LIVRE CINQUIÈME

INfous avons déjà dit, en parlant do la lumière, qu'un point lumineux ou illuminé «(fig. i, pl. i) envoyait des rayons divergens dans toutes les directions , et que la portion de ces rayons qui tombait sur notre œil, formait un cône dont la prunelle était la base. Nous pourrions croire avec assez de vraisemblance , que la somme de tous ces rayons est absolument nécessaire à la vision du point a. Pour nous en assurer, plaçons près de notre œil un plan opaque bc, percé en d d'un trou d'aiguille , nous verrons à travers ce trou le point a aussi distinctement qu'avant l'interposition de ce plan. Nous voyons cependant que tous les rayons divergens qui forment un cône sont interceptés par le plan à l'exception du seul rayon ad, qui est l'axe du cdne. Par conséquent , tous les rayons étrangers à cet axe ne contribuent donc en rien à la vision d'un point; et comme il en serait de même de tout autre point, nous pouvons conclure que nous ne voyons tous les points de la surface d un corps.j que par le moyen des seuls rayons qui représentent les axes des différens cônes formés par les faisceaux émanés de chacun de ces points ; d'où il suit que nous sommes suffisamment autorisés à ne considérer qu'un seul rayon visuel pour chacun des points dont nous aurions à nous occuper.

Soit la droite ab (fig. 2), placée devant l'œil c\ il sera évident que la somme des rayons visuels qui émanent de chacun des points de cette ligne à l'œil, tels que ac, ic, ac, etc., formera un triangle abc, dont ab sera la base> et dont l'œil c sera le

a5o NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

sommet. Cet œil verra donc la droite ab selon l'angle acb , nommé angle optique. Nous devons facilement voir que si au lieu d'une ligne, nous avions une surface terminée par des lignes

droites ou par une ligne courbe, le résultat serait, selon le cas, une pyramide ou un cône, dont cette surface serait la base, et dont l'œil serait le sommet. Considérons maintenant cette même droite aben AB (lig. 3), le globe de l'œil étant représenté par un cercle ,et l'ouverture de la prunelle supposée en c. Le rayon émanant de A , en entrant parc, ira jusqu'au fond de l'œil , où il peindra son image sur la rétine en a. Et comme il en serait de même de tous les autres rayons qui émanent de chacun des points de cette ligne , dont les images se trouveront entre les points a, 3, b, l'image eutière de AB , sera représentée sur la rétine par une courbe a3b. Concevons cette même droite AB, reculée de l'œil jusqu'en AB ; puis menons desméme points les rayons visuels A'c, 3'c, B'c: nous verrons d'abord que l'angle optique A'cB', sera plus petit que l'angle AcB, et que l'image a'3b' sera aussi plus petite que la première a3b. Et comme nos sensations visuelles sont en raison de la grandeur des images peintes sur la rétine, nous en pouvons conclure que plus un objet est éloigné de l'œil, plus l'angle sous lequel cet œil le voit est petit. Par conséquent, son image au fond de l'œil est aussi plus petite; donc, plus un même objet est éloigné de notre œil, plus nous le voyons petit.

L'observation a fait reconnaître que le plus grand angle sous lequel l'œil puisse voir distinctement un ou plusieurs objets est l'angle droit.

(Fig. 3). Si entre l'objet que nous regardons et notre œil, nous i nterposons un plan transparent de (tel qu'une glace) , les intersections de ce plan avec les rayons visuels, sont nommées perspectives des points d'où émanent ces rayons. Ainsi a, est la perspective du point Aj il en sera de même de tous les autres points. Et comme deux points déterminent la longueur d'une droite, il s'en-

PERSPECTIVE. a5 1

suit que ah est la perspective de la ligne AB, et a'b 1 , celle de la même droite vue de A'B'. Nous voyons par là que les apparences perspectives sont en raison de la grandeur des angles optiques. Donc , les objets nous paraissent plus ou moins grands, en raison de l 'angle sous lequel nous les voyons. De plus, soient les droites A'B', fg, inégales en longueur, situées dans un même plan , et à différentes distances de l'œil c. Menons par leurs extrémités les rayons visuels ; nous verrons que les angles A'cB',/cg, sont égaux, que les images de ces deux lignes sur la rétine sont aussi égales, et que par conséquent elles sont confondues comme étant dans un même plan ; il en sera de même dans leurs perspectives al/, dans le tableaii. Donc , des gramleurs inégales, vues sous des angles égaux , peuvent paraître égales. Par conséquent , une ligne près de l'œil peut être vue sous un angle plus grand , que ne le serait celui sous lequel on verrait une plus grande ligue à une plus grande distance. Donc , un petit objet peut nous paraître plus grand qu J un semblable objet, beaucoup plus grand que lui. Puisque des grandeurs égales peuvent nous paraître inégales , et que des grandeurs inégales peuvent nous paraître égales, nous ne voyons donc pas les objets tels qu'ils sont en effet, mais bien tels qu'ils nous paraissent : d'où il suit que la Perspective est une science qui nous donne les moyens de représenter sur une surface quelconque les limites des objets, tels qu'ils nous paraissent, lorsque nous les regardons d'un point donné. Nous ne pouvons donc trouver la perspective d'un ou de plusieurs objets que par l'intersection des rayons émanant de ces objets à l'œil , et d'un plan (que nous nommerons dorénavant tableau) situé entre l'œil du spectateur et ces mêmes objets. Nous commencerons donc par cbercber la perspective d'un point , et comme ce premier problème est à peu près le fondement de toute la perspective , nous devons y apporter toute notre attention. Nous parlerons ensuite des moyens d'abréger les opérations.

35a NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

Problème premier (fig. 4). Étant données les projections d'un point, celles de l'œil , et celles d'un tableau , trouver sur ce tableau l'apparence , ou la Perspective de ce point.

Ce problème ne doit nous présenter aucune difficulté, puisque nous pouvons le résoudre par le seul moyen de la Géométrie descriptive , moyen que nous connaissons déjà. Soient a , a les projections du point donné , b, b' celles de l'œil , et CD, cde celles du tableau. Des points a, a menons les droites ai, ab'-, ces lignes seront les projections du rayon visuel , mené du point donné à l'œil du spectateur. Nous voyons que ab, projection horizontale du rayon, traverse le tableau en a; ce point d'intersection étant commun au tableau et au rayon , doit donc se trouver dans la projection verticale du tableau , et dans celle du rayon clV en a% qui sera la perspective du point donné.

Si nous voulons résoudre le même problème en opérant directement par le rayon lui-même , couchons dans le plan horizontal les hauteurs aA du point donné, et celle bb de l'œil; menons le rayon AB de a*, menons une perpendiculaire à ab, qui coupera le rayon AB, en A'; portons la hauteur a*A* dans le tableau vertical de f , en a', ce qui nous donnera le même résultat. Nous pourrions trouver de la même manière la perspective d'une ligne , d'une surface, d'un solide, tel que le cube GHlK,qui est à la droite du tableau. Ainsi , nous voyons qu'à la rigueur , nous pourrions effectuer toutes les opérations de la perspective , par les plus simples élémens de la projection , ou géométrie descriptive.

Quoique cette manière d'opérer soit la plus simple et la plus claire, pour donner l'intelligence de la perspective, nous ne la suivrons pas toujours dans ce qui nous reste à voir, parce que , i ° elle a l'inconvénient de réunir sur le tableau les projections verticales et perspectives , ce qui (lorsque le dessin est compliqué) produit une telle confusion de lignes qu'il n'est plus possible de

s'y reconnaître ; 2° parce qu elle n'est pas la plus expéditive. Mais tous les moyens que nous emploierons seront toujours les conséquences des principes que nous avons exposes. Ainsi , ceux qui ignorent ces principes ne peuvent espérer de tirer aucun fruit de la lecture des nombreux et bons ouvrages qui traitent de la perspective, quoiqu'ils soient annoncés à l'usage des artistes.

Nous allons passer à la perspective proprement dite, etrésoudre les différens problèmes par d'autres moyens.

Dans ce que nous allons dire , nous suivrons autant que possible les figures ( pl. 2, fig. 1 , 1 bis , 2, 3, 3 bis et la fig. 3» de la pl. 3). Outre les deux plans de projection horizontal et vertical dont nous nous sommes servis jusqu'ici , nous emploierons encore plusieurs autres plans auxiliaires , mais particulièrement quatre que nous allons faire connaître successivement; i° le plan horizontal AB, sur lequel est censé reposer le spectateur gG, ainsi qu% les différens objets, tels, par exemple, que le point L ; et comme on a toujours considéré ce plan comme étant une portion de la surface de la terre , on l'a constamment nommé jusqu'ici plan du terrain, on plan géométral. Mais comme les différens objets peuvent être posés sur différens plans horizontaux plus ou moins élevés à l'égard de l'œil G du spectateur, que ne l'est ce plan AB , il en résulte que l'un quelconque de ces plans n'est pas plus géométral que les autres. Ainsi nous nommerons dorénavant tous les plans sur lesquels reposeront des objets, plans objectifs; 2 0 le plan CR, ou le tableau, que nous considérerons comme étant une glace transparente posée en face du spectateur, et derrière laquelle sont placés les différens objets , l'intersection CD de ces deux premiers plans a toujours été nommée ligne du terrain , ou base du tableau. Mais comme nous serons souvent dans le cas d'employer deux lignes pour exprimer le tableau , ainsi que nous le faisons, par exemple, dans la fig. 2 , où nous avons dans la projection horizontale la droite cd, qui est la

a54 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

trace ou base du tableau , et dans la projection verticale la droite cd , qui représente aussi la base du même tableau cR; et comme cd est la projection verticale de cd, il convient donc de designer

différemment ces deux lignes, alin de pouvoir les reconnaître. 1) après ce que nous venons de dire, nous nommerons la droite cd, tableau horizontal, et la droite cd base du tableau vertical , ou, plus simplement, tableau vertical ou perspectif; 3° concevons un plan horizontal EF, passant par l'œil G du spectateur, et coupant h? tableau CR à angle droit selon la droite III; ce troisième planEFaété nommé spécialement et par excellence plan horizontal , afin de le distinguer des autres plans qui lui seraient parallèles, tels que AB, etc. Nous ne voyons aucun inconvénient à lui conserver ce nom , sans cependant cesser de le considérer comme étant aussi plan objectif, dans le sens adopté par les artistes, lorsqu'il contiendra un ou plusieurs objets. L'intersection de ce plan horizontal avec le tableau ou la droite III, es renommée //gTie horizontale , horizon du tableau , ou simplement horizon \ 4° enfin, le plan vertical MN, que nous supposerons aussi passer par l'œil G du spectateur, et coupant les trois autres plans chacun à angle droit , a été nommé plan vertical; mais pour des raisons que nons allons exposer, nous le nommerons plan central. Nous allons exposer les usages de ces dilférens plans.

Le plan EF étant le seul des plans horizontaux qui puisse passer par l'ceil du spectateur , indiquera nécessairement la hauteur de cet œil par rapport au tableau , et par conséquent indiquera aussi la situation des objets qui seront au-dessous , au-dessus, ou au niveau de ce même œil. La droite III, ou la ligne horizontale, indiquera également, dans ce tableau, si ces mêmes objets sont au-dessous, au-dessus, ou au niveau de l'horizon , ou de l'œil. Le plan central MN, étant aussi le seul des plans verticaux perpendiculaires au tableau , qui puisse passer par l'œil du spectateur , indiquera à ce spectateur si un objet est situé dans

PERSPECTIVE. a55

ce plan, ou Lien s'il esta droite ou à gauche de ce même plan. Les mêmes indications seront également données par ses traces (ou intersections) verticale et horizontale PQ, gM. D'après ce que nous venons de dire, nous devons facilement voir, que je point R, est plus bas que le niveau de l'œil , qu'il est situé dans le plan objectif AB, ainsi que dans le plan central MN , et qu'il est derrière le tableau ; que le point L est aussi dans le plan objectif, et de plus , qu'il est à gauche du plan central. La partie Gg'de l'intersection GO est nommée rayon principal; cette ligne peut être considérée comme étant une perpendiculaire abaissée de l'œil G sur le tableau; par conséquent le point g' sera la projection verticale de l'œil; c'est ce point qu'on a toujours nommé point de vue; et comme il a toujours été considéré comme étant le centre des rayons visuels de l'œil au tableau , nous le nommerons indifféremment centre du tableau ou point central. Nous pouvons aussi , sans aucun inconvénient , lui conserver son ancien nom de point de vue. Mais, comme il est toujours situé dans le plan vertical MN , c'est pour cette raison que nous avons nommé ce dernier plan central.

Par abréviation , nous donnerons souvent le même nom aux traces ou intersections de ce plan , avec le tableau et avec le plan objectif. Ainsi , en parlant de la droite PQ, nous dirons indifféremment laverticale (par excellence), lacentrale,ou leplan central , et en parlantde la trace horizontale gM , nous dirons tout simplement leplan central. Le point g, qui est évidemment la projection horizontale de l'œil G, peut aussi être considéré comme étant le lieu où rqwsent les pieds du spectateur; c'est pour cette raison qu'on l'a nommé pointde station. Etcommecepoiutestéloigné de la basedu tableau de la distance Pg , on l'a aussi nommé point de distance. Nous lui conserverons indifféremment cesdeux noms.

Nous avons maintenant tout ce qu'il faut pour trouver la perspective d'un point.

a 56 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

SoitR, le point donné; menons le rayon KG, qui traversera le tableau en k', ce point sera la perspective deK. Il ne s'agit plus maintenant que de savoir déterminer la position de ce point. Puisque g, est la projection horizontale de l'œil, si nous menons la droite Kg, cette ligne sera la projection horizontale du rayon visuel KG. Nous aurons donc un triangle rectangle RgG, qui se trouvera dans le plan central MN, et sera par conséquent perpendiculaire au plan objectif AB. Nous avons déjà vu que KG, hypoténuse de ce triangle coupait le tableau en h' \ nous voyons maintenant que le côté Kg, coupe la base de ce même tableau en P, et comme ces deux points P, h', sont dans le plan du triangle et dans celui du tableau , l'intersection du tableau et du triangle sera donc la droite PA'. D'où il suit que pour déterminer dans le tableau la perspective de K, nous mènerons de ce point une droite Kg, qui coupera la base du tableau en P; de ce point d'intersection nous élèverons une verticale indéfinie; nous mènerons le rayon KG, qui coupera la verticale en g, qui sera le point cherché. Il en sera de même, à l'égard du point L, ou de tout autre.

Observons que ce triangle KgG , se trouve coupé en W, parallèlement à son côté gG, par conséquent les parties de ce triangle seront proportionnelles entre elles ; ainsi nous aurons Kg : gG : : KP : PA'. Nous pouvons donc avoir la hauteur de k', en cherchant une quatrième proportionnelle aux trois lignes Kg, gG, KP,qui sera PA'. Ces trois lignes peuvent toujours être connues, car Kg, est la distance de l'objet aux pieds du spectateur, ou au point de station , ou bien encore à la projection horizontale de l'œil , que dorénavant nous nommerons par abréviation œil horizontal; gG , est la hauteur verticale de l'œil au-dessus du plan objectif, et KP, est la distance de l'objet au tableau. Ainsi la distance de l'objet à l'œil horizontal , ou au spectateur, est à la hauteur de J'œil , comme la distance de l'objet au tableau , est à la hauteur du

point perspectif dans ce même tableau. Les triangles KgG, LgG,

sont semblables, puisqu'ils ont la même bailleur, et qu'ils sont compris entre parallèles ; ces triangles seront donc proportionnels : ainsi 1', perspective de L , aura une même élévation dans le tableau, que k', perpective de K. INous pouvons donc , pour avoir la perspective de L , nous servir du triangle KgG. Pour cela ( lig. 2), projetons L, sur la trace horizontale gM du plan central ; K alors sera considéré comme étant la projection verticale de L. Faisons de même la projection verticale du tableau , en Pv/, et celle de la hauteur de l'œil en gG; menons le rayon KG, qui coupera le tableau en portons la hauteur Pk, dans le tableau vertical de q, en Y. Pour éviter la confusion qui ne pourrait manquer d'avoir lieu dans la projection horizontale , si les objets étaient plus nombreux, nous devrions faire cette projection de L, à part, de la manière suivante. A une distance quelconque (fîg. 3), menons une droite indéfinie parallèle à la trace gM, du plan central; projetons sur cette ligne le point L, en L', le tableau en Qll , et la hauteur de Vceil en gG, menons le rayon LG, qui coupera le tableau Qli , en 1, et Ql sera la hauteur cherchée , que nous porterons dans le tableau de q, en 1. Supposons maintenant, qu'un point que nous nommerons S, soit élevé perpendiculairement au-dessus de L , hg. 2 , d'une hauteur égale à celle de l'œil au-dessus du plan objectif. Nous ferons la projection de ce point, de L en S, lig. 3; nous mènerons le rayon SG,qui coupera le tableau en g', et nous porterons la hauteur Qg, dans le tableau , iig- 2 , de q en s', qui sera la perspective de S ; et comme ce point est aussi élevé que Fœil , sa perspective se trouvera dans le tableau, être située sur l'horizon.

Nous pouvons, de cette manière, faire toutes les opérations de la perspective, et éviter la confusion indiquée ((ig. / } , pl. 1). Nous en donnerons ici un exemple qui ne doit nous présenter aucune difficulté {voyez les fig. 1 , 2 , 3 , pl. 4) , et que nous croyons assez

inutile de décrire , afin que les comniençans s'exercent d'euxmêmes à faire cette opération , rien n étant plus propre à faire bien concevoir le mécanisme de la perspective. Nous n'abandonnerons, au reste, ce dernier moyen que pour passer à d'autres plus commodes, et plus expéditifs, mais qui auraient paru trop abstraits sans la connaissance de ceux que nous venons de voir. Cependant , nous serons encore obligés d'y recourir dans plusieurs occasions.

II nous reste encore une opération à faire avant de terminer cet article de la perspective d'un point. Dans cette opération , nous aurons l'occasion d'appliquer les proportions des triangles semblables, dont nous venons de nous occuper. C'est ce qui arriverait, par exemple, si le point proposé était à une distance tellement grande du tableau ou du plan central, que sa position ne pût pas être indiquée sur notre papier (ce qui arrive souvent), ou même que cette distance fût assez grande pour rendre l'opération incommode, (fig. I , pl. 3).

