I. La ligne (1) étant égale à elle-même, notée

. . . RQPONML . . . (427, III),

toute figure, composée de sommets pris au hasard, est égale à celle que forment leurs associés dans les groupes (O, 0), (N, P), (M, Q), (L, R), .. .; d'où (423), l'existence d'un axe de symétrie passant par O, perpendiculaire à tous les segments NP, MQ, LR, ..., et les rencontrant en leurs milieux. Or cet axe, de première classe, que nous représenterons par [O], est la bissectrice de l'angle NOP, parce que les côtés ON, OP de celui-ci sont homologues (414, 11).

II. Les autres associations (N, O), (M, P), (L, Q), ... jouissant des mêmes propriétés que les précédentes, parce que notre ligne ...LMXOPQ... est encore égale à elle-même, notée . . .QPOXML. . ., il existe un autre axe de deuxième classe [NO] qui est perpendiculaire à tous les segments NO, MP, LQ, ..., les rencontrant en leurs milieux, qui est situé dans le plan bissecteur du dièdre MNOP de la ligne, puisque les faces de ce dièdre sont issues de la droite double NO et passent par les points homologues M, P (Ibid. 111).

429 La coexistence de ces diverses symétries en nombre illimité, entraîne des conséquences fort intéressantes.