L], ^LM], :M], [MN], [N

les axes, de première et deuxième classes alternativement, qui ont ces points pour origines, et nous dirons alliés, deux termes voisins immédiatement dans l'une ou l'autre de ces suites.

Il est visible que deux axes dont les notations sont équidistanles de celle d'un troisième dans la suite (3), notamment les deux alliés de celui-ci, sont homologues, ainsi que leurs origines, dans la symétrie existant par rapport à ce troisième axe.

II. Deux axes alliés [LM], [M] ne sont jamais dans un même plan.

Car s'ils étaient parallèles, ils feraient des angles égaux avec le côté LM qui les rencontre tous ( e:ix; le second de ces angles ! erait droit comme le premier, et l'angle de la ligne, son double, serait neutre, cas excepté par la définition (426, I).

S'ils passaient par quelque même point 12, les droites [L],

AXKS, AME, ETC. d'CNE LIGNE BRISÉE RÉGULIÈRE. 219

[MN] y passeraient aussi, parce qu'elles sont homologues à [M], [LMJ dans les symétries de la ligne par rapport à (LM], (M, respectivement (Ii, et, de proche en proche, on constaterait par les mêmes moyens, que les axes des deux classes y passeraient tous.

La demi-droite Mi2, empruntée à l'axe [M], serait la bissectrice même de l'angle saillant LMN, parce que 12 est sur la droite [LM] perpendiculaire à son côté ML en un point [Im] appartenant à celui-ci (213).

Le demi-plan MNll se confondrait donc avec MNL, avec MXP encore pour une cause semblable, et l'angle de ces derniers, c'est-à-dire le dièdre de la ligne, serait nul, cas encore excepté.

III. Les axes (3) sont tons perpendiculaires sur une même droite, en des points

parmi lesquels deux alliés quelconques, c'est-à-dire pieds d'axes alliés (I), sont séparés par une distance non nulle constante.

Comme deux axes alliés LM], [M] ne sont jamais parallèles (11), ils ont une perpendiculaire commune unique ^\o (104), et ses pieds [a>j.], y. sont distincts, parce que les mêmes axes ne se rencontrent pas non plus.

Comme cette perpendiculaire est une droite double dans la symétrie de la ligne par rapport à l'axe [LM], elle est perpendiculaire aussi à la droite [L], homologue de [M], en un point À limitant, avec son homologue u-, un segment dont [Xj^] est le milieu.

Pour des motifs semblables, l'autre allié [MX] de l'axe [M] est perpendiculaire sur la droite d. en un point [^^■•^] duquel et de [Xv], [j. est équidistant ; et ainsi de suite.

Nous nommerons âme et gradin de la ligne, cette perpendiculaire commune <il) à tous ses axes et le double de la distance constante de deux pieds alliés.

Le gradin est ainsi la plus courte distance de deux axes consécutifs d'une même classe quelconque, et sa non nullité entraine, pour la ligne, la propriété d'être déchevêtrée. Car des plans perpendiculaires à l'àme, menés par les extrémités de chaque côté limitent des murs d'une même épaisseur (égale au gradin) et extérieurs les uns aux autres, à chacun desquels un seul côté peut être intérieur.

IV. Comme deux quelconques des segments ..., Là, Ma, Nk, . . . dont les extrémités occupent les mêmes rangs impairs dans les suites (2), (4), sont toujours homologues dans quelque symétrie, tous sont égaux en longueur. Leur valeur commune, distance ainsi d'un sommet quelconque de la ligne à son àme, est le rayon de la ligne.

Les plus courtes distances des côtés à l'àme, sont visiblement les segments unissant les points de mêmes rangs pairs dans les mêmes suites. Toutes sont encore égales entre elles pour des causes semblables, et leur valeur commune est l'apothème de la ligne, évidemment inférieur au rayon.

V. Deux demi-plans d'arête cXs sont alliés, quand ils passent par les origines de deux axes alliés, par ces axes en môme temps, et tous forment la suite

(5) ..., c-l>/, X[lm], Xm, =l)[/nn], Xn, ...