Soit A , le point donné; nous supposerons sa perspective A', trouvée par l'un des moyens précédons -, rapprochons ce point A , du tableau, de la moitié (ou dune'autre quantité quelconque) de sa distance: alors il sera en A% puisque nous venons de rapprocher l'objet de la moitié de sa distance ; rapprochons aussi l'oeil horizontal b, de la moitié de la sienne, à ce même tableau en b- , afin de conserver le même rapport entre ces deux distances. Projetons ces nouveaux points sur la fig. i (qui est la projection faite parallèlement au plan central, et analogue à la précédente); nous aurons A*, et b'B', pour la hauteur de l'œil; menons le rayon A'B*, nous verrons qu'il coupera le tableau au même point A", que nous aurait donné le rayon AB. Appliquons ce principe à un autre point. Cherchons la perspective d'un point E (fig.i), qui soit supposé éloigné du tableau CD, d'une quantité six fois plus grande que la distance ED. Ainsi la droite ED ne sera

PERSPECTIVE. a5(j

donc que le sixième de la distance demandée. Par conséquent , nous rapprocherons l'œil horizontal h , des cinq sixièmes de sa distance au tableau, qui'sera b"a\ menons la projection horizontale du rayon visuel E£\ qui coupera le tableau en e ( si nous eussions mené ce rayon de E, situé à la distance à laquelle nous le supposons, à luil horizontal b y il aurait coupé Cl), au même point e). De ce point élevons au tableau une verticale indélinie sur laquelle doit se trouver la perspective de E. Pour avoir maintenant la hauteur de ce point, projetons E, sur la lig. 2 , la projection de ce point sera en A. Faisons de même pour b-\ nous aurons la droite />••!>••; menons le rayon AB-, qui coupera le tableau en E", prenons la hauteur CE', que nous porterons dans le tableau de e en E', qui sera le point cherché.

Maintenant nous allons chercher la perspective d'un point F (lig. i), qui soit éloigné du tableau CD autant que nous avons supposé être le point E, c'est-à-dire, six fois plus qu'il ne lest ici, et que, de plus, ce point F, soit éloigné du plan central d'une distance sept l'ois plus grande que la droite FA, qui par conséquent ne sera que le septième de cette distance. Si le point F était à la place que nous lui assignons, le rayon horizontal , mené de ce point à l'œil b , couperait CD en de ce point nous élèverions une verticale au tableau, sur laquelle nous porterions la hauteur requise gF'. Mais il n'en est pas ainsi; le point en question doit être censé hors de notre papier, par conséquent nous ne pouvons mener ce rayon; il faut donc que nous rapprochions l'œil, puisque F n'est qu'au sixième de sa distance au tableau; menons de ce point à h" (qui n'est aussi qu'au sixième de la sienne à ce même tableau ) la droite F/;**, qui coupera CD en f, ce qui nous donnera le triangle A**AF, coupé par le i tableau en af\ parallèlement à son côté AF ; nous aurons donc Ze A : AF : : b"a : af. Mais comme AF est le septième de la distance de F au plan central, r/facvn aussi le septième (dans le

a 6o NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

tableau) de la distance de / au même plan central. Par conséquent si nous portons af sept fois sur CD, nous retrouverons le point g, car ga est le septième de la distance entière de F au plan central. Ou bien nous porterons af sept fois sur la base du tableau vertical de a en g j de ce point nous élèverons une verticale indéfinie sur laquelle nous porterons la hauteur requise de g en F'. Cette hauteur sera égale à celle deE', puisque ces deux points sont également distans du tableau, car A, fig. 3, sera la projection de F, et le rayon AB*- coupera le tableau en E donc CE- sera la hauteur cherchée.

Des Lignes et des Plans. (Fig. 3, pl. 3, et fig. i, a, pl. 5)- Problème 2. Trouver la Perspective et une droite donnée.

Soit AB la droite donnée. Des extrémités A, B, de cette ligne, menons à l'œil horizontal ? les rayons Ac : Bc $ nous voyons dans toutes ces figures que le tableau n'est pas coupé par ces rayons Ac, Bc, AC, BC, par conséquent chacun de ces points sera à la fois original et perspectif. Donc, lorsqu'une droite est située dans le plan du tableau, cette ligne n'éprouve aucun changement, et est a la fois originale et perspective.

Voyons maintenant quelle sera la perspective d'une droite DE, parallèle au tableau et située dans le plan objectif. Ayant mené' des extrémités de cette ligne , les projections De, Ec, de', bc / , des rayons, ainsi que ces rayons eux mêmes DC, EC, nous aurons un triangle DCE, dont la base DE sera parallèle à celle du tableau, par conséquent chacun des points D, E , de cette base , sera également éloigné de celle de ce même tableau ; leurs hauteurs dans le tableau seront donc les mêmes ; donc la droite comprise entre ces deux points de' , ou la perspective de DE, sera parallèle à la base du tableau. De plus, le

triangle DCE sera coupé par le tableau parallèlement à sa base DE ; donc l'intersection de sera parallèlè à cette même base , et par conséquent à celle du tableau. Donc, lorsqu'une droite originale est parallèle à la base horizontale du tableau, la perspective de cette ligne est aussi parallèle à la base de ce mente tableau.

Les deux lignes AB, DE (fig. 3, pl. 3 ) , étant jointes par les droites AD, BE, formeront un rectangle AE, dont nous avons déjà la perspective de deux des côtés, AB, DE. Donc , si nous joignons les droites , àd, he , nous aurons un quadrilatère de', qui sera la perspective du rectangle AE. Les droites DA, EB, seront perpendiculaires au tableau; par conséquent dd, be', seront donc les perspectives des droites originales , qui sont perpendiculaires au tableau. Mais nous voyons que ces deux lignes ne sont pas également situées par rapport à la base du tableau , car dd est perpendiculaire à cette base, tandis que he* est évidemment inclinée à cette même base. Nous allons examiner pourquoi cette différence a lieu , ce qui exige un peu d'attention.

Nous#oyons d'abord que ladroite AD, fig. 1 , a, pl. 5, étant dans le plan central , le triangle DAC sera aussi dans ce plan; par conséquent îl sera dans une position verticale; ce triangle coupera donc le tableau selon la droite Ad, perpendiculaire à sa base. Cette ligne étant prolongée sera donc la trace d'un plan perpendiculaire au plan objectif ( lorsqu'un plan est perpendiculaire à l'un des plans de projection , sa trace sur l'autre plan est perpendiculaire à la commune section. Géométrie descriptive) qui passera nécessairement par le point de vue; ainsi la droite Ac' contiendra la projection verticale du triangle DcC, et l'intersection de ce triangle DAC avec le tableau sera la droite Ad, perspective de AD; cette ligne tendra donc au point de vue c\ Voyons maintenant la droite BE, qui est aussi la base d'un triangle EBC > qui ne se trouve pas comme le premier , dans un plan perpen-

26a NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVÉ.

tliculaire au plan objectif, car la base EB est hors du plan central, et le sommet C est situé dans ce même plan central. Ce triangle sera donc un plan incliné au plan objectif et perpendiculaire au tableau ; par conséquent sa projection horizontale sur le plan objectif sera le triangle EBc , et sa projection verticale dansle tableau sera la droite bc , fig. 3, pl. 3, et Bc / (fig. i, 2, pl. 5); et comme l'intersection be fait partie de bc, cette perspective be sera aussi dirigée vers le point de vue c\ ainsi que l'est àd. Et, comme il en serait de même de toute autre droite perpendiculaire au tableau , nous pouvons en conclure que les perspectives de toutes droites perpendiculaires au tableau sont dirigées vers le point de vue.

Nous venons de voir que les perspectives de toutes les droites qui sont parallèles à la base du tableau horizontal sont aussi parallèles à cette même base verticale, ou du tableau perspectif, et par conséquent n'ont pas de point de concours, comme celles dont les droites originales (ainsi que nous venons de lé voir) font un angle droit avec le tableau, et qui concourent au point de vue. Voyons maintenant quel serait le point de concours ^tes perspectives dont les originales feraient un angle quelconque avec la base du tableau.

Soit AB la droite don née (fig. i, 2, pl. 6, et fig- 1, pl. 7), faisant avec BC , base horizontale du tableau , un angle ABC , de 45°. La perspective de cette ligne sera a'b, ou c'B, laquelle étant prolongée rencontrera l'horizon en un point f/'qui sera le point de concours des perspectives dont les originales seront parallèles à AB. Nous devons facilement voir que la droite originale AB sera la base d'un triangle scalène ABE (fig. 2, pl. 6, et 1, pl. 7), formé par cette ligne et par les rayons AE , BE; ce triangle aura donc sa base sur le plan horizontal , son sommet à l'œil du spectateur; il sera incliné aux deux plans de projection , et coupera le tableau selon la droite <z'B. La projection verticale de ce triangle sera dans le

PERSPECTIVE. a63

tableau le triangle OB.(%« les fig. G, G-, où ce triangle est dégagé de toutes les lignes de construction). Nous savons qu'un triangle quelconque peut toujours être considéré comme étant la moitié d'un quadrilatère; donc si par E , nous menons une droite parallèleàBA , et uneautreAF, parallèle au rayon BE,nous aurons un plan quadrilatère AE, double du premier triangulaire ABE, et qui sera divisé en deux parties égales par la diagonale ou le rayon AE. Puisque le côté EF est à la 'hauteur de l'œil, il rencontrera nécessairement le plan du tableau (supposé prolongé s'il est nécessaire) à un point d', de l'horizon ; donc l'intersection entière du plan AB avec le tableau , sera la droite d'B ; donc b' sera le point de fuite de la droite AB, et par conséquent celui de toutes les droites qui seraient parallèles à cette ligne ( iig. H, H-).

Concevons des perpendiculaires abaissées des points E, F , sur le plan horizontal ou objectif; nous aurons les points <?,/, pour les projections de Eet de F. Menons les droites eB*, ef,fA; nous aurons le quadrilatère /B, ou Ac, pour la projection horizontale du plan incliné AE. Les droites FE,yî?, avec les perpendiculaires E<?, Yf, fermeront un rectangle eF, ou fYi, qui passera par ces perpendiculaires Ee, F/j par conséquent ce plan sera vertical , ou perpendiculaire au plan horizontal , et coupera le plan du tableau (prolongé s'il est nécessaire) selon la droite d(T. (Iig. I, I"). Observons que les droites E*f , ed, étaut parallèles, à AB, ces lignes feront donc aussi avec le tableau un angle de 45°; donc Ee égale éd. Mais Ee' est le rayon principal, ou la distance de l'œil au tableau; donc nous pouvons considérer d' comme- étant le point de distance transporté sur l'horizon du tableau, de e' en d'. Donc les perspectives de toutes les droites objectives et horizontales faisant un angle de 45° avec le tableau y concourront au point de distance.

Nous avons déjà vu que les perspectives des droites qui font un angle droit avec le tableau, étaient dans la direction du point

de vue; nous venons de voir que les perspectives des droites faisant un angle de /p°, tendaient au point de distance; il ne nous resté plus qu'à voir quelle serait la direction des autres droites, faisant avec le tableau un angle quelconque. Nous devons facilement entrevoir que si la droite originale faisait avec le tableau uu angle plus grand que 4^°, son point de concours se trouverait sur l'horizon, entre le point de vue et celui de distance, et que si cet angle était plus petit que 4^°, le point de concours serait au-delà du point de distance. (Ces nouveaux points de concours sont nommés points accidentels. ) Ainsi, la perspective d'une droite horizontale faisant un angle quelconque ayee le tableau s aura son point de fuite sur l'horizon, h l'intersection du tableau avec un plan qui passerait par cette droite et par l'œil.

Si nous nous sommes occupes spécialement des droites faisant avec le tableau des augles droits , et de 4^°, ce n'est pas que ces lignes* fassent une exception à la règle générale que nous venons d'exposer, mais c'est parce que ces deux cas que nous avons distingués particulièrement nous serviront beaucoup par la suite , à abréger les opérations de la perspective. Nous avons déjà vu (iig. 3, pl. 3, et Gg. 1, 2, pl. 5)que le rayon principal (qui est toujours perpendiculaire au tableau) était nécessairement parallèle aux droites perpendiculaires à ce même tableau , et que l'intersection de ce rayon avec le tableau ou le point de vue, était le point de fuite ou de concours de toutes ces droites. Nous voyons ici que le point de concours des droites faisant un angle de 45° avec le tableau , est à l'intersection du tableau et d'une droite E<f , parallèle à AB, menée de l'ceil à ce tableau. Et comme il en serait de même de toute autre ligne faisant un angle quelconque avec ce même tableau , il s'ensuit que : le point de concours des droites horizontales , formant un angle quelconque avec le taBleau, est à t intersection d une parallèle à ces mêmes droites , menée de l'œil au tableau.

PERSPECTIVE. a65

Il suit de ce qui vient d'être dit, que pour avoir le point de concours d'une droite horizontale , faisant un angle quelconque avec le tableau 3 il nous suffira de mener de l'oeil à l'horizon une droite parallèle à la ligne originale. Ou bien, ce qui est la même chose , par e , projection horizontale de l'œil E , menons a la base du tableau une droite ed , parallèle à BA ; et de l'intersection d , élevons une verticale qui coupera l'horizon en <f, qui sera le point cherche.

Nous venons de dire que les droites qui formaient, avec le tableau, des angles droits et de 4$°, nous seraient très utiles pour abréger les opérations de la perspective; afin de ne pas perdre de vue cet objet, nous allons provisoirement en donner un exemple. Fig. 2, soit le carré horizontal ABCD, dont la perspective ahcd, a été trouvée par un des moyens quelconque que nous connaissons. Nous pouvons voir d'abord que les côtés de cette figure sont situés conformément aux principes que nous venons d'exposer, c'est-à-dire que le carré original a deux de ses côtés AD, BC, parallèles à la base horizontale du tableau; ainsi, dans la perspective, les deux côtés correspondans ad , bc , sont restés parallèles à la base du tableau vertical , les côtés AB, CD, sont perpendiculaires au tableau, les côtés ah f cd, concourent au point de vue e\ les diagonales BD, CA, forment, à droite et à gauche, avec la base du tableau, chacune un angle de 45°, leurs perspectives bd , ca, concourent aux points de distances E', E', éloignas chacun de e', de la distance Ce, de l'œil au tableau. Faisons abstraction , pour le moment, de tout ce que nous venons de dire, et ne nous occupons que de chercher la perspective du seul point A. De ce point abaissons sur la base du tableau une perpendiculaire AB, qui sera la distance de A , au tableau ; ainsi nous voyons que A est situé sur une perpendiculaire au tableau , que cette ligne est éloignée du plan central , de la distance AD, ou BC. Nous porterons cette distance CB, sur la base du

a66 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

tableau vertical de c, en h; de ce point nous mènerons la droite Le', qui sera la direction indéfinie de la droite, sur laquelle doit se trouver la perspective de A. Maintenant portons AB, distance de A, au tableau, sur la base horizontale de B, en C, et sur la base verticale de b , en c; nous aurons CB égale AB, ou la moitié d'un carré; et cb sera la projection verticale de CB. MaisC, étant l'extrémité de la diagonale CA , laquelle coupe BA, au point A, c, sera aussi celle de la diagonale perspective, qui doit couper be', en a s qui sera le point cherché. Or, nous savons que cette ligne doit être dans la direction du point de distance; menons donc la droite cE', et l'intersection a sera le point que nous cherchons. Cette opération si simple est beaucoup plus longue à décrire qu'à faire, ce que va nous confirmer un second exemple. Nous aurions pu nous passer de la projection horizontale, mais nous aurions craint de paraître trop abstraits, et par là de n'être pas suffisamment entendus.

Nous allons chercher la perspective d'un point original, que nous nommerons F, et qui doit être situéà 35 mètres du plan central , et à 63 de la base du tableau (échelle d'un millimètre pour mètre). Portons 35 mètres sur la base du tableau de c en î\ menons la droite îé\ portons G3 mètres de f en b; menons la droite bE', et l'intersection / de ces deux lignes sera le point cherché. Ainsi nous voyons que cette opération n'est pas longue à faire; mais les détails dans lesquels nous sommes précédemment entrés, étaient nécessaires pour en donner une connaissance suffisante, et ne pas s'en tenir uniquement à l'opération mécanique. Nous allons passer de suite à un autre exemple d'application directe des opérations qui viennent de nous occuper (lig. î , pl. 8).

Il s'agit dans cet exemple de trouver la perspective d'un carré AB, situé dans le plan objectif, et incliné à la base du tableau sous un angle quelconque. Pour résoudre ce problème , nous

n'avons besoin que d'avoir la perspective du seul poiut A, que nous pouvons trouver de plusieurs manières , mais qu'il nous convient mieux ici de chercher par le nouveau moyen que nous venons d'employer. Nous voyons d'abord que ce point A est sur la trace horizontale du plan central, et à la distance Ac, du tableau. Ainsi la perspective de A devra donc se trouver sur la droite ac\ Portons la distance Ac*, sur la base du tableau vertical de a, en A-- ; menons au point de distance C', la droite A--C, et l'intersection a sera le point cherché. Nous avons donc déjà deux points d#la perspective de ce carré; car B étant sur la base du tableau, b sera la perspective de ce point. Nous avons déjà vu que les intersections des droites menées de l'œil au tableau, parallèlement aux droites objectives, étaient les points de • concours de ces lignes objectives. Menons donc de c, des droites parallèles aux côtés BE , BF , du carré AB : ces lignes rencontreront la base horizontale du tableau en g, et en h. De chacun deces points élevons une verticale jusqu'à l'horizon du tableau eng'/t', qui seront les points de fuite cherchés , vers lesquels doivent concourir les quatre côtés du carré perspectif. Ou bien , ce qui est souvent plus juste et plus commode, portons cg, ch, sur l'horizon de d y en g', et de c , en H. Nous ne devons pas négliger d'observer que nous aurions pu avoir ces deux points d'une autre manière, sans nous servir de la projection horizontale. Portons la distance c'C, de l'œil au tableau , sur la trace verticale du plan central de c\ en C*, et de ce dernier point, menons parallèlement aux côtés BE, BF, les droites C'g', C'A'. Afin d'avoir une idée claire de cette dernière opération , concevons le triangle g'C'U, tournant sur sa base gfÀ', en avant du tableau, jusqu'à ce qu'il soit perpendiculaire an plan de ce même tableau ; alors nous verrons que les droites parallèles aux côtés BE , BF, sont menées directement de l'œil C*, à l'horizon aux points g r , h. Des points a , b , menons les droites indéfinies ag, bg f , qui seront les direo

a68 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

tions perspectives des côtés AF, BE ; menons encore les droites ah', hh'; ces lignes seront les directions des côtés AE, BF, et les intersections f de ces directions perspectives seront les deux

autres points des angles du carré perspectif ab.

