LES DEUX DIRECTIONS D'UXE DROITE

ment indcfini de deux plans l'un sur l'autre, celui d'une droite sur un plan (20, IV), nous sont montrés par le mouvement, sur son plateau, d'une molette à broyer les couleurs, par le raclage d'une glace plane exécuté au moyen du tranchant d'une règle, etc. Mais, comme il en est pour les premiers fondements de toutes les lois naturelles, la certitude des axiomes définissant la droite et le plan ne nous est donnée complète, quoique indirectement, que par les épreuves expérimentales, variées à l'infini, que les calculs et autres déductions, ayant ces axiomes pour base, ont toujours affrontées victorieusement.

L'égalité constante de deux droites quelconques (18, I), celle de deux plans (21, 1), la parenté géométrique qui est formulée si étroite, entre la droite et le plan par l'axiome 20, I, sont exclusives à ces figures et facilitent au plus haut degré la comparaison de toutes celles qui en sont composées, en même temps que la vérification de l'exactitude de ces figures dans les corps matériels qui doivent en affecter les formes. D'autre part, les axiomes 17, III et 20, IV ont des conséquences mécaniques qui placent la forme plane et la forme rectiligne parmi celles dont la naissance a lieu le plus facilement et le plus sûrement par l'usure réciproque de deux corps durs frottés l'un contre l'autre avec les précautions convenables. Ce sont ces diverses circonstances qui assignent le premier rôle, et de beaucoup, à la droite et au plan, non seulement en Géométrie pure, où mille proposition ne peut être affranchie de la mention explicite ou implicite de ces figures primordiales, mais encore dans les sciences ph5'Siques et dans les arts, où des considérations géométriques interviennent presque partout.

Relativement à la totalité de l'espace, un plan constitue un domaine fort restreint sans doute, une droite, un domaine bien plus étroit encore. Mais, quand elles sont planes ou rectilignes, les figures solides n'en ont pas moins la liberté exclusive de se mouvoir indéfiniment, les premières sur une même surface [le plan (20, IVl], les dernières sur une même ligne [la droite (17, III)], et, à côté de dissemblances forcées, il en résulte pour ces figures des analogies très marquées avec celles de l'espace ; la suite les révélera peu à peu.

Notion de direction et premiers faits s'y rattachant.

23. L'idée d'un mouvement de sens constant, animant un point qui décrit une droite, nous est fournie par celui, par exemple, d'un piéton marchant sans cesse sur un sentier rectiligne très étroit, sans pouvoir reculer ni faire volte-face.

I. Pour les mouvements de ce genre, qui sont réalisables sur nne même droite, il n'existe que deux sens possibles.

Ces deux sens sont dits contraires ou opposés, et, sur la droite de la fig. 4, l'un d'eux, dit de A à B (de C à D, de D à E...), est indiqué par les flèches supérieures ; l'autre, de B à A (de D à C, de E à D...), correspond aux flèches inférieures.

Plus volontiers, on nomme les sens dont il s'agit, les deux directions contraires ou opposées, qui sont ainsi concevables sur la droite considérée; les notations AB, CD, DE..., indifféremment, marquent l'une de ces directions; BA, DC, ED..., marquent l'autre.

II, Deux points distincts A, B étant considérés sur une droite, on spécifie leur disposition topographiqiie, c'est-à-ûive leurs positions relatives, en choisissant une direction sur cette droite et en disant B placé par rapport à A dans cette direction ou bien dans la direction opposée, selon que la direction AB est celle que l'on a ainsi distinguée, ou bien l'autre. Par exemple, le point B (fig. 4), est, par rapport à A, dans la direction CD ; mais C est, par rapport à E, dans la direction opposée à CD.

III, Sur une droite, et par rapport à un quelconque de ses points, il en existe toujours une infinité d'autres placés dans une direction donnée, aussi bien que dans l'autre.

C'est en cela que consiste la propriété d'une droite d'être illimitée dans chacune de ses deux directions, celle d'un plan d'être illimité dans toutes ses directions (c'est-à-dire dans celles de toutes les droites que l'on peut tracer sur lui), et on peut dire de même, que l'espace est illimité dans toutes les directions imaginables.

IV, Soient M, N deux points distincts marqués sur une droite, P, Q deux points distincts marqués sur une autre droite, et M', N' les positions prises par M, N sur cette droite, après une application de la première sur la seconde (17, I). Quand N' est placé par rapport à M' dans la même direction que Q par rapport à P, on dit que l'on a fait coïncider la direction MX de la première droite avec la direction PQ de la seconde.

Deux droites quelconques étant données, on peut toujours, et cela d'une seule manière (6>, appliquer l'une sur l'autre, de façon qu'an point et une direction choisis arbitrairement sur la première coïncident avec un point et une direction choisis à volonté aussi sur la seconde.

24. Tout point O d'une droite.,. Q'P'OPQ..., (fig. 5) la divise (quand on le dédouble par la pensée) en deux parties ou régions, OPQ... etOP'Q'..., encore indéfinies, mais chacune dans un seul sens (23, III), telles que, sur chacune, la première, par exemple, les points P, Q..., autres que O, sont tous placés, par rapport à celui-ci, dans une même direction (23, II; opposée à celle où se trouvent les points P', Q'... de l'autre région.

Chacune de ces deux parties est une demi-droite, ayant pour