Deux demi-plans alliés quelconques ■.h,(lm), ^l^/n comprennent un angle dièdre non nul, dont l'amplitude est constante. Car l'àme, perpendiculaire à tous les axes, est une droite double dans toutes les symétries de la ligne, et le plan -Asm passant par elle, est double aussi dans la symétrie relative à l'axe |MJ ; d'où l'égalité des dièdres formés avec le demi-plan ^^m, à lui emprunté, par les demi-plans homologues di^/m), -Ximm, (414, 111) ; et ainsi de suite, par des raisonnements tout semblables.

Ce dièdre n'est pas nul, car, autrement, deux axes alliés seraient toujours dans un même plan, ce qui est impossible (II).

Son double, compris ainsi entre des demi-plans passant, soit par les extrémités d'un coté de la ligne, soit par les milieux de deux côtés consécutifs, est le dièdre à l'àme de la ligne.

VI. La réapplication de la ligne sur elle-même, qui amène ses sommets . . ., L, M, X, O, . . . en . . ., M, N, O, P, ... respectivement, et que nous dirons graduelle, peut être réalisée par une translation parallèle à l'àme, d'amplitude égale au gradin, suivie ou précédée d'une rotation autour de la même droite, d'amplitude égale au dièdre à l'àme.

Le déplacement considéré applique effectivement chaque axe sur son consécutif, réapplique par suite, sur elle-même, l'àme qui est leur perpendiculaire commune. Or la rotation dont nous avons parlé ensuite, applique chacun des demi-plans (5) sur son consécutif, postérieur de deux rangs, en laissant l'àme immobile; et la iranslation les fait glisser sur eux-mêmes, ainsi que l'àme, en appliquant évidemment sur son consécutif, chaque axe de première espèce, chaque sommet en même temps.

La figure 103 est la projection orthogonale de quatre côtés consécutifs KL, LM, MX, XO d'une ligne brisée régulière gauche, cela sur un plan mené p^r son âme perpendiculaireinent à son axe de deuxième classe >Mj.

L'àme, et les parties des côtes qui sont en avant du plan de projection, sont représentées par des traits pleins; des traits ponctués distinguent les parties des côtés, que le même plan cacherait s'il était opaque.

LIGNES BUISÉES HHGULIÈIIES PLANES. 221

430. La théorie précédente s'applique aux lignes brisées régulières planes, moyennant de légères modifications qui s'aperçoivent aisément. Voici ce qui concerne les lignes de la deuxième variété dans la première espèce (426. î).

I. Le dièdre étant neutre, la ligne considérée ...KLMNO... (fig. 101) est plane comme nous l'avons dit, parce que deux triangles élémentaires consécutifs KLM, LMN sont toujours dans des demi-plans opposés par leur côté commun L^L Nous lui donnerons le nom de zigzag qui rappelle bien sa forme. Les tétraèdres élémentaires sont enchevêtrés, leurs faces s'appliquant toutes sur le plan de la ligne.

L'adduction d'un triangle élémentaire KLM en K'L'M', sur un consécutif LMN, sur un autre quelconque par suite, réapplique toujours la ligne sur elle-même; car le côté MN de la ligne, consécutif à LM et solidarisé avec le premier triangle, se place dans une position M'N' telle, que M'N' = MN=iNO, que M' coïncide avec N, que l'angle MNN', identique ainsi à L'M'N' =:LMN = MNO, est porté à partir de NM dans le même demi-plan que ce dernier angle, et ainsi de suite.

Mais les triangles KLM, LMN sont en antitaxie plane (217), et leur application ne pourrait s'opérer par un simple glissement sur le plan de la ligne. EfTeclivemcMt, KLM et NLM, dont la relation est la même, sont antitaxiques comme ayant leurs côtés homologues LM, LM en application mutuelle, avec des sommets opposés K, N placés de part et d'autre de cejui-ci {Ibid. II).