Arrêtons-nous encore une lois sur la méthode par laquelle nous venons de trouver la perspective du point A, et reprenons entièrement cette opération , ce qui est essentiel. Nous concevrons donc (ce que nous avons déjà vu) un rayon allant de A à l'œil c : ce rayon sera 1 hypoténuse d'un triangle rectangle, dont Acscra un des côtés, et la hauteur de l'ceil sera l'autre.tCouchons ce triangle dans le plan horizontal , en AcC : nous verrons qu'il coupera le profil du tahleau selon la droite ca-, qui sera la hauteur de l'intersection du rayon visuel AC, avec le tahleau, et par conséquent la hauteur de «, perspective de A, dans le tahleau. Maintenant concevons le triangle AoG, relevé verticalement sur sa base Ac, et ensuite tournant sur le point c , jusqu'à ce qu'il soit appliqué dans le plan du tableau; pendant ce mouvement, les deux extrémités A , C, de sa base auront décrit chacune un quart de cercle *, alors le point A sera eu A', et le point cen c; nous devons facilement concevoir que l'œil C doit aussi se trouver dans le plan du tableau, perpendiculairement au-dessus dec*' et à la hauteur de l'horizon ou de l'œil. Si nous faisons la projection verticale de ce triangle dans cette dernière position, nous aurons le triangle A xC', égal et semblable au premier, et dont l'hypoténuse nous donnera également le point a. Cette opération nous prouve l'avantage qu'il y a d'employer ce nouveau moyen à la pratique de la perspective.

Supposons maintenant que le point A soit trop éloigné de la base du tableau pour pouvoir être indiqué sur notre papier ; nous savons que dans ce cas il faut rapprocher l'objet et l'ceil du tableau dans un même rapport , que nous supposerons ici être de la moi tié. Ainsi , A sera en A 3 , c en c* \ après le mouvement du triangle, il

sera en A< , c 3 sera en c 4 ; avant le mouvement, l'œil C était en c,

et après il se trouvera perpendiculairement au-dessus de c*. et dans le tableau vertical il sera en C J , c* en c* ; enGn , nous aurons , dans la projection verticale, le triangle A^O, semblable et proportionnel au triangle A* 'cC. Ainsi , en menant de A 5 , moitié de la distance de A au tableau, une droite à C, moitié de la distance de l'œil au tableau, nous aurons également le point a. Nous pouvons donc avoir directement ce point dans le tableau sans faire aucune opération sur la projection horizontale. Nous allons de suite appliquer ce principe à un nouvel exemple.

Problème 3 (fig. 2). Étant donné le tableau ab , le point de vue c et le point de distance d, tivuver la Perspective d un jwint original situé dans le plan objectif, sur la trace du plan central ef, et qui soit éloigné de cent mètres de la base du tableau, sur l'échelle d'un millimètre pour mètre.

Prenons le dixième de la distance donnée et portons-le de e en f ; prenons également le dixième de cd , et portons-le de c en g; menons la droite fg, qui coupera ce en h , qui sera le point cherché. Cherchons maintenant un autre point qui soit à une môme distance de la base, et à trente mètres à droite du plan central ; portons trente mètres de e en i ; menons la droite ic, qui sera parallèle à ec; portons le dixième de cent ef, de i en k; menons kg, et l'intersection / sera le point demandé. Nous aurions pu avoir ce point encore plus promptement, eu menant par //, une horizontale qui aurait coupé ic également au point /. Si nous voulons avoir un point cjui soit encore à la même distance de la base , et à cent mètres à gauche du plan central ; si cette distance ne peut pas être contenue dans notre papier, prenons-en une fraction, par exemple le quart, que nous porterons de e en n; menons la droite ne; prolongeons la droite //t, à gauche : cette ligne coupera la droite ne en o, et ho sera lé

quart de la distance demandée au plan central que nous porterons quatre fois sur le prolongement de l'horizontale /o, jusqu'en p> qui sera le point requis. Cette manière d'obtenir des poinK qu'on ne peut pas avoir directement, est d'un grand secours dans une inGuité d'occasions, et d'un fréquent usage. Nous devons voir que ces opérations sont fondées sur les propriétés des proportions, dont nous avons parlé. Ainsi , nous ferons bien de nous les rendre familières, en nous y exerçant beaucoup.

Soient AB, CI), EF, Gll (tig. i, pl. 9 et lig, 1, pl. 10), quatre droites perpendiculaires au tableau BH et bh, les perspectives uY ces lignes tendront au point de vue telles sont Btf , De, Fe, Hg. Si les droites originales étaient plus longues, leurs perspectives le seraient aussi; mais telle grandeque nous puissions supposer leur longueur, leur perspective ne pourra jamais atteindre le point de vue, à moins que ces longueurs ne fussent infinies : ainsi l\ï, par exemple, est la perspective d'une droite originale inlinie en longueur, et ainsi des autres. Par conséquent, les perspectives de toutes les droites situées dans un plan horizontal, ne pourront dans aucun cas dépasser l'horizon du tableau.

Ces quatre droites peuvent être considérées comme étant les limites des plans horizontaux BC, FG, l'un au-dessus, et l'autre au-dessous du plan horizontal, niveau de l'œil du spectateur. Nous pouvons aussi considérer ces plans comme étant d'une étendue illimitée; par conséquent leurs perspectives Bc , Fg 9 ne pourront jamais dépasser l'horizon du tableau. Donc thorizon du tableau est la ligne de fuite, des perspectives de tous les plans horizontaux. Nous pouvons encore concevoir ces mêmes droites originales, comme étant aussi les limites des plans verticaux BE, DG, perpendiculaires au tableau. Par les mêmes raisons que nous venons d'exposer au sujet des plans horizontaux , les perspectives des plans verticaux et perpendiculaires au tableau ne pourront jamais dépasser la trace À7, du plan central. Donc

'mÈËL *r

la trace du plan central dans le tableau, est la ligne de fuite de tous les plans verticaux et perpendiculaires au tableau. Comme dans cet exemple, les plans verticaux, dont nous venons de parler, sont carrés , leurs diagonales, AF, BE, CH, DG, sont nécessairement inclinées au plan objectif et horizontal, sous un angle de 45°. Les perspectives de ces lignes auront leurs points de concours dans la ligne de fuite des plans verticaux qui les contiennent, ou dans la trace du plan central. Ces points A, /, seront éloignés du point de vue do la distance Ii', de l'œil au tableau ; de même quelles droites situées dans un plan horizontal , et faisant un même angle avec le tableau , ont les leurs dans la ligne de fuite des plans horizontaux, ainsi que nous l'avons vu.

Le plan AG, étant parallèle au tableau, aura pour perspective le carré ag , semblable à sou original , ainsi que nous l'avons déjà dit; car si nous faisons passer un plan MN, par l'œil I, et qui soit parallèle au tableau, nous verrons d'abord que ces deux plans ne pourront jamais s'entrecouper. Par conséquent les plans parallèles au tableau ne peuvent avoir des lignes de fuite, de même que les lignes parallèles entre elles contenues dans ces plans ne peuvent avoir de points de concours. Donc les pei^ speetwes des plans parallèles au tableau, ne peuvent avoir de lignes de fuite, et seront toujours des figures semblables à leurs originaux.

Des Lignes et des Plans inclinés a t Horizon, ou au Plan horizontal (même figure).

La droite BE est évidemment inclinée au plan objectif horizontal; de plus cette ligne est située dans un plan vertical et perpendiculaire du tableau. D'après ce que nous avons déjà dit, sa perspective aura donc son point de fuite dans la verticale du tableau en un point quelconque k, qui sera plus ou moins élevé

a 7 a NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

en raison de l'inclinaison plus ou moins grande de la droite originale. La perspective de AF aura le sien en / ; il en sera de même des droites CH, DG, etc. ; donc toutes les droites inclinées à l'horizon, parallèles entre elles et contenues dans des plans verticaux et perpendiculaires au tableau , auront leurs points de concours dans la ligne de fuite de ces mêmes plans ou dans la 'verticale du tableau.

Soient AB, CD (fig. a , pl. 9) deux droites objectives données; les perspectives de ces lignes seront les droites aB , cD, dont les directions tendent vers un point de concours E , qui est situé sur l'intersection du tableau avec un plan E/, passant par l'œil F , et qui est parallèle aux plans des triangles verticaux A/zB , CcD, passant par les lignes objectives données. La droite FE est une ligne menée de l'œil au tableau (prolongé s'il est nécessaire) parallèlement aux droites données. Cette dernière ligne, qui est dans le plan /E, déterminesur le tableau lepointde concoursE des droites perspectives Ba , De. Nous allons voir un second exemple de ce même problème considéré d'une autre manière ( û'g. 1 , pl. 11).

Les lignes données sont , dans cette ligure, les mêmes que dans l'exemple précédent; seulement nous les supposerons situées dans un plan BC , lequel sera par conséquent incliné au plan objectif. Le plan GE passe par l'œil F , est parallèle au plan BC , et coupe le tableau dans son prolongement selon la droite HE, qui sera par conséquent la ligne de fuite de tous les plans parallèles au plan BC. La droite FE est la ligne menée par l'œil au tableau , parallèlement aux droites données. Cette ligne est dans le plan GE , mais elle est aussi dans le plan /E; par conséquent elle est à l'intersection de ces deux plans et rencontre le tableau en E, qui -sera le point de concours cherché. Il arrive souvent que les lignes données font avec le plan objectif ou horizontal un angle plus grand que n'est celui dç,cet exemple; alors le point de fuite E peut se trouver tellement éloigné qu'il est impossible

d'exprimer sa position sur le papier ; lorsque ce cas arrive, il faut s'y prendre d'une autre manière. Par exemple , nous chercherons les perspectives des projections horizontales Ba, De, qui seront dans le tableau Ba, De'; par les points a', c' , nous élèverons des verticales indéfinies sur lesquelles nous porterons les hauteurs perspectives de aA et de eC, qui seront a'a, c'e; nous mènerons les droites Ba, De, qui seront les lignes cherchées. Ces ligures, qui sont en perspective, ne nous permettent que d'indiquer les opérations que nous venons de décrire, ce qui ne nous dispense nullement de les effectuer, ainsi que nous allons le faire (fig. i).

Soient aB, cD les projections horizontales des droites objectives données, et l'angle aBA la mesure de l'inclinaison que ces droites BA , DC ont sur le plan horizontal. (Nous ne devons pas perdre de vue que ces dernières lignes sont renversées et couchées dans le plan objectif.) De /, projection horizontale de l'œil, menons parallèlement à Ba ou à De la droite fe\ portons De sur l'horizon du tableau de f en e', qui sera le point de fuite des projections horizontales et parallèles Ba, De. Menons les droites he de': ces lignes seront les directions perspectives et indéfinies des droites Ba, De. Observons que Dd est la trace horizontale perpendiculaire au tableau, et que cette ligne coupe la droite Ba en a\ par conséquent la perspective de Dd doit couper la perspective de Ba en un point a' qui sera la perspective de a. Comme a, c sont à égale distance du tableau, les perspectives de ces points en seront de même également éloignés; donc, en menant par a une parallèle à la base du tableau , cette ligne coupera de'en c', qui sera le point cherché. De chacun des points à, c', élevons des verticales indélinies; par e (projection horizontale) élevonsà Je une perpendiculaire indélinie qui sera la coupe ou le profil du tableau. Par/", menons une parallèle à DC ou à BA , qui coupera la perpendiculaire indéfinie ou Je tableau en E, et la droite /E sera le rayon visuel parallèle à la droite originale BA ou DC menée de l'œil au

a 7 4 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

tableau et couché aussi dans le plan horizontal. Concevons le triangle rectangle yèE relevé perpendiculairement sur sa base fe, nous aurons l'idée de la hauteur de E dans le tableau au-dessus de l'horizon de ce même tableau. Portons donc cette hauteur eE»

dans le tableau de e' en E', qui sera le point de fuite des droites données. Menons les droites dE' bE', qui seront les directions indéfinies des perspectives cherchées; ces directions couperont les verticales élevées des points a, c en a et en c; les droites ba, de, seront les perspectives demandées. Dans le cas où nous n'aurions pu avoir le point de concours E', après avoir trouvé les droites ba' , de' et avoir élevé les verticales indéfinies, nous trouverons la hauteur de ces lignes , i° en couchant dans le plan objectif la hauteur de l'œil en F, et celle de a A, en A* ; a^enmenajat ensuite le rayon A'F, qui coupera le tableau en .r, et portant IXr dans le tableau de d en a; de ce dernier point, nous mènerons une horizontale qui coupera la verticale élevée de c en un point c; ou bien nous ferons ce égal à fl'a, et nous mènerons les droites ba , de , qui seront les lignes cherchées; ou bien encore, nous porterons la hauteur aA sur la base du tableau de d en y\ nous mènerons la droite^/ 7 , ainsi que l'horizontale a , z,et nous porterons a'z , de a en a , et de c' en c , etc.

De la Distance la plus convenable du spectateur au tableau

( hg. i, pl. 12).

Nous savons déjà que le plus grand angle sous lequel l'œil puisse voir distinctement un ou plusieurs objets, est l'angle droit; nous pouvons donc considérer la somme des rayons qui peuvent entrer dans l'œil sous cet angle , comme formant un cone dont l'œil sera le sommet , et dont les cotés, par leur réunion à ce point, forment unangledroit. Par conséquent, l'œil ne pourra voirdisti nctemcntqueles objets qui seront placés dans la base de ce cône. Ainsi

PERSPECTIVE. 1 a 7 5

un tableau est dans ce cas. Soit AB, al>, les projections de la base d'un tableau (que dans ce cas nous supposerons carré). Pour que ce tableau puisse être inscrit dans le cercle de la base d'un cône , dont les côtés forment un angle droit au sommet, il faut que l'axe de ce cône soit égal au rayon du cercle de la base. Ainsi de c, centre du tableau , avec c'a, ou cb, pour rayon, nous décrirons un cercle qui contiendra entièrement ce tableau. Nous porterons ce rayon dans la projection horizontale de c , en c , et la droite ce, sera la plus petite distance que nous puissions prendre pour voir distinctement le tableau aE.

Si nous faisons un angle droit au point de distance ou de station C y nous aurons un triangle isocèle dont la base de, sera égale au diamètre de la base du cône, circonscrit au tableau. Cette distance ce , qui convient pour le tableau aE , serait trop petite pour le tableau aG, qui aurait même base et plus de hauteur, ou pour le tableau aH , qui a même hauteur et plus de largeur , car nous voyons que l'un ou l'autre de ces deux derniers tableaux ne sont plus , comme le premier , contenus entièrement dans le cercle de la base du cône optique. Nous devons donc, dans ce cas, augmenter la distance de l'œil au tableau , ce que nous ferons en prenant pour rayon la distance du point de vue c', à l'angle le plus éloigné , tel que c'G'ou c'H, que nous porterons dans la projection horizontale de c' en c. Nous voyons par là que la distante, doit varier en raison de la" hauteur ou de la largeur du tableau. Mais , en général , il vaut mieux prendre une distance plus grande que celle-ci , qui est la plus petite que nous puissions prendre. Celle qui nous paraît le mieux convenir, est la longueur de la diagonale du tableau. L'inconvénient qui .résulterait d'une trop grande distance serait que les objets situés sur les plans un peu éloignés de la base du tableau se confondraient trop. La distance plus ou moins grande dépend encore de l'élévation plus ou moins grande de l'œil au-dessus de la base du tableau. En général , plus

l'œil est élevé, plus il convient de prendre une plus grande distance. Nous pouvons voir dans cette figure les différences que présente un même carré, vu de plusieurs distances. Soit un carré dont le côté soit ab , et dont la diagonale ai, est dirigée vers e', point de la plus petite distance ce. Le carré ak est vu de la distanct ce" , ou cf. Enfin, le carré aZ, est vu delà troisième distance ce 3 , ou c'//', qui est égale à la diagonale aE, du premier tableau. Ainsi , nous voyons qu'un même carré peut paraître plus ou moins bas en raison d'une distance plus ou moins grande.

La droite de , projection borizontale du tableau, selon la diagonale aE ,ou le diamètre d'e\ est , dans cet exemple, vue successivement sous différons angles; d'abord sous l'angle droit dee , ensuite sous les angles aigus dc"e, dc'c, etc. L'expérience seule fera connaître la distance qui conviendra le mieux dans tel ou tel cas. Nous venons de voir les changemens qu'éprouve l'apparence d'un objet vu à des distances plus ou moins grandes , nous allons voir maintenant que ces mêmes changemens peuvent aussi avoir lieu , quoique Tobjetsoit vud'une même distance au tableau ; cela dépend de l'élévation plus ou moins grande de l'œil , relativement à cet objet et au tableau (fig. 2).

Soit Le tableau ab , vu de la distance cd. Prenons , comme dans l'exemple précédent, la base ae , pour coté d'un carré, la perspective de ce carré sera le carré af\ maintenant, descendons l'horizon jusqu'en cd , la distance sera évidemment la même, et l'apparence du même carré , dans ce second cas, sera le carré af.

11 résulte de ce qui vient d'être dit , que, dans la perspective d'un ou de plusieurs objets, nous devons avoir égard, nonseulement à la distance de laquelle ces objets doivent être vus , mais encore à l'élévation plus ou moins grande de l'horizon, ou , ce qui est la même chose, à celle de l'œil. Ainsi , la hauteur de l'horizon dans le tableau dépend du plus ou moins de développement que l'on vêtit avoir dans les objets que l'on se propose

PERSPECTIVE. a 77

de mettre en perspective. Mais, en général , la position la plus avantageuse , est lorsque l'horizon se trouve à peu près au tiers de la hauteur du tableau , comme dans cet exemple. D'ailleurs , l'expérience fera sentir, à ce sujet, tout ce qu'il est impossible de dire. Ce que nous avons vu jusqu'ici renferme tous les principes de la perspective. Nous allons tâcher d'en faire l'application à la résolution de plusieurs problèmes (tig. i, pl. i3).

Problèke 4« Etant donnés i° la Distance au tableau; a 0 le Côté perspectif d un carré, terminer ce carré sans se servir de la pivjection horizontale.

Nous allons commencer la résolution de ce problème par les cas les plus faciles. Soit ab le côté donné. Puisque ce côté est parallèle à la base du tableau , les côtés latéraux de ce carré sont perpendiculaires à cette même base; par conséquent, ces côtés doivent concourir vers le point de vue d. Menons donc les droites indéfinies ac, bc f et, en conséquence de la position de ce carré par rapport au tableau , la diagonale sera inclinée de 45° , sur la base de ce même tableau ou sur # le côté ab; or , nous savons qu'une ligne inclinée sous cet angle cfoit tendre au point de distance ; menons donc la droite ac, qui coupera bd en un point </, ce qui nous donnera Ar/égal à ba; et, comme le côté de est parallèle à ab , ou à la base du tableau , cette ligne qui doit rester parallèle à cette même base , sera terminé en e , par la droite ad , et nous aurons le carré ad ou be demandé.

