la ligure .'î qui représente le même sujet a été lavée saus avoir fait aucune opération pour en détermiuer les ombres.

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