DEMI-DROITES, DEMI-PLANS, DEMI-ESPACES

origine le point O, pour direction celle dont nous venons de parler allant ainsi de son origine à l'un quelconque de ses autres points. On les note l'une par deux lettres afifectées, la première, à son origine, la seconde, à l'un quelconque de ses autres points.

Deux demi-droites telles que OP, OP', découpées sur une même droite par une même origine, sont opposées, et chacune se nomme encore le prolongement de l'autre.

Sur une droite que l'on a divisée en deux demi-droites opposées par quelque point O, on dit que deux autres points tombent d'un même côté de O, ou bien de côtés différents (quelquefois de part et d'antre), selon qu'ils sont placés tous deux sur une même de ces demi-droites, ou bien l'un sur l'une, le second sur l'autre.

Deux demi-droites quelconques sont deux figures égales, mais cela d'une seule manière i23, IV).

25. Toute droite UV (fig. 6), tracée sur un plan (et dédoublée par la pensée), le découpe en deux régions encore indéfinies, qui se distinguent l'une de l'autre comme il suit : la droite PQ (ou P'Q'i joignant deux points P, Q (ou P', Q') pris à la fois sur une même de ces régions, ou bien ne rencontre pas UV (68, ////.), ou bien coupe cette droite en un point R (ou R') tel que les directions RP, RQ ou R'P', R'Q') sont identiques; mais une droite comme PP' joignant deux points P, P' pris dans des régions différentes, coupe toujours UV en quelque point S, et les directions SP, SP' sont opposées.

Deux semblables parties d'un plan sont des demi-plans opposés, ayant pour arête commune la droite UV séparant l'un de l'autre. On désigne chaque demi-plan par la notation de son arête, suivie de celle de l'un de ses autres points; notre figure montre ainsi les deux demi-plans UVP, UVP'.

26. Un plan quelconque UVW, dédoublé toujours mentalement, découpe l'espace en deux demi-espaces opposés UVWP, UVWP', ayant ce plan pour plancher commun et se distinguant l'un de l'autre par les mêmes moyens, exactement, que ceux qui viennent de nous conduire à la notion des demi-plans (25) et même à celle des demi-droites (24); nous n'insistons pas, tant le sujet est facile.

Les dénominations expliquées à la fin du no 24 sont immédiatement applicables à deux points placés d'une manière ou de l'autre, soit dans un même plan relativement à l'arête commune de deux demi-plans opposés, soit dans l'espace relativement au plancher commun de deux demi-espaces opposés.

27. Une droite tracée dans le plan de deux demi-plans opposés, de manière à couper leur arête sans se confondre avec elle, ou bien

arbitrairement dans l'espace, mais coupant le plancher commun de deux demi-espaces opposés sans être située tout entière sur lui, est divisée, soit par cette arête, soit par ce plancher, en deux demidroites opposées, qui sont situées respectivement soit dcms les deux demi-plans, soit dcms les deux demi-espaces en question.

Un plcm, coupant le plancher commun de deux demi-espaces opposés, scms se confondre avec lui, est divisé peu- l'intersection en deux demi-plans opposés, qui sont situés respectivement dans ces deux demi-espaces.

Nos définitions rendent tous ces faits évidents.

28. C'est ici qu'il faudrait placer l'étude des conditions dans lesquelles on peut faire coïncider, soit deux deini-plans quelconques, soit deux demi-espaces, si ces questions ne devaient pas être traitées plus tard d'une manière au moins implicite.

Premières application.^.

29. La pratique des arts de construction exige à chaque instant le tracé de figures géométriques au moyen desquelles l'ingénieur mûrit ses idées, les fixe et les transmet exactement à l'ouvrier. L'exécution de ces figures se décompose en un certain nombre de constructions géométriques, tracés irréductibles à de plus simples, avec lesquels il importe d'être parfaitement familiarisé.

Les considérations de la fin du n° 22 ont fait préférer exclusiment les tracés exécutés sur des surfaces planes, auxquels la Géométrie descriptive montre que tous les autres peuvent être ramenés. Un semblable tracé est une épure, et s'opère sur une feuille de papier que l'on a tendue et collée sur une planche présentant une face bien aplanie. Les constructions planes ont donc une importance pratique bien supérieure à celle de toutes les autres, et, sauf spécification du contraire, nous supposerons toujours telles, celles dont nous aurons à parler.

30. Construire une droite passant par deux points donnés (18, II).

On emploie une règle, instrument fait d'une substance rigide, comme du bois ou du métal, dont le seul détail essentiel est l'existence de deux faces planes qui se coupent et dont l'intersection, nécessairement rectiligne (21, IX), constitue l'arête delà règle.

Après avoir appliqué exactement la face large de la règle sur l'épure, plane aussi, on la fait glisser sur celle-ci (20, IV) jusqu'à ce que son arête passe à la fois par l'un et l'autre des points donnés. Une fois cette position trouvée, on trace la droite

TRACli d'une droite PAU DEUX POINTS. 17

dciiiaildce au moyen d'un crayon bien aiguisé ou d'un tire-ligne, que l'on promène sur le papier en appuyant sa pointe , pour la guider, à la face mince de la règle et à l'épure en même temps.

Du mécanisme de celte opération viennent les locutions si fréquentes : joindre deux poinls par une droite, tracer, tirer une droite.

Il n'y a pas plus de difficulté à tracer une demi-droite ayant pour origine an point donné et passant par un antre point donné aussi (24).

31. On vérifie une règle, soit en la comparant à un fil délié bien tendu, soit, beaucoup mieux, en la visant d'un seul œil pour regarder si tous les points de son arête peuvent être amenés à s'effacer les uns derrière les autres dans un raccourci parfait. On peut encore regarder si son arête peut glisser sur celle d'une autre règle reconnue bonne (17, 111), ou bien encore si, dans toutes les positions où cette arête passe par deux points du trait qu'elle a permis elle-même de tracer, elle se réapplique exactement sur lui (17, I).

Au moyen d'une bonne règle, on peut vérifier une planchette à épures, et inversement (20, 1).