Soit donné maintenant le seul point /, pour le sommet de l'angle d'un carré , d'une grandeur quelconque , mais dont la diagonale doit être perpendiculaire au tableau : la direction de cette ligne devra donc tendre au point de vue c', et sur celte ligne fd, direction de la diagonale, prenons à volonté un point tel que k,etfh sera la diagonale perspective du carré que nous nous proposons de faire. Puisque cette diagonale est perpendiculaire au

tableau, les côtes du carré seront inclinés de 45°, sur la hase de ce même tableau; les directions de ces côtés doivent donc concourir vers les points de distance ce' ; meuons les droites fc,fc', qui seront les directions des côtés FG, Fl (projection horizontale) ; nous mènerons ensuite les directions ch , ch , prolongées jusqu'à leur rencontre avec les premières aux points g, i , et le carré fli ou gi sera terminé. Quoique nous n'ayons pas eu besoin de recourir à la projection horizontale , nous avons néanmoins jugé à propos de l'insérer ici , afin de mieux rfous rendre compte de celte opération , ainsi que nous allons le faire dans l'exemple suivant (fig. i, pl. i4)> ou même que dans le premier exemple, nous allons nous proposer de déterminer la perspective d'un carré dont un seul côté est donné , faisant un angle quelconque avec la base du tableau. Ce problème, qui semble d'abord si peu différent du premier , ne laisse pourtant pas de présenter quelques difficultés, ce qui nous fera sentir l'avantage qu'il y a de recourir, dans certains cas , aux moyens indirects, cas qui se rencontrent assez fréquemment dans la pratique.

Soit ab , le côté donné; prolongeoas ce côté jusqu'à l'horizon en c'; portons la distance de l'œil au tableau dans le prolongement du plan central de d en D, cl menons la droite c'D , qui sera parallèle au côté ah, ou à son original AB; pour bien comprendre ceci , nous allons nous aider de la projection horizontale. H appelons-nous de quelle manière nous avons trouvé le point de fuite d'une droite donnée; par exemple, nous voulons avoir cv point pour le côté AB : par l'œil horizontal d, menons une parallèle à AB, qui coupera le tableau en c; portons de sur l'horizon de d, en c', et c' sera le point demandé, ou le même que nous avions déjà trouvé , mais sans trop savoir comment. Concevons ou supposons le triangle t/cd, tournantsur sa base cd jusqu'à ce qu'il soit relevé verticalement dans le plan du tableau. Ensuite faisons la projection verticale de cette supposition, au-dessus de l'hori-

zon , nous aurons le triangle. DcV/'. Concevons maintenant ce dernier triangle tournant sur sa base c'd , jusqua ce qu'il soit ramené en avant dans le plan de l'horizon. Lorsqu'il sera dans cette position , sa projection horizontale sera la même que le triangledcà ; donc, D, c est parallèle à AB ou à ai. Nous pouvons , par ce moyen , nous passer de la projection horizontale pour la résolution de ce problème. Nous avons donc c'pour point de fuite des cotés ai, ef, parallèles entre eux ; mais comme nous n'avons aucun des points de ce dernier côté, nous ne pouvons pas encore le tracer directement ; cherchons le moyen d'y parvenir indirectement.

Nous avons le point a, qui appartient aussi au côté ae; il ne nous reste donc qu'à trouver le point e \ pour y parvenir, cherchons d'abord le point de fuite du côté ae, en menant par l'œil D une parallèle à co»côté. Mais comme nous n'apercevons pas d'abord le moyen de le faire , nous allons nous aider en consultant encore la projection horizontale. Par </, menons la droite dg 9 parallèlement à AE; cette ligne, par son intersection avec le tableau, doit nous donner le point de fuite de ae , comme nous avons eu celui de ai, qui est c. Mais il se rencontre ici un obstacle, qui est que dg rencontrerait le prolongement du tableau beaucoup trop loin , pour les dimensions de notre papier ; il nous faut donc trouver encore un autre moyen. Cherchons d'abord la projection verticale de dg , que nous pouvons trouver sans nous servir de la projection horizontale , qui nous est interdite par l'énoncé du problème. Raisonnons donc ainsi : le côté ac , quel qu'il soit , doit faire un angle droit avec le côté ai , que nous connaissons j et comme C'D est parallèle à ce côté , faisons donc en D un angle droit c'Dg' , dont le côté Dg doit être parallèle au côtéae, que nous n'avons pas encore , et dont la direction serait déterminée par le point d'intersection de Dg' avec l'horizon. Mais nous voyons que l'inconvénient que nous avons déjà rencontré se retrouve encore ici ,

a8o NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

savoir , que le point d'intersection ne peut être contenu dans notre papier. Continuons donc notre raisonnement en disant : la diagonale af doit diviser l'angle droit bae en deux parties égales; par conséquent , si nous divisons l'angle droit c'Dg' en deux parties égales par la droite D/t', cette ligne sera parallèle à la diagonale que nous cherchons ; donc H sera le point de fuite de la diagonale a/*, dont nous aurons la direction , en menant la droite ah'. 11 s'agit maintenant de déterminer la longueur de af Nous savons que les diagonales d'un carré se coupent perpendiculairement entre elles ; par conséquent , si nous menons à h'D une perpendiculaire Di', prolongée jusqu'à l'horizon , le point d'intersection i' sera le point de fuite d'une perpendiculaire à a/*', et par conséquent de la direction de la seconde diagonale, qui doit passer par le point b \ menons donc par les points i'b une droite indéfinie qui sera la direction cherchée. 11 ne s'agit plus maintenant que de déterminer sur ces directions les longueurs des deux diagonales, et nous n'avons encore aucun moyen direct pour le faire. Si par A, centre du carré, nous menons une droite indéfinie parallèle à la hase du tableau , que nous considérerons comme étant une sécante qui doit diviser le carré en deux parties égales , et qui sera elle-même divisée en deux parties égales par deux des côtés du carré et par le centre k 5 et comme nous connaissons la moitié de cejte ligne , qui est kl , portons cette longueur de k en m , et m sera un point appartenant au coté du carré opposé à ab. Menons donc une droite indéfinie passant par met parc'; cette ligne sera coupée par les directions diagonales aux points c,/, et le carré sera déterminé.

' Cette opération , qui est bientôt faite, est très longue à décrire d'une manière propre à la faire bien concevoir aux commençans. Quoique ce problème ne soit pas des pins expéditifs ni des plus commodes dans la pratique, nous ne devons cependant pas le négliger , parce qu'il nous familiarise avec les moyens indirects

qui sotït fréquemment d'un grand secours. Plusieurs des auteurs qui ont écrit sur la perspective ont prétendu que , par le moyeu dft la méthode que nous vouons d'employer , on pouvtfil se passer de la projection horizontale dans la pratique de cette science, -fit que par là on s'épargnait beaucoup de travail et de temps,' ce qui a fait croire à la plupart des artistes , qu'iV rf'était pas nécessaire de connaître la géométrie ni les projections, opinion erronée qui est cause qu'un grand nôînbrc d'entre eux se sont trouvés privés de la connaissance indispensable deectte science, et que tous les ouvrages qui traitent de la perspective n'ont jamais pu, Itré à leur portée. II est pourtaut vrai de dire*qne cette méthode (dise passer de la projection horizontale %i} du plan) serait ti. '<& avantageuse à celui qui la posséderait bien ,^1 qui aurait tôttjpui s présens à la mémoire les détails de dimensious 0% de positions de tous les objets (ju'il se propose de mettre en perspective, et qui de plus aurait une parfaite connaissance delà science q"es projections, ce qui est absolument indispensable. Or, cest ce qui est à peu près physiquement impossible, sur-toirl si un dessin est très compliqué, ce qui arrive le plus sduvent. Donc, etc., ctç. D'ailleurs, nous allous résoudre le même problème en nous srrvanl de la projection horizontale, et nous verrons que cette opération nous paraîtra beaucoup plus facile, moins abstraite , et nous confirmera. <îe que nous avons deja dit, quon peut souvent se tirer d'un cas embarrassant , en sachant trouver à propos la. perspective d'un point.

(Fig. 1, pl. i5). Soit ab le côté donné que nous prolongerons jusqu'à l'horizon , ce qui nous donnera le point de fuite c'j prolongeons le côté FE jusqu'à la base du tableau eu n ; portons du , sur le tableau ded' en n* ^dece dernier point , menons la droite n-c\ qui sera la direction du çôté Opposé à aA ; cherchons les points e^J, comme nous les avons trouvés jusqu'ici, c'est-à-dire, en

2 8a NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

prenant par exemple la distance Je F à la base du tableau horizontal en o; portons Fo sur la base du tableau perspectif deo* en P, et menons au point de distance la droite PD, qui coupera n*c' en /, et nous mènerons bf\ notis en ferons autant pour E, nous aurons le point e ; nous mènerons la droite ae , et le carré sera terminé. . • - - * *

Problème 5. Diviser une droite donnée en perspective , suivant une

proportion quelconque.

(Fig. 2, pl. i3.) Soit la (boite AB ouBc, à diviser en un nombre de parties quelconque égales ou inégales , par exemple , en deux parties égales. Nous avons déjà vn que les figures qui sont parallèles au tableau ont pour perspective des figures qui leur sont semblables. Par conséquent , une droite qui sera dans ce cas et qui sera divisép-en parties égales, aura ses parties en apparence ( ou «n perspective) aussi égales entre elles-} tel est le cas de la droite AB, ainsi que de toutes celles qui lui seraient parallèles; d'où il suit que si. nous divisons" AB en deux parties e'gales, AD sera égale à DB, et cette égalité noue paraîtra aussi telle dans toute ligne parallèle à AB, à quelque distance qu'elle soit Je la base du tableau. Mais il n'en sera pas de même de la droite Bc, qui est réellement divisée ep deux parties égales au point <?, et cependant ses parties nous paraissent inégales. Si par A ,<et par c, nous menons une droite prolongée jusqu'à l'horizon, le point d'intersection /sera le ^oint de fuite de toutes les droites parallèles à Af; Jonc, si nous, menons les droites T)f } B/, ces trois lignes seront parallèles entre elles -, donc,., les droites AB, Bc 6ont comprises entre les parallèles A/, B/: or, les deux lignes AB , Bc sont coupées par une troisième parallèle Df; donc, leurs parties sont proportionnelles entre elles; donc, si AD est la moitié de AB, ce sera la moitié de cB. 11 en serait de même si la droite donnée

PERSPECTIVE. a83

était dans un plan vertical, comme est la droite bc, divisée en deux parties égales au point e'. Il suit de ce qui vient d'être dit, que le problème se réduit à ceci : si la droite proposée est située dans un plan parallèle au tableau, nous la diviserons simplement à l'ordinaire, selon le nombre demandé, et lorsqu'elle fera un angle qnelconque avec le tableau , tel que Bc , cb , gh , etc. r noiis mènerons par l'une des extrémités de cette ligne, uue droite parallèle à la base du tableau , si cette droite est située dans un plan horizontal , ou bien parallèlement àu coté latéral du tableau , si la droite donnée est située dans un plan vertical. Nous diviserons celte ligne parallèle à la base ou au côté du tableau , selon le nombre demandé. Par la dernière division , et par l'autre extrémité de la droite donnée, nous mènerons une droite jusqu'à l'horizon ; et par chacune des autres divisions , nous mènerons des parallèles perspectives à cette dernière ligne. Exemple, soit la droite gh à diviser en trois parties égales. Par g, menons une droite indéfinie parallèlement à la base du tableau; portons sur cette ligne trois fois une ouverture de compas, prise à volonté; par la dernière division et par /i, menons une droite 3A, qui coupera l'horizon en/, qui sera le point de fuite des droites 2/, 1 1, etc. , et gh sera divisée perspectivement en trois parties égales. Si la droite donnée était à la fois inclinée au tableau et au plan objectif, comme est AB ((ig. 3), nous serions obligés de diviser d'abord Ab, projection horizontale de cette ligne , et par chacun des points de division, nous élèverions des verticales à AB qui se trouverait divisée selon notre intention.

PRO|LKMt 6. Par un point a donne dans le tableau, mener une droite parallèle à la base ou au côté du tableau, et qui soit perspectivement égale,

à une autre droite AB aussi donnée (fig. 4). ... .

Soit a, le point donné ; menons par ce point une droite indéfinie parallèle à la base ou au côté du tableau. Il s'agit maintenant

de déterminer sur l'une'ou l'autre de ces lignes, une loûgucurégale à AB. Par a , menons à volonté une droite qui coupe la base du tableau en a , et l'horizon en c ; portons la longueur AB de a en h , et menons hc , qui coupera la droite horizontale menée par </, en un point b , ce qui nous donne ab égal AB. 11 en sera de même pour la droite ab' , parallèle au côté du tableau, qui sera égale à ab. Nous pouvons , par ce moyen , trouver facilement la hauteur d'une ligure , à une distance quelconque de la base du tableau. Ex. : soit e , un point donné à volonté sur le plan objectif, pour le pied d'une figure dont nous voulons connaître la hauteur relativement à sa distance du tableau. Considérons d'abord AB , ab , ou ab' , comme étant la grandeur réelle de la ligure proposée. Menons par e une horizontale , qui coupera les parallèles ac, bc, aux points /, g; la droite fg sera la hauteur cherchée , que nous porterons verticalement au-dessus du point e\ ou bien du point d'intersection g , élevons une verticale qui nous donnera le point h , et la droite gh sera également la hauteur de la figure cherchée , car gh égal hg.

Problème 7 (fig. 2, pl. Mettre en perspective dans un rapport quelconque , une figure donnée en projection horizontale, et construite sur une petite échelle.

On a souvent besoin de mettre en perspective des plans ou cartes, qui représentent une très grande étendue de terrain, et en conséquence, sont construits sur une très petite échelle. Si nous voulions représenter ces objets en perspective , d'après cette échelle, nous pourrions avoir un tableau qui n'aurait que quelques lignes de base, et par conséquent .sur lequel il nous serait physiquement impossible d'opérer. D'un autre.côlé , si nous voulions mettre ces plans ou cartes à l'échelle du tableau que nous nous proposons de faire , iwu» pourrions avoir une carte de plusieurs

toises détendue, ce qui ne présenterait pas moinsd'inconvéniens, N . et de plus multiplierait extraordinairement le travail. Il nous faut donc chercher un moyen par lequel nous traduirons de suite ce dessin 6ur une plus grande échelle, en même temps que nous le mettrons en perspective. La plupart des auteurs qui ont écrit sur la perspective , ont proposé, pour ce cas , un moyen très connu des artistes, sous le nom de treillis , ou carreaux perspectifs, et qui consiste à couvrir le plan ou dessin original de petits carreaux en nombre quelconque, à faire sur un papier un même nombre de carreaux perspectifs plus grands , selon l'échelle proposée , et de dessinera vurles lignes que l'original contient. Ce moyen , qui paraît d'abord très simple , est tout-à-fait impraticable , tant à cause de l'irrégularité des carreaux perspectifs, que du rétrécissement que ces carreaux éprouvent à mesure qu'ils s'éloignent de la base du tableau , et parce qu'à une distance assez médiocre de cette base, ils sont déjà tellement serrés , qu'ils ne peuvent plus être d'aucun secours ; de plus ils couvrent le papier d'un si grand nombre de lignes , qu'il n'est plus possible de s'y reconnaître. D'ailleurs, il peut arriver que le dessin original ne contienne que des lignes courbes irrégulières (telles que dans cet exemple ) que l'on ne peut déterminer que par un nombre plus grand ou moins grand de points. Pour déterminer avec quelque précision, la position de ces points, il faut nécessairement employer plusieurs lignes, ce qui augmente la confusion à tfn tel point, qu'il n'est plus possible decontiuuer l'opération. Voici le moyen qui nous a paru le plus facile, Le plus simple , en un mot, le plus propre à remplir le but que nous nous proposons ici , et qui est exempt des inconvéniens que nous venqns d'exposer \ il ne nous faut seulement que de la patience, de l'attention , et surtout beaucoup de précision.

Soit a , l'endroit où est placé un spectateur regardant vers l'embouchure d'une rivière qui a environ vingt-cinq m,ètn*s de lar-

a86 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

geur ; l'espace a 16, du spectateur au bord de la mer est de 686 mètres*, le tableau bc a 100 mètres de base, et la distance ae du spectateur au tableau est de 86 mètres. Nous devons facilement voir qu'il nous serait impossible d'opérer sur une aussi petite échelle, et que si ce dessin était sur une échelle seulement cinq fois plus grande de quelle étendue il serait, et par conséquent combien seraient multipliées les difficultés à chaque point perspectif qu'il nous faudrait trouver. Soit oa 3a , l'angle optique sous lequel nous voyons la portion de terrain comprise entre ses côtés. Par un point éloigné du spectateur tel que 16, menons une parallèleau tableau que nous diviserons% volonté en parties égales; par chacun des points de division, nous mènerons une droite à l'œil a. Nous considérerons ces lignes comme étant les traces horizontales d'autaut de plans verticaux passant par l'œil du spectateur, et coupant le tableau. Nous avons déjà vu ( Géométrie descriptive) que lorsqu'un plan est perpendiculaire à l'un des plans de projection, sa trace sur l'autre plan est perpendiculaire à la commune section des deux plans. Or, la base bc est cette commune section ; donc les traces verticales de tous ces plans dans le tableau , seront autant de perpendiculaires à la base de ce même tableau. Soit maintenant bc (lig. i, pl. 16) , la base du tableau vertical sur une échelle cinq fois plus grande que bc, nous diviserons cette base en autant de parties que nous aurons mené de plans verticaux à l'œil a, et par chacun des points de division, nous élèverons une perpendiculaire; nous aurons soin de numéroter toutes ces lignes dans le même ordre que celui de la projection horizontale, ensuite nous déterminerons l'horizon selon le plus ou moins de développement que nous voudrons avoir.

Sur un papier à part (lig. 3, pl. i5), nous mènerons une droite indéfinie sur laquelle nous éleverops une perpendiculaire »A , que nous ferop$.*gale à la hauteur de l'horizon du tableau vertical.

