Nous abordons le plan

I. La droite qui passe par deux points quelconques (mais distincts) (18, II) de tout plan donné est située tout entière sur lui.

II. Etant donnés deux plans quelconques, sur l'un desquels arbitrairement on a marqué trois points distincts non en ligne droite (cest-à-dire non situés sur quelque même droite), on peut toujours déplacer celui-ci de manière à amener sur l'autre les trois points dont il s"agit, l'un dans une position arbitrairement choisie, et les deux plans sont alors en complète superposition (Cf. 17, I).

III. Sous la condition que ces trois points A, B, C reviennent respectivement en A', B', C, positions qu'ils ont occupées une première fois sur le second plan, la superposition des deux plans ne peut être recommencée que de la même manière (Cf 17, II), (Cf 34, inf.).

IV. Quand deux plans sont superposés, on peut faire glisser indéfiniment sur l'un d'eux laissé fixe dans l'espace, l'autre rendu mobile, et, avec celui-ci, par suite, toute figure située sur lui, une droite en particulier (Cf. 17, III). Nous approfondirons bientôt les cas particuliers les plus importants d'un pareil mouvement (35 et suiv., 83 et suiv., inf).

V. Il existe toujours quelque plan remplissant la condition de

Pni-MIKHES l'HOPHIl^TÉS DU PLAN. 11

passer à la fois par trois points donnés arbitrairement dans l'espace [Cf. 17, IV).

VI. Quand deux plans passent par un même point, ils ont nécessairement quelque autre point commun.

21. Les propositions suivantes se déduisent facilement de tout ce qui précède.

I. Tous les plans soûl des figures égales, puisque deux quelconques peuvent toujours être superposés (20, II).

II. Quand trois poinls, d'ailleurs arbitraires dans l'espace, ne sont pas en ligne droite (condition excluant implicitement le cas où deux de ces points coïncideraient), le plan qu'on peut faire passer par eux (20, V) est unique. Deux plans quelconques se confondent en elîel quand ils sont placés de cette manière, puisque les trois points dont il s'agit appartiennent à l'un et sont situés sur l'autre (20, II).

III. Par une droite et un point non situé sur elle, on peut faire passer quelque plan, mais un seul.

On obtient un plan de ce genre en en faisant passer un par le point donné A et deux autres (distincts) B, C, marqués arbitrairement sur la droite donnée (20, V), car celle-ci aj^ant alors les deux points B, C sur ce plan y est située tout entière (20, I) ; et tout autre plan du même genre se confond avec celui-ci, parce que tous deux ont en commun ces trois points A, B, C qui ne sont pas en ligne droite (II).

IV. Quand deux droites (distinctes) se coupent, on peut faire passer quelque plan par elles deux à la fois, mais un seul.

Soient O le point d'intersection de ces droites (18, IV) et A, B deux autres points pris respectivement sur l'une et sur l'autre. Un seul plan peut contenir les deux droites à la fois, c'est le plan unique passant par les trois points 0, A, B non en ligne droite (II). Or, il contient efîectivement la première droite, parce qu'il passe par ses deux points distincts O, A (20, I), et la deuxième, parce qu'il passe encore par O et par B.

V. Par deux points distincts seulement de l'espace, ou, ce qui revient au même, par la droite qui les contient tous deux (20, Ii, passent une infinité de plans distincts. Raisonnement du n" 18,

VI. Les droites distinctes que l'on peut mener par un même point (18, III), sont en nombres illimités dans des groupes différents dont le nombre est lui-même illimité.

Par ce point A, menons arbitrairement une droite D, puis par celle-ci les plans en nombre illimité dont il vient d'être fait mention (V). Sur chacun de ces plans contenant tous A, et par ce même point, le raisonnement du n" 18, III montre aussi bien qu'on peut tracer une infinité de droites distinctes ; et, à l'exception de la droite D appartenant à tous ces plans à la fois, lo

groupe formé par celles qui ont été tracées sur l'un d'eux n'en contient aucune qui soit aussi sur un autre. Ces groupes, en nombre illimité, sont donc distincts, et chacun d'eux contient bien des droites distinctes en nombre illimité.

VII. Les plans distincts que l'on peut mener par un même point se distribuent numériquement en groupes tout semblables.

Par ce point A on mènera arbitrairement un plan P, puis sur celui-ci les droites distinctes que l'on peut tracer par A. Chacun des groupes en question comprendra tous les plans que l'on peut faire passer par chacune de ces droites, car deux groupes différents n'auront jamais que le seul plan P en commun (IV).

VIII. Quand une droite non située sur un plan le rencontre, elle ne peut avoir qu'un point commun avec lui. (Cf. 72, Inf.)

Car, si au lieu d'un seul point d'intersection, il y en avait deux, la droite serait tout entière dans le plan (20, I).

IX. Deux plans distincts qui ont un point commun se coupent toujours suivant une droite. (Cf. 74, inf.)

Car ils ont en commun quelque autre point distinct du premier (20, VI) et, par suite, tous ceux de la droite passant par ces deux points (20. I). ]\Iais ils ne peuvent passer tous deux par aucun autre point, car alors ils se confondraient (III).

X. Quand trois plans ne contenant pas une même droite ont un point commun, leur Intersection se réduit à ce point.

Car s'ils passaient encore par un autre même point, chacun d'eux contiendrait aussi la droite déterminée par ces deux points (20, I).

Dans ce cas, deux de ces plans se coupent suivant une droite (IX), coupant elle-même le troisième au point commun à tous trois. Et, en associant ainsi ces plans deux à deux des trois manières possibles, on obtient trois droites concourant au même point d'intersection. [Cf. 50, Inf, In fine.)

22. Une figure est plane quand tous ses points et toutes ses lignes se trouvent dans un même plan ; telle est essentiellement la ligne droite (21, V).

Une figure peut être dite gauche quand elle n'est pas plane ; mais c'est aux lignes non planes que ce mot s'applique de préférence.

Pas plus que la droite, le plan n'est rare dans la nature et dans les objets créés par l'industrie humaine ; sa forme nous est présentée par la surface d'une eau tranquille, par les faces des cristaux, par une glace bien polie, par un mur bien dressé, etc., toutes ces surfaces étant rendues indéfinies par la pensée (23, III, Inf).

Au moj'en d'un fil bien tendu, ou d'une bonne règle, et de une ou deux glaces bien dressées, on peut vérifier physiquement la plupart des propositions formulées aux no* 20, 21. Le glisse-