II. De là, dérive comme pour les lignes gauches, l'existence d'axes de symétrie des deux classes. Les premiers, tous situés dans le plan de la ligne, sont parallèles, parce qu'ils ont une perpendiculaire commune, l'ûme -l) qui est ainsi dans ce plan. Comme les derniers sont les perpendiculaires au même plan élevé par les milieux ...., [kl], [Ini], ... des divers côtés, Tàme passe par tous ces milieux, et le plan mené par elle perpendiculairement à celui de la ligne contient tous ces axes de deuxième classe.

Le gradin est évidemment la moitié de la base du triangle élémentaire, et la ligne est encore déchevétrée.

L'apothème est nul, l'angle à l'âme est neutre, et la rotation, comportée par une réapplication graduelle (429, VI), est un demi-tour.

431. Dans le bilatère, variété spéciale des lignes de deuxième espèce (426, II), les axes de première classe sont tous représentés par la droite du segment unissant ses deux seuls sommets distincts, ceux de deuxième par les perpendiculaires élevées sur ce segment en son milieu, l'àme par une quelconque de ces perpendiculaires. Le gradin est nul, ainsi que l'apothème; le rayon est la moitié du segment précité.

L'angle à ITimc est neutre, et un simple demi-tour, exécuté autour d'une âme quelconque, produit une réapplication graduelle.

Cette exception mise à part, voici les particularités des lignes de deuxième espèce.

I. Toute ligne de cette sorte . . .KLMNO. . . (fig. 105) est plane, comme nous l'avons dit, parce que, par rapport à leur côté commun, deux triangles élémentaires consécutifs sont dans des demi-plans qui se confondent toujours. Pour une cause analogue à celle entrant en jeu dans un zigzag (430, I), la réapplication indéfinie de la ligne sur elle-même est encore assurée par l'application mutuelle de deux triangles élémentaires quelconques, d'où l'existence d'axes des deux classes, tous évidemment situés dans le plan de la ligne. Mais ici, de simples glissements sur ce plan suffisent à toutes les réapplications, parce que deux triangles élémentaires consécutifs, deux quelconques par suite, sont toujours en homotaxie plane, ce dont on s'assurera facilement.

II. Comme nous l'avons vu implicitement au n" 429, II (in fine), deux axes alliés, tous par suite, se coupent en un point 12 intérieur à chaque angle de la ligne, et dit le centre de celle-ci ; l'âme, leur perpendiculaire commune, est donc la perpendiculaire élevée par le centre i> sur le plan de la ligne. Le gradin est nul, et nous constaterons que la ligne est toujours enchevêtrée (Chap. XXI, inf.).

Tous les rayons ..., LQ, Mii, ..., tous les apothèmes ..., [lnn]Çl, [mn]ïi, . . . concourent au centre 12. Le dièdre à l'âme a pour angle plan celui L12M de deux rayons, ou [lm]il[mn] de deux apothèmes consécutifs, que l'on nomme Vangle au centre de la ligne, et dont cette dernière propriété fait le supplément de l'angle M de celle-ci (191).

Ici, une réapplication graduelle comporte une translation d'amplitude nulle, une rotation d'amplitude égale à l'angle au centre.

432. Pour la droite indéfiniment jalonnée par des points consécutifs équidistants, à laquelle se réduit une ligne de troisième espèce (426, 111), les axes des deux classes sont les deux groupes formés par des perpendiculaires élevées sur elle aux sommets d'abord, aux milieux des cotés ensuite.

Pour âme, on peut prendre cette droite et aussi bien toute parallèle. Le gradin est la longueur du côté.

La rotation comportée par une réapplication graduelle est indéterminée pour la première âme, nulle ou multiple du dièdre replet, pour toute autre.