Nous prendrons sur la projection horizontale la distance ae , du spectateur au tableau, que nous porterons (lig. 3) de a en e\ de ce point nous élèverons une perpendiculaire ef égale à a\ , cette ligne sera le protil du tableau. Ensuite, nous prendrons (Lig. 2) la distance du premier point /, au tableau qui se troùVe sur la trace n° 16 de 1 en e, que nous porterons (lig. 3) de e en 15 nous mènerons le rayon visuel /A, qui coupera le tableau en ?; nous porterons ei sur le tableau vertical de a en /, qui sera le premier point perspectif cherche'. Cette opération est facile à concevoir, car Af (fig. 3) n'est que le' cinquième, de la distance du spectateur au tableau, et la longueur ei n'est aussi que le cinquième de la distance de i au tableau, selon l'échelle de cette ligure, ces deux lignes sont en rapport. Nous dc\ons observer de porter ei , dans le tableau vertical de a en 1; nous aurions pu également porter fi' dans ce même tableau de iG en /, ce qui est plus commode. Il en sera de même de tous les autres pointé. Nous savons que les points g, h, de la "projection horizontale étant sur la base du tableau, sur les traces !> et 14 , Seront dans le tableau en g f h, sur les verticales des mêmes numéros. Dans le cours de l'opération, uous serons obligés de renouveler plusieurs fois le profil de la fig. 3, parce que le tableau, efi-se trouvera inévitablement coupé par la quantfté des points de compas. Sur la projection horizontale, nous prolongerons à droite et à gauche la base du tableau a(iu d'avoir plus facilement la distance des différons points, tel que A, au tableau. Nous pouvons obtenir les distances de ces points sans mener aucune ligne; par exemple, nous poserons une des pointes du compas sur À, et avec l'autre nous décrirons un arc, en ouvrant plus ou moins le compas jusqu'à ce que cet arc soit tangent au tableau en / , et la droite Ik sera la distance cherchée, que nous porterons sur le profil., de même que nous avons fait pour le point 1. Nous devons aussi ,

3 cS8 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

pour év iter la confusion , lier les points les uns aux autres , à mesure que nous les trouverons , par un léger trait de crayon.

Problkuk 8. Construire la perspectk'c dune suite de carreaux, dont lun

des cotes est parallèle à la base du tableau (pl. 17 ).

La projection horizontaletle cette figure est avec le tableau vertical , daus le rapport de trois à un, ceque nous avons fait pour économiser la place. Soient les seize carreaux compris dans l'espace ABDC, dont ils«agit de trouver la perspective dans le tableau aj. Nous voyons d'abord que la base AB comprend quatre carrés ; par conséquent , nous diviseronsla base,.ab, en quatre parties égales, et les points a, e, f, g, b, seront les projections verticalesde AEFGB. Mimons les droites ah' y eh' f flt 9 g//, bh' : ces lignes seront lesdirections perspectives des droites AC, EZ, etc., qui sont perpendiculaires à la base du tableau. Observons que la diagonale AD coupe la première perpendiculaire qu'elle rencontre, ainsi que la première parallèle en un point i , de même que les suivantes aux points /, A,D, etc., s'il y en avait davantage. Cette diagonale, étant inclinée de /p° sur la base AB, doit avoir son point de fuite daus le tableau, sur l'horizon , au point de distance H'. Menons U droite aïT, qui coupera les perpendiculaires aux points ï , } y A', d , côrrespondans aux points i\ j, k, D; nous voyons que par chacun de ces derniers points , il passe une parallèle à AB ; menons donc dans le tableau > par les points t',y, etc. , autant de parallèles à ab , qui détermineront les seize carreaux contenus dans le carré AD. Si nous voulions avoir en profondeur le double cTu ces carreaux, par c 1 , situé à l'angle du dernier -carré à gauche du tableau, menons la droite c'H', qtii sera parallèle à aH', coupera les prolongemens des perpendiculaires aux points n , etc. Par chacun des points d'intersection, nous mènerons autant de nouvelles parallèles qui détermineront autant de carrés que nous

en avons déjà trouvés, et ainsi de suite, si nous en voulions davantage. Remarquons que le champ du tableau , à droite et à gauche , n'est pas rempli par ces trente-deux carreaux , ainsi que ces mêmes espaces le sont aans la projection horizontale par les carreaux et parties de carreaux compris sous l'angle optique 1/im. Nous devons facilement voir qu'il faut porter à droite et à gauche du tableau vertical , sur les prolongemens de la base ab , et autant que l'espace nous le permettra, la longueur de l'un des carreaux, comme de a en n , en o, etc., et par chacun de ces points mener des droites à /*', qui couperont les prolongemens des parallèles , et par leurs points d'intersection détermineront autant de carreaux. Mais comme nous ne pouvons pas toujours prolonger la base du tableau autant qu'il serait nécessaire pour compléter le nombre de carreaux suffisant pour remplir les espaces vides , il nous faut chercher le moyen d'y suppléer. Pour y parvenir , remarquons que les côtés des carreaux qui sont sur une même parallèle , sont et doivent toujours être égaux entre eux -, par conséquent , nous n'avons qu'à porter sur le prolongement de l'une quelconque de ces parallèles , les longueurs de l'un des côtés dés carreaux qu'elle contient , comme ne' , de c' en s , en r, en v , etc. , et par chacun de ces points mener des droites à U. Nous devons bien sentir que, pour résoudre ce problème, nous pouvons nous passer de la projection horizontale, qui n'est ici que pour faciliter l'intelligence de cette opération.

Problème 9. Déterminer la Perspective dune suite de carreaux, dont les côtés sont inclinés de 45° à la base du tableau ( fig. a, pl. 16).

Nous voyons que la base horizontale du tableau coupe les carreaux suivant leur diagonale, et que de chacun des points ABC, etc. , les côtés de ces carreaux font à droite et à gauche , avec la base AE', un angle de 45*. Portons ces divisions sur la base ae , et de chacun

ago NOUVEAU TftATTÉ DE PERSPECTIVE.

des points a , b , c , tl , e, menons des droites aux points de distance FF'; ces lignes, par leurs intersections, forment six carreaux eutiers et quatre moitiés , contenus dans le triangle &ge. Si nous voulons remplir le vide à droite et à gauche du tableau, nous mènerons la droite a/', qui sera la direction perspective des diagonales, telle que Ah. Cette droite a/* coupera donc les droites menées au point de distance , en des points *, k , etc.; par chacun de ces points, nous mènerons des droites aux deux points de distance; il en sera de même de la droite e/\ 11 faut , au reste, nous devons l'avouer, beaucoup d'attention pour tracer ces carreaux avec précision.

Problème io(fig. i, pl. iS). Déterminer la Perspective d'une suite de carreaux , dont les côtés forment un angle quelconque avec la base du tableau. 1

Soit AB, la base horizontale du tableau, coupant une suite indéterminée de carreaux , tant au-dessus qu'au-dessous de cette même base (nous n'en avons ici que deux rangées , ce qui suffit). Portons sur la base du tableau vertical, les points d'intersection ACDEF , etc. , en a , c , d , e, f ,etc; par *,* menons une droite i\ , parallèle à KZ; portons \j sur l'horizon de ï en j', qui sera le point de fuite de toutes les droites parallèles à Kl. Menons les droites a/, c'y, d/, etc. , nous aurons les directions des côtés parallèles à K/, qu'il ne s'agit plus que de couper par des perpendiculaires à ces lignes. Pour avoir le point de fuite de ces perpendiculaires , nous pourrions employer le moyen dont nous nous sommes servis pour K/; c'est-à-dire par i mener une parallèle à ces lignes, (elle, par exemple, à la droite G/i ; mais nous voyons que cette parallèle , menée par i, couperait le prolongement de AB à un point qui serait trop éloigné : nous chercherons donc un autre moyen. Observons que le point d'intersection G, qui est sur la base du tableau , se trouve précisément à l'angle de deux carreaux G/, G/», et à l'extrémité de la droite Gn. Ainsi, pour avoir la

PERSPECTIVE. 2Q t

perspective de cette ligne , nous n'avons besoin que de trouver la perspective de n , ce que nous savons déjà faire , et mener la droite gn', qui coupera les premières aux points o, /», 7, r, etc.. Pour les autres lignes, nous chercherons deux points éloignés l'un de l'autre le plus qu'il nous sera possible, et nous répéterons cette opération à chaque ligne dont nous aurons besoin. Mais quoique ces opérations soient une suite de la méthode générale pour trouver la perspective d'une ligne quelconque , dans le cas qui se présente ici , elles n'en seraient pas moins longues et difficiles ; allons donc encore recourir à un moyen indirect. Remaries diagonales Km, si, déterminent les carreaux en les droites parallèles à KV, comme sm, etc. Cherchons donc les points de fuite de ces diagonales, en menant les droites it, iu, qui leur sont parallèles, ce qui nous donnera les points de fuite if, u', auxquels points nous mènerons les droites gt', gu', tandis que par les points d'intersection comme v, x, etc. , nous

i qui détermineront un certain nombre de cari en voulons davantage , de l'un des angles du dernier carreau tel que y, nous mènerons de nouvelles diagonales yi,yu' , ce qui nous donnera de nouveaux points d'intersection , par lesquels nous mènerons autant de droites. Si , sur les côtés du tableau, il restait des carreaux incomplets, faute de parallèles à a/, d'un angle ou point d'intersection tel que i , et par f', nous mènerions une droite indélinie qui nous donnerait les intersections 2,3, etc. , par lesquels points et par f nous mènerons des droites qui compléteront les carreaux.

ii ( fig. 3 ). Étant donnée la projection horizontale d'un hexagone dont un côté soit parallèle à la base du tableau , trouver la Perspective dun carrelage hexagonal.

Soit ABCDEFJ'hexagone donné. S'il.ne s'agissait que de trouver .la perspective de cette ligure , nous pourrions la trouver par l'un

aoa NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

des moyens quelconque que nous connaissons, et nous aurions l'hexagone perspectif ahcdef. Mais, pour faire un carrelage, nous devons employer un moyen plus général , afin de ne pas répéter l'opération autant de fois que nous aurons d'hexagones à faire. Afin d'y parvenir , portons' d'ahord AB , côté de l'hexagone', sur la hase du tahleau vertical en ah , ag, hh , etc. Menons dans la figure originale les diagonales AD, BE , CF, ce qui nous donnera six triangles équi latéraux. Cherchons les points de fuite de ces diagonales, qui seront sur l'horizon en l'j y. Nous ne devons pas être emharrassés pour savoir comment nous avons pu ohtenir ces points. Si cependant cela arrivait, rappelons-nous que l'intersection d'une* droite menée de l'œil au tahleau sera le point de fuite de toutes les droites qui seront parallèles à cette ligne. Par conséquent, si du point de vue A, nous ahaissons à l'horizon une perpendiculaire , sur laquelle nous porterons la distance ÂK', du spectateur au tahleau, de À* en K, ce point sera la position de l'œil , ramené dans le plan horizontal , et par lequel nous mènerons des parallèles aux diagonales AD , BE , qui rencontreront l'horizon en i, y, points cherchés. Menons les droites g/, ai, bi, etc., ay, by, hy, etc.; et par les points d'intersection /, e, etc., menons des droites horizontales qui détermineront un certain nombre de triangles que nous bornerons dans cet exemple au point /. Nous prendrons six de ces triangles perspectifs, pour former autant d'hexagones qu'il sera nécessaire. Pour remplir les vides qui se trouveront sur les côtés du tableau , l'inspection de la figure nous suffira.

Même problème que le précédent; seulement Ihexagone n'a aucun de ses

côtés parallèle au tableau.

(Fig. i, pl. 19») Nous pourrions résoudre ce problèmedemèine que le précédent; mais comme plusieurs des diagonales, étant

PERSPECTIVE. s 9 5

trop inclinées au tableau , auraient leurs points de fuite sur l'horizon trop éloignés du point de vue, ce qui est souvent un inconvénient, observons d'abord que, dans cette figure, les côtés AB, CD, ainsi que la diagonale EF, sont perpendiculaires à la base du tableau, et prolongeons ces côtés de part et d'autre, tandis que par F nous mènerons une parallèleau tableau -, l'hexagone se trouvera inscrit ainsi dans un rectangle gh , qui sera divisé en deux parties égales par la diagonale EF. Nous devons déjà entrevoir que le problème est simplifié, puisqu'il ne s'agit plus que de chercher la perspective d'autant de rectangles que nous voulons avoir d'hexagones. Portons donc Eg, El, sur la base du tableau vertical en ei , en eg , et successivement sur toute la base, en j , k , 1 , etc. ; par chacun de ces points , menons au point de vue les droites eo , go, etc.; ces lignes seront les directions des côtés et des diagonales qui seront perpendiculaires au tableau. 11 ne s'agit plus que de couper ces lignes de la manière la plus avantageuse , afin d'éviter la multiplicité des opérations. Observons que les côtés AB, DC sont coupés par les diagonales AD, BC , qui passent par les angles de l'hexagone, lesquels angles sont eux-mêmes déterminés par les diagonales EC, AF; que la diagonale FA, prolongée jusqu'à la base en p , détermine les angles A , F ; de plus, que cette droite p , F , est parallèle à EC : il ne nous reste plus qu'à chercher le point de fuite de ces deux diagonales s qui serar/. Des points p, e, projections verticales de p, e, menons des droites 0*7, e^, qui couperont les perpendiculaires perspectives aux points a f f, c, par lesquels nous mènerons des horizontales qui détermineront les angles de tous les hexagones , etc. Nous pourrions pousser plus loin ces exemples, mais nous craignons de multiplier les planches, et par conséquent d'augmenter la dépense sans une utilité réelle. D'ailleurs , nous devons sentir qu'il est impossible d'exposer tous les cas particuliers, et que nous ne pouvons acquérir la connaissance des moyens d'abréviation dont chacun de ces cas peut

3q4 nouveau trajté de perspective.

être susceptible, qu'en nous exerçant à résoudre beaucoup de problèmes dont les solutions sont fondées sur les principes généraux que nous avons exposés.

ProhUm* la (iig. a). Déterminer la Perspective d un cercle.

Soient AB , ab , les projections du tableau; c,c celles de l'œil ; C, le point de distance; DEFG le cercle donné. Ce problème ne peut nous présenter aucune difficulté ; nous pouvons d'abord le résoudre en cherchant plusieurs points pris à volonté sur la circonférence de ce cercle, tels que D, I , E , etc. Nous pouvons encore opérer d'une manière plus prompte et plus commode, en renfermant le cercle dans un carré AH , dans lequel nous mènerons les diagonales, ainsi que les deux diamètres DF, EG. Nous voyons que le cercle touchera le carré aux quatre points D, E , F, G ; ainsi cesquatre points, joints aux quatre intersections I, J,K,L , du cercle avec les diagonales , nous donneront huit points , qui suffisent ordinairement. Ainsi cherchons la perspective du carré AH , qui sera ah ; dans lequel nous mènerons les diagonales ainsi que les diamètres; ensuite nous projetterons surlabaseab, les points I, J , R, L , qui seront en 1 , i ; de chacun de ces points menons les droites le", ic', qui couperont les diagonales aux points /, k, /,/; par ces points et par les quatre premiers, nous ferons passer la courbe cherchée. Nous en ferons de même pour le cercle qui est à droite du tableau.

Comme le cercle est une ligure que l'on a souvent à représenter en perspective, nous ne devons pas nous en tenir à cette opération particulière , et nous allons le considérer sous un autre rapport. Soit un nombre quelconque de points, pris sur4es circonférences des cercles originaux; nous mènerons des droites a l'œil c, ainsi que les tangentes Me, Ne, M'c, Ne; nous devons considérer la réunion de toutes ces lignes comme formant les projections hori-

PERSPECTIVE. 2 q5

zontales de deux cônes se a le nés, à bases circulaires, et dont les

sommets seront à l'œil du spectateur. Nous concevrons ces cônes comme étant coupés par le plan du tableau , et leurs sections dans ce même tableau comme étant les perspectives des bases ou cercles donnés; nous pouvons nous exercer à faire cette opération selon les règles ordinaires de la Géométrie descriptive, et nous verrons que le résultat sera absolument le même. ]Nous vovons donc que les perspectives de ces deux cercles seront nécessairement des ellipses, puisqu'elles sont le résultat de la section de deux cônes, par un plan qui n'est pas parallèle à leur base. Nous devons encore remarquer que dans ces deux ellipses , le grand axe irai , mn y ne passe point par 0,0', perspective de O, O f , centre des cercles originaux ; ces axes sont les perspectives des deux cordes MN, M'N', déterminées par les tangentes Me, Ne, M'c, N'c. Nous avons vu (Géométrie descriptive) le moyen de tracer une ellipse avec une règle de papier; voyons s'il ne serait pas possible d'employer ce procédé graphique dans le cas qui se présente ici, ce qui pourrait nous être avantageux dans plusieurs circonstances.

Problème i3 (fig. i, pl. 20). Inscrire un cercle dans tôt carré donné en perspective , et dont un des côtés est parallèle à la base du tableau.

Nous savons déjà que l'ellipse doit toucher les quatre cotés du carré dans leur milieu apparent ou perspectif, aux points e , f, g, k ; nous pouvons donc considérer la droite ef comme devant être le petit axe de l'ellipse que nous cherchons-, nous savons encore que le grand axe doit passer perpendiculairement par le milieu du petit : divisons donc ef en deux parties égales, et par le milieu î, centre de l'ellipse, nous- mènerons une perpendiculaire indéfinie 7 qui sera- la direction «Lu grand axe dont il nous reste à déterminer la longueur, ce que nous pouvons faire de plusieurs manières, ainsi que nous l'avons déjà vu. Prenons fi, ou ie,

ag6 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

moitié du petit axe , que nous porterons de h en j , sur la direction du grand axe; menons par les points h et j , une droite prolongée jusqu'à sa rencontre avec le petit axe en k, et la droite hk sera la longueur du demi-grand axe que nous porterons de i en /, et de / en m . A van t les deux axes , nous pouvons facilement décrire cette ellipse avec la règle de papier, sur laquelle nous marquerons les points //,/', / '; cette même règle peut aussi nous servir à tracer l'ellipse ou cercle perspectif de la lig. 2. Dey, abaissons une perpendiculaire indélinieà gh ». , sur laquelle nous porterons la règle de papier, en posant le point // sur/; et à l'endroit où. tombera le point y, menons une parallèle à gh, qui coupera ef en i, qui sera le centre de l'ellipse; par ce point et par k , extrémité de la règle, menons une droite indéfinie kin, sur laquelle doit se promener le point k de la règle, tandis que /' parcourra la droite /m, sur laquelle il est situé. Ainsi lorsque À sera en o, et y en p l'extrémité h sera en g, qui sera un des points de l'ellipse, etc. La fig. î nous a donné la règle avec laquelle nous venons d'opérer; mais il peut arriver que cette figure soit seule , et nous pourrions être embarrassés; cherchons donc le moyen de construire cette règle sans le secours de la figure précédente.

Soit le carré perspectif ac donné , dans lequel nous mènerons les diagonales , et par le point d'intersection q nous mènerons une droite parallèle à ab\ par^r et par e, milieu de ab, nous mènerons la droite ef, que nous diviserons en deux parties égales en i , qui sera le centre de l'ellipse , par lequel nous mènerons une parallèle à gh ; par q , centre perspectif du cercle , menons de part et d'autre à gh, une perpendiculaire qui coupera le côté de en s, et la droite Im en r; portons sr, de g ou de h, sur 1m, en p ou en i : nous prolongerons la droite gp ou hi, qui coupera la perpendiculaire menée par sq, en «m point o , et l'une ou l'autre des droites gpo ou hio, sera la règle cherchée avec laquelle nous opérerons comme ci-derant. Les bornes de cet Ouvrage ne nous

permettent pas d'exposer les principes sur lesquels cette opération est fondée; nous allons maintenant passer à la perspective des solides.

Problème i*4 (fig. 3). Étant données les projections horizontales de deux tétraèdres réguliers et égaux, déterminer la Perspective de ces corps.

Soient AB, ai>, les projections du tableau; c, le point de vue ou centre du tableau; I), 1), les points de distance; EFG//. IKLM, Leq projections horizontales des deux tétraèdres donnés . dont l'un pose sur le plan horizontal par sa base , et l'autre par son sommet . Nous chercherons d'abord les perspectives des projections horizontales par les moyens que nous connaissons, puis par /*', projection horizontale du sommet, nous élèverons une verticale indètinie, sur laquelle nous porterons la hauteur perspective de JiHy et nous mènerons les arêtes eH',fH f , gH'. A l'égard dusecond tétraèdre, de chacun des trois points i 3 A, /, nous élèverons une v erticale indélinie sur laquelle nous porterons la hauteur perspective de /*H , et nous mènerons les droites mi' , mk! , ml' \ nous n'avons rien de plus à dire sur ce problème, puisque nous savons tout ce qu'il faut pour le résoudre sans éprouver aucune dilliculli 1 .

Problème i5 (fig. i, pl. ai ). Étant données les projections horizontales de deux cubes égaux , dont Vun est posé sur le plan horizontal par l'un de ses angles, et VaiUre sur l'une de ses arêtes, mettre ces corps en perspective, m

INous n'avons pas plus à dire sur ce problème que sur le précédent , l'inspection seule de la figure étant suffisante pour entendre toute cette opération qui est très simple et n'exige que de l'atlent ion.

ag» NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

Problème 16. Mettre en perspective deux cylindres égaux donnés en projection horizontale (fig. i, pl. 22).

Ce problème ne présentant pas plus de difficultés que les précédens , nous nous dispenserons de répéter la manière de trouver la perspective d'un cercle ; nous observerons seulement que la base supérieure d'un cylindre peut se trouver si près de l'horizon , que le carré dans lequel la base doit être tracée , devient si étroit , qu'il est physiquement impossible d'y inscrire une ellipse; lorsque ce cas arrive, nous devons nous contenter de quelques points principaux et tracer l'ellipse par approximation. Cet exemple va nous présenter une des singularités que nous aurons occasion de rencontrer par lasuite , qui , au premieraperçu , paraissent être au moins des paradoxes et qui ne sont cependant rien moins que cela. Cette singularité consiste en ce que le cylindre ABCD, étant évidemment plus éloigné de l'œil e , que le second cylindre qui est situé en face du spectateur, sera par conséquent vu sous un plus petit angle, et par cette raison devra aussi paraître moindre au spectateur , ainsi que dans le tableau. Le si)e»tateur voit donc réellement ce premier cylindre plus petit que le second , et cependant son diamètre dans le tableau sera plus grand. La raison de cette contradiction apparente est que les cordes FG, HI, qui sont déterminées par les rayons tangens Fe, Ge , Hc , le, sont les bases de deux triangles FeCr , Hel , qui ont e pour sommet commun, et qui sont coupés différemment par le tableau KL. Nous voyons en effet que le triangle FeG est coupé par KL, obliquement à sa base FG, et que le triangle Hel est coupé par le même plan KL, parallèlement à la sienne HI; donc l'intersection fg sera plus grande que celle hi\ ainsi l'œil e verra le diamètre apparent du premier cylindre sous l'angle FeG, et celui du second sous l'angle H<?I. Or, le premier de ces angles est évidemment plus petit que le dernier; donc l'œil e voit réelle-

ment le premier de ces cylindres plus petit que le second, et cependant nous sommes obligés de le faire plus gros ou pins large dans le tableau, puisqu'il est incontestable que l'apparence de FG est sur KL, ou fg' dans le tableau, puisque cette ligne est plus grande que la corde HI ou h'ï. Cette défectuosité, qui , au premier abord, parait si choquante, si contradictoire, et à laquelle les Artistes pour la plupart sont bien éloignés d'acquiescer, est presque nulle, lorsque la distance est plus grande qu'elle n'est dans cet exemple (où nous l'avons prise à dessein beaucoup trop petite, afin de rendre plus sensibles les défectuosités dont nous parlons), et doit nous faire sentir la nécessité de savoir choisir une distance convenable au sujet que nous nous proposons de mettre en perspective. Nous pouvons voir la preuve de ce que nous avançons, en examinant la figure seconde, dans laquelle le sujet est le même, seulement la distance de l'œil au tableau est triple de la première $ ainsi e'E n'est que le tiers de la distance employée dans cette ligure. Nous aurons soin aussi de dégrader convenablement le ton des colonnes qui seront le plus éloignées de l'œil , selon les règles de la perspective aérienne , ce qui rendra à peu près nuls les mauvais effets que nous venons d'exposer.

Problème 17 (fig. 1, pl. a3). Étant données , i° la projection horizontale d'un cône posant par sa base sur le plan horizontal ou objectif ; 2 0 la projection horizontale d'un cône égal au premier et posant sur sa face , mettre en perspective ces solides.

Nous devons être en état de résoudre ce problème par l'inspection seule de la ligure, dont l'opération ne diffère en rien des précédentes, et n'est qu'un exemple d'exercice.

18 (fig. 1, pl. 34). Étant donnée la pro^ction horizontale d'une sp/ière , trouver la perspective de ce corps.

Gomme ce problème est plus difficile à concevoir que les précédens « nous nous y arrêterons davantage. Soient AB, ab, les projec-

3oo NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

lions du tableau ; c, c celles de l'œil; le cercle D, la projection horizontale de la sphère donnée , nous demandons que le centre de cette sphère soit à la hauteur de l'horizon ; par conséquent la projection verticale de ce centre sera au point de vue c' : menons à l'œil c les tangentes Ec, Fc; menons aussi la corde EF, que nous considérerons comme étant la hase d'un cône formé par les rayons visuels tangens à la sphère , et dont le sommet est à l'œil c. La section ef de ce cône par le tableau sera un cercle , puisque ce cône est coupé parallèlement à sa base ; ce cercle aura donc pour diamètre ef , et par conséquent ce ou cf , pour rayon ; puisque nous demandons que le centre de la sphère soit à l'horizon , il sera au point de vue c; donc, si avec le rayon ce de la projection horizontale, nous décrivons dans le tableau, du centre c', le cercle d, ce cercle sera la perspective cherchée. •

Nous pouvons nous convaincre de la vérité de ce résultat , en opérant plus directement ; après avoir trouvé l'intersection ef, couchons dans le plan horizontal la hauteur de l'œil de c en C , ainsi que celle de la sphère D en D* , de manière que le centre G soit à la hauteur de l'horizon; menons de G à l'œil c, le rayon visuel GC : l'intersection de ce rayon avec le tableau, sera g; ce point sera élevé au-dessus du plan objectif de la hauteur cg, que nous porterons dans le tableau de c' en c ; ce point sera donc la perspective du centre de la sphère : menons les tangentes HC, IC, ainsi que la corde HI que nous considérerons de même que EF , comme étant la base d'un cône HCI , lequel est coupé par le tableau parallèlement à sa base, et l'intersection sera un cercle qui aura pour diamètre hi , et pour rayon gh ou gi , avec lequel nous décrirons dans le tableau , du centre c , le cercle d , qui sera égal au premier que nouravons déjà trouvé; donc ce cercle est réellement la perspective de la sphère donnée.

Considérons maintenant le cercle D comme étant la projection horizontale d'une sphère posée sur le plan objectif en g. Nous de-

vons concevoir ce point comme pouvant être à la fois la projection du point d'attouchement de la sphère et du plan; ainsi que celle du centre de cette même sphère, et de l'extrémité du diamètre vertical gc; en un mot de tous les points qui peuvent être situés dans la verticale du point g. Pour avoir la perspective de ce point dans le tableau , menons à l'oeil C le rayon gC , qui coupera le tableau en k ; ck sera donc la hauteur que nous porterons dans le tableau de c' en k' , qui sera la perspective du point d'attouchement de la sphère et du plan objectif; des points e, f, élevons une verticale indéfinie au tableau : l'espace qui sera entre ces deux lignes, comprendra La largeur apparente ou perspective de la sphère, ou bien son diamètre horizontal que nous déterminerons bientôt. Cherchons maintenant l'apparence du diamètre vertical de cette sphère : renversons la sphère dans le plan objectif en D"; de l'œil C, menons les tangentes LC, MG, et menons la corde LM, que nous considérerons aussi comme étant le diamètre d'un cercle, base d'un cône formé par tous les rayons tangens à la sphère et passant par l'œil ; nous voyons que ce cône n'est pas coupé parallèlement à sa base par le tableau ; par conséquent sa section sera une ellipse dont lm sera le grand axe ou le diamètre vertical. Portons cl , cm dans le tableau de c' en /, et nous diviserons la droite lm 9 en deux parties égales en n\ et par ce point menons une horizontale que nous ferons égale à ef , ou qui se trouvera déterminée par les deux verticales élevées des points e, f ; cette ligne op sera le petit axe de l'ellipse , apparence ou perspective de la sphère située au-dessous de l'œil dans le plan central ; ayant les deux axes de l'ellipse , il nous sera facile de la tracer avec la règle de papier.

Nous rencontrons encore ici une de ces contradictions apparentes dont nous avons déjà vu un exemple; car il est certain que de quelque côté que nous regardions une sphère, elle nous paraît toujours ponde ou circulaire^ et e» effet nous la voyons réellement telle qu'elle nous parait , et oependant.cn perspective il n'y a qu'un

3o 2 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

seul cas où nous puissions nous permettre de la faire ronde, ce qui ne peut avoir lieu que lorsque son centre se trouveau point de vue. Dans tous les autres cas, sa perspective est une ellipse dont le grand axe est toujours dirigé vers le point de vue , ce que nous allons voir dans les exemples suivans. Nous avons encore pris exprès la distance de l'œil au tableau beaucoup trop courte, afin de rendre plus sensibles ces alongemens de l'apparence de la sphère dans le tableau ; car ils sont presque insensibles lorsque la distance est plus grande, ainsi que nous le verrons. Comme ce problème est important et assez difficile, nous allons encore en présenter deux ou trois exemples gradués , les plus simples que nous ayons pu trouver. La plupart des ouvrages sur la perspective ne donnent aucun moyen pour mettre la sphère en perspective, et le très petit nombre des auteurs qui en ont parlé, ne fournissent que des moyens qui exigent, pour être compris, des connaissances en Mathématiques beaucoup plus élevées que n'en ont ordinairement les commençans ; par conséquent ces moyens ne peuvent pas être à leur portée , et doivent leur paraître trop abstraits. (Fig. i , pl. i^.)

Soient AB, ab les projections du tableau-; c, c' celles de l'œil;!) celle de la sphère donnée, posant sur le plan objectif; menons à l'œil c , les tangentes Ec , Fc; par les points EF, menons les droites ÈG, FH parallèlement à AB; entre ces deux droites EG, FH, menons autant de parallèles que nous jugerons à propos , telles que 1K, LM, etc. Nous considérerons toutes ces lignes comme étant les traces d'autant de plans verticaux , coupant la sphère parallèlement au tableau. Toutes ces sections seront autant de cercles (j u i comprendront toute la partie visible de la sphère , déterminée par les tangentes Ec, Fc; les perspectives des cercles HF, 1K, LM, etc., qui sont parallèles au plan du tableau seront aussi des cercles. Si nous enveloppons tous ces cercles perspectifs par une courbe, nous aurons la perspective de la sphère..

^ec

PERSPECTIVE. 3o5

Il ne s'agit plus que de trouver la perspective de chacune des tions circulaires de la sphère , ce qui n'est pas difficile ; menons premièrement le diamètre rs qui sera la projection horizontale de l'un des axes de la sphère, passant par les centres des cercles HF, IK, etc. ; cherchons d'abord la direction perspective de cet axe; observons que le point r est élevé au-dessus du plan objectif de la hauteur du rayon de la sphère, et qu'il touche le tableau ; par conséquent sa perspective sera en R , et comme cet axe est perpendiculaire au tableau, sa perspective sera dirigée vers le point de vue; menons donc la droite Rc' qui sera la direction cherchée, et sur laquelle doivent se trouver les centres de tous les cercles HF, IK, etc. Cherchons premièrement le diamètre du cercle EG; par i, centre de ce cercle, menons la droite icqui coupera le tableau en i ; de ce point élevons au tableau une verticale qui coupera la direction Rc' en i' , qui sera la perspective cherchée du centre i . Le rayon iEa pour apparence, dans le tableau AB, le rayon i-e, que nous prendrons pour décrire dans le tableau du centre l' le cercle i\ nous en ferons autant pour chacun des autres cercles , et nous ferons passer une courbe elliptique qui les enveloppera tous.

Ce moyen est un peu long et n'a pas toute la précision que nous pourrions désirer ; car nous n'avons pas déterminé les deux axes préalablement, ce qui aurait diminué le travail et simplifié l'opération; mais cette figure était»bsolument nécessaire pour nous convaincre que la réunion de tous ces cercles contient toute la partie visible de la sphère, et forme une ellipse dans le tableau ; d'ailleurs la connaissance de cette opération était absolument nécessaire pour l'intelligence de celle qui va suivre, qui n'en est qu'une conséquence , qui est infiniment plus simple, et qui donne beaucoup plus de précision (fig. 2 ). Après avoir mené les tangentes Ec, Fc, les droites EG, FH, et avoir trouvé le point R dans le tableau, comme dans l'exemn^ précédent, nous

3o4 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

rons la droite Kc' , que nous prolongerons indéfiniment vers nous chercherons sur AB , les intersections des centres i , 6 , des cercles EG, FH, et des points f, 6-, nous élèverons au tableau des verticales qui couperont la direction du grand axe aux points l', 6'. Nous prendrons l'apparence du rayon El , qui seraei ■ , ou bien 6- f (car ils sont égaux) , et dans le tableau , des points i', 6' comme centres , nous décrirons un arc à gauche et à droite sur Rc 7 , aux points 7, 8 , et la droite 7 8 sera le grand axe de l'ellipse que nous cherchons. Nous diviserons le grand axe on deux parties égales, et par le milieu 9', nous mènerons une perpendiculaire indéfinie; cette ligne sera la direction du petit axe qu'il s'agit de déterminer. Nous aurions pu trouver le milieu 9 en divisant e f en deux parties égales, et du milieu 9-, élever une verticale au tableau; cette ligne passera également par le point 9'. Revenons au point 9- , sur AB; de ce point, et par c, nous mènerons une droite prolongée jusqu'à sa rencontre avec le diamètre rs , et du point d'intersection 9, nous mènerons une horizontale LM; de L nous mènerons une droite Le, qui coupera AB au point 1; nous prendrons 19* , apparence du rayon L9, et de 9' , comme centre , nous couperons la direction du petit axe aux points 10, 1 1 , et le petit axe sera déterminé. Ayant les deux axes il nous sera facile de tracer l'ellipse.

La tig. 1 , pl . 26, représente la même sphère dans les trois mêmes positions que les précédentes, seulement la distance de l'œil au tableau est double de la première. Nous voyons que la différence est bien moins sensible lorsque la distance est convenable, et cependant nous aurions pu prendre cette distance beaucoup plus grande sans aucun inconvénient; ce qui aurait encore diminué les différences.

Problème 19 (fig. 2). Déterminer, dans le Tableau, la grandeur de deux figures, dont l'une est arrêtée au pied d'une tour, tandis que la seconde est placée au haut de cette même tour.

Soient AB, le profil du terrain ou du plan objectif, CD la hauteur de la tour, eE le spectateur, CF la figure au pied de la tour, DG la figure placée au haut de cette tour, HI le profil du tableau. Menons par les extrémités de chacune des figures à l'œiLE du spectateur, les rayons visuelsCE, FE, DE, GE; nous reconnaissons d'abord que la fig. DG est beaucoup plus éloignée de l'œil E, que ne Test la figure CF. En effet,. nous apercevons ces deux figures sous des angles très différens , puisque l'angle CEF est évidemment plus grand que l'angle DEG , ce qui fait que nous voyons réellement la figure DG plus petite que l'autre; d'après cela, nous serons naturellement portés à conclure que nous devons la représenter plus petite dans le tableau. Ce jugement serait cependant une erreur , car nous voyons que les intersections cf, dg, sont égales; donc ces deux figures doivent être de même hauteur dans le tableau. Cette proposition est fondée sur une propriété incontestable du triangle (voyez là Géométrie), qui veut que lorsqu'un côté d'un triangle est divisé en parties égales ou inégales, si l'on mène de chacun des points de division des droites au sommet E , et que l'on coupe ce triangle par une droite parallèle au côté divisé, les parties de cette droite soient proportionnelles à celles du côté divisé. Ainsi nous voyons, dans cette figure que GV : cf . : DG : dg, donc, etc. Nous sentons bien qu'il convient de diminuer ou d'affaiblir le ton de la figure DG, en raison de son éloignement de l'œil. On rencontre assez fréquemment, principalement dans les tableaux de marine , dans lesquels les matelots qui sont au haut du mât, sont plus petits que ceux qui sont au bas de ce même mât , une faute qui tient à l'ignorance de ce principe. •

5o6 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

Des Plans coupés (fig. i et a , pl. 27 ).

On nomme plans coupés, des plans ou terrains qui sont plus hauts ou plus bas que le plan objectif sur lequel est placé le spectateur , et qui lui sont parallèles ; ou plutôt différens plans objectifs parallèles entre eux. Tels sont par exemple les terrains ou terrasses qui sont plus ou moins élevés les uns que les autres; cette première figure est le profil des objets que nous nous proposons de représenter dans le tableau , fig. 3.