433. Une ligne brisée indéfinie . . .KLMXO est régulière, quand elle est susceptible d'une réapplication graduelle.

JONCTION OK j EN j, DES SOMM. d'uNE L. BIUSKI: HÉGLT,. 223

Car celle possibilité entraîne sur le champ les égalités in<léfinies

. . . = KL = LM = MN = XO = . . . , . . . -— KLM = LMN = MNO = . . . , . . . = KLMN = LMNO = . . . .

434. On joint de j en J les sommets d'une ligne brisée indéfinie, en les numérotant 0, 1, 2, 3, . . . à partir de l'un d'eux, dans un sens de la ligne, en joignant ensuite chacun de ceux numérotés (),;, '2j,^j, ... au suivant dans ce groupe, puis eu recommençant la même opération dans l'autre sens.

En opérant (tinsi sur une tic/ne l)risce rcf/nlière, on en oblien! une autre de même âme, de même rayon par suite. Son gradin est égal à j fois celui de la première.

Son dièdre ci l'àme, si m représente celui de la première, est le moindre des écarts existant entre jo) et les deux mulliplcs entiers consécutifs du dièdre replet qui comprennent j\<).

Il est évident, en ciTet, que j réapplications graduelles de b ligne primitive exécutées dans un même sens, en ])rocurcnt une pour la nouvelle ligne (433).

L'identité des âmes est assurée par le fait que les axes (ii* première classe de la ligne proposée, dont les origines sont les sommets . . ., H, S, ... de la ligne dérivée, appartiennent encore à celle-ci au môme titre, et par cet autre, que, de première classe ou de seconde, selon la parité ou l'imparité de j, l'axe de la proposée équidistant de [H] et de [S] dans la suite (3) csl un axe de deuxième classe pour la ligne dérivée. La dernière partie de l'énoncé est évidente, l'écart en question étant le dièdre saillant qui a pour faces deux demi-plans menés de l'àm.'^ à deux sommets consécutifs de la nouvelle ligne.

435, Deux lignes brisées régulières gauches £,, ii.^, sont inversement égales, quand il en est ainsi pour leurs tétraèdres élémentaires Ç, , ^2-

Ces mêmes lignes sont semblables, directement ou inversement, quand leurs angles et leurs dièdres ont les mêmes valeurs.

Si elles sont planes et d'une même espèce, elles sont toujours égales quand leurs triangles élémentaires sont égaux, toujours semblables quand leurs angles sont égaux.

l. Soient £', la ligne brisée, évidemment régulière, que l'on obtient en construisant la symétrique de £, par rapport à un centre quelconque (406), et S', son tétraèdre élémentaire. Les tétraèdres S.2, Ç', étant en égalité directe, parce qu'ils sont inversement égaux à Ç,, l'un par hypothèse, l'autre par construction, les lignes correspondantes Xj, X', sont égales, directement aussi (427, III),

224 FIGURES SYMÉTRIQUhS.

II. Si les côtés des lignes étaient égaux aussi, leurs tclracdrcs élémentaires seraient évidemment égaux, soit dircclemcnl, soit inversement (371), (372), (408).

III. La dernière partie de notre théorème a lieu parce que les triangles élémentaires des deux lignes régulières sont toujours isoscéles, équiangles par suite, quand leurs angles au sommet sont égaux, égaux entre eux, même de deux manières, quand leurs côtés égaux ont la même valeur, et que, en outre, dans le cas où elles sont planes, la superposition de deux triangles élémentaires entraîne toujours celle des lignes entières.

En cas d'égalité dans un plan commun, la superposition des lignes peut toujours être obtenue par glissement sur ce plan, cela même d'une infinité de manières.

La variété gauche des lignes brisées régulières se rencontre dans quelques questions théoriques {V. Additions, inf.) et aussi dans le tracé des escaliers à vis. Parmi leurs variétés planes, certains polvgones réguliers (Chap. XXI, inf.) ont aussi des applications pratiques, et jouent un grand rôle en Cristallographie.

Les mêmes variétés, y compris le zigzag, fournissent une foule de motifs aux arts décoratifs.