AB est le plan objetif sur lequel sont posés le spectateur ce, et le tableau DE; FG est un plan plus bas que AB ; HI est un plan plus élevé que les deux premiers, et qui est au niveau du plan horizontal ou à la hauteur de l'œil. Le tableau fig. 2, est construit sur une échelle double de celle de la figure première.

Par l'œil c et par A , menons le rayon visuel AC, qui coupera le tableau en 0; portons le double de la hauteur Da, dans le tableau sur là trace du plan central de d en «'; par ce point menons une horizontale dans toute l'étendue du tableau: cette ligne sera la limite A du plan AB; si nous prolongeons le rayon CA , jusqu'au plan FG en R, ce point sera la première limite de la partie RF , du fossé FG visible au spectateur , la partie RG lui étant entièrement cachée par l'escarpement GA; menons le rayon FC qui coupera le tableau en /; portons le double de D/ dans le tableau de d en /'; par ce point menons une horizontale qui sera la dernière limite du fossé ou le pied de la muraille Ff , dont l'horizon sera la hauteur, ainsi que celle du plan HI ou terrasse supérieure. Observons que nous aurions pu obtenir» los points «',/', etc. , d'une manière plus directe, ainsi que nous lavons déjà fait plusieurs fois et que nous rappelons seulement. Portons la distance de A au profil du tableau, ou AD sur la base du ta- • bleau vertical de d en à; menons la droite ac* qui déterminera

PERSPECTIVE. 3o?

également le point a', ce qui ne peut être autrement, puisque ad, n'est que la moitié de la longueur qu'elle devrait avoir d'après l'échelle du tableau (qui est double de celle du profil ainsi que nous l'avons dit), et que c c n'est aussi que la moitié de la distance de l'oeil au tableau ; par conséquent ces deux lignes- sont en rapport. Il en sera de même de la distance de tous les autres points au profil du tableau.

Si nous voulions trouver directement dans le tableau l'apparence d'un point situé dans un plan objectif quelconque, tel que F dans le plan FG , nous nous y prendrions de cette manière en raisonnant ainsi : comme l'intersection du plan HI, prolongé jusqu'au tableau, est en c celle du plan AB, avec ce même tableau sera en D; ces deux sections dans le plan central, seront pour la première l'horizon, et pour la seconde la base du tableau ; par conséquent , si nous prolongeons le plan FG jusqu'à ce qu'il rencontre le prolongement du tableau, l'intersection de ces deux plans sera en L, et dans le tableau vertical ( prolongé), ce sera la droite horizontale passant par le point 1 , car al sera le double de DL, puisque cette échelle est double de celle du profil. Pour avoir maintenant la perspective de F, prenons FL distance de F au tableau , et portons-la dans le tableau de 1 en f ; menons la droite fc qui coupera le* en/ qui sera le point cherché. Il en sera de même de tous les autres points qui seraient situés dans différens plans plus ou moins élevés. Nous opérerons donc sur toutes ces intersections, comme sur la base du tableau.

Supposons actuellement que nous ne puissions pas prolonger le tableau vertical (ce qui arrive souvent), et que cependant nous ' voulions avoir la perspective d'un point quelconque, situé dans un plan plus ou moins élevé que le plan objectif, dont l'intersection est représentée par la base du tableau; par exemple , la perspective de F qui est six pieds plus bas que ce plan. Portons la distance LF sur la base du tableau de d en f* ; menons la droite

3o8 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

f- c* qui coupera de en f \ ce point est sur le plan AB, et il devrait être sur celui FG; il se trouve donc six pieds trop haut : il ne s'agit donc plus que de l'abaisser de six pieds perspectifs ou relatifs à la distance de ce point , à la base du tableau ; par/" , menons une horizontale indéfinie à droite ou à gauche; portons six pieds de l'échelle du tableau sur la base de d en m ; menons la droite me' qui coupera l'horizontale en n , et f'n sera perspectivement égale à dm ou à six pieds, que nous porterons verticalement de f en f , qui sera le point cherché. Nous n'avons pas besoin de dire que s'il eût fallu porter ce point six pieds plus haut, nous aurions porté notre mesure en c. D'après ce qui vient d'être énoncé, nous ne devons éprouver aucune difficulté à poser des ligures sur ces difFérens plans, soit en nous servant du profil, soit en employant le moyen indiqué lig. 2, pl. i3. Les droites OP, QR, IS, représentent trois figures, la première sur le plan AB, la seconde sur FG et la troisième sur HI. Nous pouvons en placer d'autres à volonté.

Si nous voulons couper le terrain FIH , par une ouverture ayant une rampe ou talus incliné selon la droite FT , qui n'en est qu'une partie ( faute de place ) , mais que nous pouvons facilement concevoir devoir rencontrer le prolongement du plan IH, en un point quelconque U ; par l'œil c menons parallèlement à FT , la droite eu qui par son intersection avec le profil du tableau, nous donnera le point de fuite de toutes les droites parallèles à FT. La projection de ce point dans le tableau sera u' ; déterminons maintenant la largeur de l'ouverture que nous nous proposons de faire et que nous supposerons dans cet exemple être de trois toises ; nous porterons départ et d'autre dans le prolongement du plan du ta- • bleau , de 1 en V , une toise et demie ; des points V , V , nous mènerons au point de vue des droites Yc' Yc qui détermineront l'ouverture s>s>\ si le passage de cette ouverture était horizontal , ou sur le prolongement FX. du plan GF, les directions des cotés

PERSPFXTIVE. 309

fuyansou perpendiculaires au tableau, seraient lesdroitest'c', vc'^ mais comme le terrain est incliné depuis FT jusqu'à la rencontre du plan IH , les directions devront donc changer et tendre vers leur point de fuite u' . Menons ensufce les droites vu\ vu' , qui couperont le plan horizontal (oultl), en^-, et la droite vj sera à l'intersection du plan incliné vy avec le plan horizontal IH; si dcjp, nous abaissons une verticale, cette ligne rencontrera le plan objectif FG en^' , et la droite^ - ' sera perspectivement égale à pVj ainsi une figure zz qui serait placée sur^', ou sur le haut du talus et qui serait grande d'environ six pieds, aurait environ la moitié de cette ligne^y'qui est de douze pieds. Après avoir indiqué les lits des pierres de la muraille qui sont horizontaux, nous dirigerons les lits de retour au point de vue c, qui est comme nous le savons , le point de fuite de toutes les horizontales et perpendiculaires au tableau. Nous pouvons aussi tracer un gazon, des balustres, etc. , comme nous les voyons dans la fig. 3 qui est terminée: cela ne présente aucune difficulté, nous n'en dirons pas davantage sur ce sujet.

Problème 20 (fig. 3, pl. 26). Étant donnée la perspective dune droite ab, dirigée vers un point c de l'horizon , lequel point est supposé ne pouvoir être contenu dans le papier , par un point d aussi donné, mener une droite qui concoure à ce même point c.

Supposons le problème résolu ; nous voyons que ab tend au point c, ainsi que de et que le triangle fed se trouve coupé par l'horizon gc\ nous avons donc la proportion fli : hd : : bi : ie. La droite ie sera donc la quatrième proportionnelle à chercher. Par le point donné d, menons une perpendiculaire à l'horizon, jusqu'à ce qu'elle coupe la ligne donnée (ou son prolongement) y, et nous aurons fh : hd: : bi : x , égale ie. Nous mènerons la droite be qui sera la ligne demandée.

Problème ai (fig. 5c), pl. af>). Étant donnée en perspective une droite \a, trouver sur la surface de l'eau la réflexion de cette ligne.

Wous ne répéterons paf^ici ce que nous avons déjà dit de la réflexion des objets sur une surface polie. Soit donc la droite «A , élevée sur le milieu d'un socle ou de bC, lequel est posé sur la surface de l'eau , dont la limite est à l'horizon de. Prolongeons indéfiniment les droites Bô, F/, Ce, Aa, etc. ; ensuite faisons bB' = bB,f¥' =/F } cC - cC, etc; joignons B'F', C, par des droites, nous aurons la réflexion du socle bC. Pour avoir la réflexion de la droite Aa, cela est un peu plus difficile, parce que nous n'avons pas son point de contact avec la surface de l'eau ce qu'il est absolument nécessaire d'avoir. Par a , pied de la droite Aa. menons une horizontale ag ou ai\ de l'un ou de l'autre des points g, i , menons verticalement la droite gh ou ij: de h ou de y, menons une parallèle à ga ou à ia: ces lignes couperont également le prolongement de Aa en a } nous ferons a! A' égal à A, et nous aurons *A' pour la partie visible de a A ou de la réflexion cherchée. Ce moyen général avec lequel nous devons nous familiariser, est le seul applicable à tous les cas de réflexions.

De la Perspective des Ombres.

Après ce que nous avons déjà dit sur les projections des ombres, il nous reste peu de choses à dire sur ce sujet, parce que nous devons être en état de concevoir les opérations dont nous allons nous occuper, qui sont à peu de chose près les mêmes que celles que nous connaissons déjà. La seule différence est que nous opérerons directement sur le tableau par le rayon lumineux, ce qui est avantageux dans plusieurs circonstances ; mais nous ne devons pas nous dissimuler que nous serons fréquemment obligés d'avoir recours aux projections ordinaires.

PERSPECTIVE. 3n

Nous dirons donc , que la lumière peut être située de trois manières différentes par rapport au tableau; i° elle peut être placée derrière ce tableau; i° elle peut être dans le plan même du tableau; 3° enlin, elle peut être en avant de ce même tableau. Nous allons voir successivement ces trois différons cas; nous nous servirons dans cet exemple de la fig. i et a de la projection des ombres, pl. I , à laquelle nous ajouterons seulement deux droites. Dans tout ce que nous allons dire, nous croyons nécessaire de joindre à la ligure perspective la projection horizontale du même sujet, afin de mieux comprendre et suivre plus facilement l'analogie de ces deux opérations.

Soient ((ig. i ,'pl^8) le tableau perspectif; c'C, la lumière située derrière te tableau; r/'D, un jalon dont il faut trouver l'ombre portée sur le plancher ou plan horizontal ; par c projection horizontale ou pied de la lumière, et par d, menons une droite indéfinie qui sera coupée par le rayon CD prolongé, et le point d'intersection e déterminera la longueur de l'ombre de. Pour déterminer celle du jalon f¥ , dont une partie est interceptée par un mur ou plan vertical, menons la droite indélinie c'f qui sera coupée par le prolongement du rayon CI r en un point g' , ce qui déterminera l'ombre /g' du jalon fV , portée sur le plancher supposé prolongé; mais comme cette ombre est interceptée en partie par le mur en h' , élevons de ce point une verticale qui rencontrera le rayon C»' au point /; ét la droite Wt sera la portion d'ombre relevée sur le mur vertical. Nous devons facilement voir que les m ombres des jalons x'X , y Y'se trouveront de même. La fig. i représente le même sujet que le précédent, seulement la lumière est dans le plan du tableau.

Le troisième cas est celui où la lumière est en avant du tableau (fig. i et 2, pl. 2IH) ; nous commencerons d'abord par chercher la perspective de cette lumière qui est en c, fig. 1 , ce qui est indispensable ; de c projection horizontale de la lumière , nous

3ia NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

mènerons à ab, une perpendiculaire indellnie, et nous supposerons momentanément la lumière située en </, ou dans le plan du tableau. La projection perspective de ce point cl sera sur la base al> <lu tableau , fig. i , en d ; de ce point et dans, la direction du point de vue e , menons une droite indéfinie en avant du tableau; pre*» nous dans la projection horizontale la distance cd de la lumièreau tableau ab, et portons-la de r/ en /*; menons la droite cf: cette ligne sera évidemment inclinée de j ~> ' sur In base ab; par conséquent la perspective de cette ligne dans le tableau sera dirigée vers le point de distance G. Nous porterons donc la même distance cd, sur la base ab du tableau perspectif de d en f ; par ce dernier point et par G, nous mènerons la droite (if prolongée en avant du tableau , jusqu'à ce qu'elle coupe la perpendiculaire indéfinie d<?', et le point d'intersection C sera la perspective du pied de la lumière, ou bien celle du pointe de la projection horizontale, puisque les droites de et df sont perspectivement égales aux droites de, df. Cherchons maintenant la hauteur perspective de cette même lumière ; de d , élevons sur ab une perpendiculaire sur laquelle nous porterons de d en D la hauteur réelle que nous nous proposons de donnera la lumière, si elle était située dans le plan du tableau.

Par e et par D, menons une droite indéfinie : cette ligne sera perpendiculaire an plan du tableau, et par conséquent sera parallèle à la droite ede; donc si de c nous élevons une parallèle à dD, jusqu'au point d intersection C, les droites cC, dl), seront perspectivement égales ; la droite cG sera donc la hauteur perspective de la lumière située en avant du tableau. Actuellement (rue tontes les dillicultés sont levées, nous allons opérer directement et de la même manière que nous l'avons fait dans les exemples précédens.

( llierchons d'abord 1 ombre de la droite PO inclinée aux deux plans; par c pied de la lumière, et par o pied de la verticale oO, menons uue droite indéfinie; ensuite par C point lumineux et par O, menons une autre droite jusqu'à ce qu'elle coupe la pre-

mière, le point d'intersection q sera l'ombre de O projetée sur le prolongement du plan horizontal ou du plancher. Menons la droite Pq , cette ligne sera l'ombre de la droite inclinée sur ce même plancher ou plan objectif ; mais comme cette ombre Pq est en partie interceptée par un plan ou mur vertical au point r, et que le point O touche ce même mur, l'ombre et le point se trouveront confondus; il ne nous reste donc plus qu'à mener la droite rO , qui représentera la portion rq de l'ombre interceptée par la muraille.

Nous voyons que cette opération est extrêmement facile, que nous avons obtenu le point q, directement sans employer aucun moyen intermédiaire , et sans avoir eu besoin de recourir à la projection horizontale que nous n'avons mise ici que pour faciliter l'intelligencede ce que nous avons dit et de ce qu'il nous reste encore à dire. Nous devons nous rappeler que le point lumineux C peut se trouver au niveau de O ou même plus bas , et qu'alors nous ne pourripns pas obtenir le point q aussi directement que nous l'avons eu; dans ce cas nous serons donc obligés d'employer le moyen indirect que nous connaissons déjà ,. mais que nous croyons utile de répéter ici. Prenons sur la projection horizontale Po un point quelconque * ; de ce point élevons une verticale qui coupera la droite originale PO en un point S: il ne nous reste plus qu'à chercher l'ombre de la hauteur sS; par s et par c, menons la droite indéfinie es, ensuite nous mènerons le rayon CS qui étant prolongé, coupera la droite menée par c et par s, en un point t ; nous mènerons la droite Pt qui coupera l'intersection de la muraille et du plancher au même point /*, que nous avons trouvé par la première opération , et nous mènerons la droite rO.

Nous allons maintenant chercher l'ombre du cube; et comme tous les points de cette ombre s'obtiennent de la même manière, nous nous contenterons d'opérer pour un seul, par exemple, le point i. Menons la droite indéfinie ch , ainsi que la droite aussi in-

5i4 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

définie CH, qui coupera la première en un point i qui sera l'ombre de H; menons la droite hi y et nous aurons l'ombre de l'arête AH. Nous en ferons autant pour toutes les autres arêtes, telles que ÀK, mM,etc.

Il est des circonstances dans lesquelles il est plus facile et plus expéditif d opérer directement sur le tableau perspectif, et dans d'autres il est plus avantageux de recourir à la projection horizontale ; niais comme nous ne pouvons pas déterminer ces différens cas, qu'un long exercice peut seul faire connaître, nous ferons bien de répéter cette opération dans la projection horizontale, aiin de ne laisser aucun doute sur l'analogie ou la concordance de ces deux opérations. D'ailleurs il est souvent plus avantageux (ainsi que nous l'avons déjà dit ) d'opérer d'abord sur la projection horizontale et ensuite de mettre le tout en perspective; il en résulte ordinairement beaucoup plus de précision. Nous conserverons dans cette seconde ligure les mêmes dimensions aux objets , ainsi que les mêmes lettres, et nous suivrons aussi le même ordre.

Soient ab le tableau horizontal , g le point de station ou de distance du spectateur au tableau, c le pied ou projection horizontale de la lumière , oP la projection horizontale de la droite OP inclinée, et entin le carré mh la projection horizontale du cube. Nous chercherons d'abord l'ombre de la droite inclinée: menons indéfiniment la droite co; par l'extrémité c de cette ligne, élevons une droite qui lui soit perpendiculaire , sur laquelle nous porterons de c en C la hauteur que nous nous proposons de donner à la lumière ( qui est ici la même que dD, fig. i ); par o , élevons une parallèle à cC, sur laquelle nous porterons de o en O', la hauteur oO, de l'extrémité O, de la droite PO; nous devons facilement voir que par ceUe opération nous avons couché dans le pian horizontal perpendiculairement à co, la lumière cC et la hauteur oO delà droite PO; menons maintenant le rayon lumineux CO' , jusqu'à sa rencontre avec le prolongement de co ou de

PERSPECTIVE. 3i5

la droite coj, ce qui doit nous donner le point d'intersection q, qui sera le même que celui que nous avons obtenu dans le tableau perspectif; mais comme le rayon CO' est presque parallèle à sa projection horizontale cqy, ces deux lignes ne pourront se rencontrer qu'à une distance beaucoup trop grande pour notre papier ; nous serons donc obligés d'employer le moyen indirect, ce que nous avons pu éviter en opérant directement sur le tableau. Voilà donc un de ces cas qui se présente , dans lesquels il est plus avantageux d'opérer sur le tableau, quand même le rayon serait parallèle à sa projection; car dans ce dernier cas, nous aurions obtenu le point q sur l'horizon du tableau, ou à l'infini, ce qu'il nous aurait été impossible de faire dans la projection horizontale.

Revenons à notre moyen indirect , fîg. i ; prenons à volonté sur oP un point s; élevons de ce point une verticale qui coupera PO en S; menons la droite indéfinie es; renversons perpendiculairement à es, la lumière cO et la hauteur sSen sS'; menons ensuite le rayon C'S', qui coupera le prolongement de es en un point t; menons la droite Pf qui sera la direction de l'ombre PO, sur le plan horizontal , et qui sera coupée en rpar le mur vertical, et le problème sera résolu. Nous allons seulement déterminer l'ombre de l'une des arêtes du cube; menons la droite indéfinie ch. sur laquelle nous élèverons perpendiculairement des points c, A, la hauteur de la lumière de c en C", ainsi que l'arête du cube de h en H; menons le rayon C"H jusqu'à ce qu'il coupe le prolongement de ch en i qui sera le point cherché, et la droite hi sera l'ombre de l'arête AH.

Tfous allons ajouter à ce que nous venons de dirè , dans les deux planches suivantes, deux exemples du même sujet; dans le premier , la lumière sera située derrière le tableau , et dans le second, elle sera en avant de ce même tableau; nous réunirons dans ces exemples les projections horizontale , verticale et perspective.

5i6 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

Puisque les ope'rations que nous présentent ces exemples sont les mêmes que celles que nous venons de faire, et qu'elles nous paraissent être suffisamment indiquées dans les figures, nous nous

dispenserons de les décrire; d'ailleurs nous croyons nécessaire de laisser quelque chose à faire pour exercer l'intelligence de nos lecteurs, et par là les mettre dans la nécessité de se familiariser avec cas opérations, dans lesquelles, nous n'en doutons pas, ils réussiront avec du travail, de la patience et surtout de l'attention. Nous aurons soin pour leur faciliter les principales de ces opérations , de les indiquer par des lettres qui seront communes aux deux figures. La fig. i, pl. 3o, représente la projection horizontale de deux galeries se coupant à angle droit, et dont l'une est perpendiculaire au plan du tableau , tandis que l'autre est parallèle à cemême tableau. Ces galeries sont voûtées en arc d'ogive (voyez la fig. 2, pl. 3i ), et les intersections de ces deux voûtes ont pour projections horizontales dans la fig. 1 , les droites fg , ih ( nous avons omis ces lettres dans la fig. 2 , faute de place); la droite ab représente le tableau horizontal , c le point de station ou la distance du spectateur au tableau; la droite De est la projection horizontale d'une lance DE , appuyée contre la muraille, k est le pied de la lumière kK située derrière le tableau, k'Rest le pied de la lumière, supposée située en avant du tableau, ce qui établit deux suppositions ou cas différens que nous devons distinguer, et ce qui doit nous donner deux tableaux du même sujet, mais qui doivent être éclairés de deux manières différentes; telles sont les fig. 1 et 2 , pl. 32. La droite cC est la hauteur de l'œil du spectateur, couchée dans le plan horizontal , la droite Dl est l'ombre de la lance produite par la lumière AK située derrière le tableau, la droite I)/' est l'ombre de la même lance produite par la lumière jfc'K' placée en avant du tableau; ces deux ombres sont projetées sur le plan horizontal (abstraction faite des obstacles qu'elles doi- \rnt rencontrer). Ce. que nous venons de dire de la fig. 1 , est

PERSPECTIVE. 3i 7

aussi commun à la fig. i qui contient les mêmes lettres. Observons que la fig. i est construite sur une échelle double de celle de la fig.. i ; nous remarquerons aussi que dans la projection horizontale ou fig. i , nëus avons obtenu sans difficulté les points /', V , et que dans la fig. i nous ne pourrions obtenir que le point F , car le rayon KEO et sa projection ken sont divergens,etpar conséquent ne peuvent pas s'entrecouper; nous serons donc obligés d'avoir reeours au moyen Indirect , en prenant sur De un point s , dont la hauteur sera sS; par k et par 5, nous mènerons une droite indéfinie qui sera la projection du rayon lumineux; ensuite par K et par S, nous mènerons le rayon jusqu'à ce qu'il coupe sa projection en t qui sera l'ombre de S, nous mènerons la droite Dr, qui sera l'ombre de DS qui- sera interceptée par" le mur vertical en u et relevée sur ce même mur en 7/E , et dont la partie vE seulement sera visible dans le tableau. Maintenant nous allons nous occuper de la perspective des ombres produites par la lumière du soleil. (Pl. 33.)

Nous devons savoir que le soleil peut se trouver par rapport au tableau , dans l'un des trois cas que nous venons d'examiner. Nous savons encore que les rayons de cet astre relativement à son extrême distance de notre globe , peuvent être considérés sans erreur sensible, comme étant parallèles entre eux. Cette propriété, ainsi que nous Talions voir, nous facilitera beaucoup les opérations sur la projection des ombres produites par la présence de cette lumière. Nous allons examiner successivement ces trois diflférens cas.

Premier cas. Lorsque le soleil est dans le plan du tableau , ou dans un plan qui lui serait parallèle , les projections horizontales et verticales de ses rayons, seront toujours parallèles entre elles dans le tableau. Soit abcd , la projection horizontale d'un cube éclairé par le soleil , et dont les rayons sont dans un plan parallèle à celui du tableau ef, et sont élevés de 5o° au-dessus de l'horizon,

5i8 NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

ou selon l'angle Aag. Les ombres des arêtes verticales de ce cube seront parallèles à la base ef du tableau ( nous ne donnerons pas la manière de trouver ces ombres que nous devons connaître ). Nous pouvons mettre cette projection horizontale en perspective, et nous aurons le résultat représente dans le tableau efF et fig. 3 • ou J^ii ii si iioii^ ti i liions 1 1 i i i. 1 1 \ oj3d*or ^1 1 1 ( ( 1 1 iiit m t sur ce tableau, nous supposerons la perspective du cube trouvée, nous ferons sur la base du tableau l'angle demandé GAe, de lHnclinaison de* rayons solaires ; ensuite par chacun des points a', b', c\ d', nous mènerons des droites horizontales indéfinies , et par chacune des arêtes A' , B', C, D 7 , nous mènerons des rayons parallèles à Gh, qui couperont les horizontales aux points g', A', j v , et les droites ag, gk, ki, ic seront les limites de l'ombre cherchée.

Deuxième cas. Nous supposerons dans la projection horizontale (iig. a), que les ombres du cube cd ont été trouvées de la même manière que celles de la fig. a , pl. 4, de la projection des ombres, dans laquelle la direction de la lumière est la même que celle du problème dont nous nous occupons , c'est-à-dire , selon la direction de la diagonale d'un cube, dont deux des faces sont parallèles au plan vertical ou du tableau ab. Si nous mettons cette projection horizontale en perspective, nous aurons le résultat figuré dans le tableau ax , ainsi que dans la fig. 2 bis. Si nous voulons opérer directement sur le tableau, nous observerons d'abord que les droites ei f cdh,fg, qui sont les ombres des arêtes verticales du cube cd ( ou bien les projections horizontales des rayons solaires) , font chacune un angle de 45° avec la base du tableau ab. Par conséquent, les perspectives de ces lignes dans le tableau , seront dirigées vers le point de distance K'. D'après cela nous mènerons donc de chacun des points e', c' y f, d! des droites au point K', et nous aurons les directions des ombres cherchées. Nous savons de plus que les rayons solaires sont parallèles entre eux, et qu'ils sont contenus dans des plans aussi parallèles entre eux et fai-

sant chacun un angle de 45° avec la base du tableau ; nous savons encore que les lignes inclinées et parallèles entre elles, qui sont dans ces plans , doivent avoir leur point de fuite ou de.concours dans la verticale menée par K'. Or, nous savons que dans ces casci , les rayons sont parallèles à la diagonale du cube ; menons donc cette diagonale Qd' , prolongée jusqu'à la verticale menée par K', et le point d'intersection / sera le point de concours des rayons solaires. Nous aurions pu trouver le point de fuite /, par le moyen indiqué Gg. a , pl. 9 , que nous croyons utile de rappeler ici. Abaissons la distance A'R'; au-dessous de l'horizon de k' en K, menons la droite RR; deK' abaissons une perpendiculaire indéfinie ( que le défaut d'espace nous empêche de prolonger ) au point faisons l'angle demandé R'Rm ( qui doit être ici celui de la diagonale du cube ) ; menons la droite Yun prolongée jusqu'à sa rencontre avec la perpendiculaire abaissée de R' , qu'elle coupera en un point L; nous prendrons la longueur RL', que nous porterons perpendiculairement au-dessous de l'horizon de R'en l, qui sera

le point cherché.

Troisième cas (tig. 3 et 3 bis). La lumière est située derrière le tableau. Nous prendrons dans cet exemple la même inclinaison de lumière que dans l'exemple précédent , c'est-à-dire , selon la direction de la diagonale du cube; par conséquent, les projections horizontales de la lumière feront un angle de 45° avec la base du tableau ab ou ab , et les rayons feront avec le plan horizontal un angle égal à celui que ferait la diagonale du cube. Nous devons facilement voir que nous devons avoir le même résultat que celui de l'exemple précédent, mais en sens inverse. Ainsi R', poi ntde distance , sera le point de fuite des projections horizontales des rayons, et / sera celui des rayons. Nous pouvons encore considérer le point l comme étant le lieu du soleil, et R' comme étant la projection horizontale de ce même soleil. Nous pouvons obtenir ces deux points delà même manière que ceux de l'exemple

5ao . NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

précédent. Nous chercherons seulement l'ombre de l'une des arêtes du cube j par exemple , l'arête cO. Par K', pied de la lumière, et par c , pied de l'arête , menons une droite indéfinie ; pari centre du soleil , et par G menons une autre droite aussi indéfinie qui coupera la première en un point g' , et la droite cg sera l'ombre de l'arête c'C. Il en sera de même pour les autres arêtes.

De la Perspective, lorsque tœil du spectateur est supposé infiniment éloigné du tableau.

C'est d'après cette supposition que nous avons construit en projections perspectires la plupart des figures de cet Ouvrage , parce que non-seulement les opérations sont beaucoup plus faciles que celles de la perspective ordinaire (que nous venons de voir) , mais encore parce que ces figures sont plus convenables pour faciliter l'intelligence des projections avec lesquelles nous n'étions pas encore familiarisés. Au reste, cette perspective si différente dans ses résultats, n'en est pas moins soumise aussi rigoureusement aux principes que nous venons d'exposer ( voyez fig. i , pl. 34).

Soient ab la projection horizontale du tableau , edef celle d'un carré posé dans le plan objectif, et ab la piojection verticale de la base du tableau , dans lequel doit se trouver la perspective du carré edef. Concevons que l'œil horizontal du spectateur soit situé dans le plan central ( qui est ici le prolongement indéfini de la diagonale ec ) , et à une distance infiniment grande du tableau ab; dans cette supposition , les projections horizontales des rayons visuels menés des angles de la figure carrée à l'œil , seront parallèles entre elles et perpendiculaires à la base du tableau j telles sont les droites fi, eg, dh, etc. : ces lignes couperont le tableau ab aux points /, c , b;àe chacun de ces points nous élèverons une verticale au tableau ab-, ce sera dans chacune de ces lignes que devront se trouver les projections perspectives des différons points de la figure origi-

nale. Le point c qui se trouve situé sur la base ab , aura nécessairement sa projection perspective en c sur la base ab ; il ne nous reste donc plus qu'à déterminer la hauteur de chacun des autres points dans le tableau , ce que nous ne pouvons faire qu'en déterminant d'abord la hauteur de l'œil.

Considérons la droite eh comme étant la section commune des deux plans de projection , et projetons sur cette ligne tous les points du carré-, nous aurons eene,/ et rf, en d , et enGn c en b. Prenons à volonté sur bk ( que nous considérerons comme étant le projm vertical du tableau) , un point tel que e', et menons la droite ee' , laquelle étant prolongée à l'infini sera supposée passer par l'œil du spectateur et sera, par conséquent, le rayon visuel mené du point e à l'œil x, dont nous ne pouvons indiquer la position sur notre papier, position d'ailleurs de laquelle nous pouvons très bien nous passer; car, puisque le rayon visuel mené de e à l'œil , # coupe le profil du tableau en e' , la droite be' sera la hauteur du point perspectif de e dans le tableau , hauteur que nous porterons sur ab, de c en e'; de d projection verticale de/ et de d, menons un rayon visuel parallèle au premier , ce rayon coupera le tableau en de', nous porterons la hauteur be' sur ab , de j enf et de b eu </, nous joindrons par des droites les quatre points que nous venons de trouver, et nous aurons la perspective cherchée. Cette figure, quoique rigoureusement en perspective , ne nous paraît cependant pas telle, puisqu'elle nous présente l'apparence d'une surface carrée posée verticalement sur le plan horizontal par l'un de ses angles, ce qui paraît en contradiction avec ia projection horizontale qui nous indique que cette surface carrée est entièrement dans le plan horizontal. Nous aurions pu aisément éviter cet inconvénient en diminuant la hauteur de l'œil; mais nous étions bien aise de profiter du cas qui se présente pour faire sentir que lorsque l'œil est trop élevé , il en résulte les mêmes inconvéniens que lorsqu'on prend une distance trop petite. Nous

3m NOUVEAU TRAITÉ DE PERSPECTIVE.

voyons en effet (fue la hauteur bé eat égale à la droite be ou «?, longueur de la ligure, et si e' eût été encore plus élevé ou plus éloigné de b, nous aurions eu une figure perspective dont, le diamètre ce aurait été beaucoup plus grand que celui ce de la figure originale , inconvénientqui peutrendre les objets tellement difformes, qu'ils sorft méconnaissables,, ce qu'il faut éviter avec soin.

Si nous voulons que la figure en perspective soit, en hauteur, la moitié, le tiers ou le quart de la figure originale , prenons cette partie sur la figure elle-même que nous porterons sur bk ( par exemple, cl moitié de ce ); de b en e", nous mènerons le rayon visuel ee" , la droite be" sera la hauteur que nous porterons sur ab, de c eu e" qui sera le poiiil de la figure le plus élevé dans le tableau; ensuite nous mènerons le rayon dà parallèlement au premier ee", ce rayon coupera le tableau en d; nous porterons la hauteur bà sur ab , de j en f , et de b en d" , ce qui nous donnera la seconde figure cd' e"f.

La figure i représente le même sujet : seulement l'œil au lieu d'être dans le plan central , est situé un peu à gauche de ce même plan. L'opération est absolument la même.

La figure 3 présente absolument le même sujet et le même cas que le précédent , relativement à la position de l'œil. Nous considérerons seulement le carré en perspective comme étant la base d'un cube que nous nous proposons de construire. De chacun des angles de cette figure, élevons des verticales indéfinies , sur lesquelles nous porterons la hauteur que le cube doit avoir; dans cet exemple, ce sera un des côtés du carré de la figure originale, et nous mènerons les droites indiquées dans la figure. Remarquons que, dans cette troisième figure, nous n'avons pas eu besoin, pour construire le carré perspectif, d'employer les rayons visuels menés sur le profil du tableau, et* en effet nous pouvons nous en di - penser, ce que nous ferons dorénavant; car il nous

^ îoogle

suffit de savoir dans quel rapport la figure perspective doit être avec son original. Nous n'avons tout simplement qu'à prendre ce rapport sur la figure et le porter en ah , sur chacune des verticales; comme, dans cet exemple, nous avons décidé de prendre la moitié, portons cette moitié cl ou ef sur ah, de gen t"; portons de même la moitié «•'/, de f en /" et de y en d". Pour éviter les tàlonnemens dans la recherche des rapports pour chacun des points de la figure, nous nousy prendrons de la manière suivante. ( Fig. 4- )

Le cercle cdef est la projection horizontale d'un cône droit à hase circulaire, et dont l'axe aura pour longueur le diamètre du cercle de la hase. Nous allons chercher la ]>erspective de ce corps, par le dernier moyen que nous venons d'employer; seulement nous ne prendrons que le tiers du diamètre ce pour la hauteur de la figure perspective que nous nous proposons de construire, et pour ahréger nous emploierons l'angle de réduction dont nous avons déjà parlé plusieurs fois, mais que cependant nous croyons utile de rappeler ici. Sur un papier à part, nous mènerons une droite indéfinie sur laquelle nous porterons trois fois de suite une ouverture de compas prise à volonté, comme de i en i , 2 , 3 ; de 1 comme centre et avec i*3 comme rayon , nous décrirons un arc indéfini 3 /, sur lequel nous porterons de 3 en m une des parties de 1*3 5 nous mènerons la droite ////, et l'angle sera construit. Nous prendrons successivement la distance de chacun des ]>oints à la hase ab 9 que nous porterons alternativement sur les deux côtés de l'angle depuis le sommet 1, et l'intervalle entre les deux points ou la corde de l'angle sera la grandeur cherchée. Par exemple, voulons-nous avoir la hauteur du point e dans le tableau? prenons ce que nous porterons sur l'angle de l'en n et en o, l'intervalle no sera le tiers de ce, que nous porterons sur ah, de x en e. Il en sera de même pour tous les antres points tels que/, h, g, d, etc. Il est surtout essentiel dans cette opération de déterminer

avec précision les deux points du diamètre gh, qui est limité, ainsi que nous le voyons , par les points de tangence des rayons visuels à l'œil.

Chaque fois que nous aurons un cercle à mettre en perspective . de cette manière , nous pourrons abréger de beaucoup l'opération, en menant au diamètre gh, un autre diamètre qr qui lui soit perpendiculaire, et nous n'aurons plus qu'à chercher les quatre points des extrémités de ces deux diamètres, ce qui déterminera dans le tableau les deux axes d'une ellipse que nous pourrons terminer avec la règle de papier.

Enfin', nous pouvons encore simplifier cette opération ; si nous n'avons pas commencé par ce nouveau moyen , c'est que nos lecteurs n 'auraient pas pu comprendre sur quel principe ce moyen est fondé. Nous nous servirons du même carré qui est dans les figures 2 et 3, afin de mieux faire sentir l'avantage qu'il y a d'opérer par cette nouvelle manière. ( Fig. 5. )

Soit donné un carré abcd, qu'il convient de mettre en perspective dans les mêmes rapports que ceux des figures a et 3. (Nous croyons inutile de rappeler que ce moyen peut s'appliquer à une figure quelconque.) Par e, milieu de la figure originale donnée, menons une droite horizontale^ et une verticale indéfinies sur un papier à part (s'il est nécessaire ); menons deux semblables lignes; prenons par exemple sur la projection horizontale, la moitié de la distance ae , que nous porterons sur le tableau de e en a; nous en ferons autant pour ce, ainsi que pour tous les points qui pourraient se trouver au-dessus ou au-dessous de fg, c'est-à-dire que nous rapporterons toutes ces mesures à cette même verticale. Par le même point e, menons une droite plus ou moins oblique , et ce en raison ou selon que nous voudrons voir la figure plus ou moins de coté ; prenons ensuite la distance de e à d, que nous porterons sur /'g' , de e' en <f : nous en ferons autant pour 5, ce qui nous donnera b' y par a et par c, menons une horizontale à droite

PERSPECTIVE. 3a5

et à gauche, qui coupera l'oblique en a' et en c': ces deux points seront les perspectives des points originaux a, c; nous joindrons ces points par des droites, et nous aurons la figure demandée.

La tig. 7 est un second exemple de cette manière abrégée , et représente un prisme hexagonal, vu un peu moins de côté que le carré de la figure précédente , et qui n'a en hauteur que le tiers de la figure originale.

Nota. Dans cette dernière figure nous nous sommes servi de l'angle de réduction.

nu.