CAS DE SYMÉTRIE ABSOLUE D'UNE FIGURE

avec a en un même point O, ou bien sera étranger à cette droite. Nous nommerons encore m, m' deux points associés quelconques de la figure.

I. Dans le premier cas, soit m, le symétrique de m par rapport au point O. Les figures ni'a'b'O, m^a'b'O, toutes deux inversement égales à la même mabO, la première parce qu'elle lui est associée, la seconde parce qu'elle lui est symétrique par rapport au centre O, sont égales entre elles ; même elles coïncident, parce que trois points de l'une sont superposés à leurs homologues dans l'autre, en a', h' , O non en ligne droite (34) ; m', en particulier, se confond avec m, comme il fallait le prouver.

II. Dans le second cas, on verra, comme au no 423, que la droite a,î est perpendiculaire sur aa' en a.

Par cette droite on mènera un plan 'P perpendiculaire sur cm' , puis, avec m' associé de m, et m^ son symétrique par rapport à Cf plan, on formera les figures m'a'ii, niiu'otfi, qui toutes deux sont inversement égales à ma-xi, associée de la première, symétrique de la seconde par rapport au plan '-!?, qui, par suite, sont mutuellement égales.

Les points a' , a, /î n'étant pas en ligne droite, on en conclura comme ci-dessus, que m' associé de m est bien son symétrique par rapport au plan y.\

425. Les théorèmes des n^s 417, 420 assignent des cas évidents, dans lesquels deux symétries absolues d'une figure en entraînent une troisième.

Lignes brisées régulières.

426. Nous rapprochons cette question particulière, des théories générales qui précèdent, parce qu'elles aident beaucoup à la traiter.

Une ligne brisée indéfinie dans ses deux sens, c'est-à-dire dont les côtés sont en nombre illimité, et chacun toujours contigu à deux autres, est régulière, quand tous ses côtés sont égaux entre eux, ainsi que ses angles rectilignes ou dièdres, les uns et les autres non rentrants, quand, en outre, deux dièdres consécutifs, dans le cas où ils sont saillants, tombent toujours de part et d'autre du même plan où chacun à une face (205 el siiiv.}.

Nous appellerons côté, angle, dièdre, d'une ligne brisée régulière, les valeurs ainsi communes de tous ses côtés, de tous ses angles rectilignes, de tous ses dièdres, et, en supposant essentiellement le côté non nul (sans quoi toute la figure dégénérerait en un point), nous distinguerons, dans les lignes de ce genre, trois espèces ayant les caractéristiques suivantes.

I. L'angle rectiligne est saillant, le dièdre n'est pas nul. On remarquera qu'alors la ligne est gauche quand le dièdre est saillant, qu'elle est plane, mais non rectiligne, quand il est neutre.

II. L'angle n'est pas neutre, le dièdre est nul. La ligne est toujours plane, mais non rectiligne, quand l'angle n'est pas nul. Dans le cas contraire, son dièdre est indéterminé, et elle dégénère en un même segment pris indéfiniment dans ses deux sens, alternativement ; pour sommets distincts, elle n'a que les deux extrémités de ce segment, et nous lui donnerons le nom de bilatère.

III. L'angle est neutre. Le dièdre est encore indéterminé, et la ligne est plane, même rectiligne, se composant d'une suite doublement illimitée de segments égaux, juxtaposés extérieurement sur une même droite.

427. Jusqu'au n° 430 (inf.), nous parlerons seulement des lignes de la première variété dans la première espèce (426, I) ; nous les dirons gauches, parce qu'elles le sont à l'exclusion de toutes autres, et nous mentionnerons d'abord ces conséquences évidentes de leur définition.

I. Trois sommets consécutifs quelconques A, B, C appartiennent à un triangle ABC qui est toujours déchevètré et isoscèle, égal en conséquence à tout autre triangle analogue PQR, même noté RQP (237).

Nous dirons élémentaires ces triangles isoscèles égaux, principaux en outre pour chacun d'eux, ses deux côtés appartenant à la ligne, et son sommet où ceux-ci se soudent. Deux d'entre eux sont consécutifs, quand ils ont un côté principal commun.

II. Quatre sommets consécutifs A, B, C, D appartiennent à un tétraèdre déchevètré ABCD, qui est encore égal à lui-même, noté DCBA. Et deux tétraèdres quelconques de ce genre ABCD, PQRS sont égaux entre eux, même quand on change la notation du second en SRQP.

1° Le tétraèdre ABCD est homotaxique à lui-même noté DCBA (370, II) ; ces deux tétraèdres ont leurs dièdres ABCD et DCBA égaux à celui de la ligne (même en état de superposition), compris en outre entre les faces CBA, BCD et BCD, CBA toutes égales entre elles comme triangles élémentaires ; ils sont donc égaux (371, IIIj.

2° S'il est possible de parcourir la ligne dans un sens tel, que ies' sommets considérés se rencontrent dans l'ordre ... ABCD ... . . PQRS ..., soit E le sommet rencontré immédiatement après D. Le tétraèdre ABCD étant antitaxique à EBCD parce que leurs sommets homologues A, E tombent de part et d'autre de leur face commune BCD (426), il est homotaxique à BCDE (370, I), cette notation se déduisant de EBCD par

LIGNES BHISLKS HÉGCLIÈRES GAUCHES. 217

les trois permutations de la lettre E avec B, C, D, successivement. On a donc ABCI) =;: BCDF, puis([uc ces tétraèdres ont leurs dièdres BC et CD égaux tous deux à celui de la ligne, avec égalité indistincte de toutes les faces ([ui les comprennent, savoir les triangles élémentaires ABC, BCD et BCD, CUE (371, III).

On trouvera de même BCDE = CDEF = DEFG = . . . = PQBS, d'où ABCD = PQRS.

30 On a enfin ABCD= SRQP, parce que PQRS est égal à luimême, noté SRQP (1°).

Nous dirons encore élémentaire tout tétraèdre tel que ABCD, principaux en outre, son dièdre BG et les faces égales ABC, BCD qui le comprennent.

Deux tétraèdres élémentaires sont consécutifs, quand ils ont, comme ABCD, BCDE, une face principale commune BCD. Ils sont alors contigus, mais toujours extérieurement à cause de l'antitaxie existant entre eux, notés ABCD, EBCD (2°).

III. Deux lignes de la variété considérée, dont les tétraèdres élémentaires sont égaux, sont mises en coïncidence par toute application mutuelle de deux quelconques A,B,Ci, A2B.2C.2 de leurs triangles élémentaires.

En parcourant ces deux lignes dans les sens . . . AiB,C, . . . et ...A.,B.,C.2 ..., soient D,, E,, F,, . , . et D2, E.^, F,, . . ., les sommets successivement rencontrés après ceux-ci. Les tétraèdres élémentaires A,B,C,D,, A.,B./1,D., se superposent, parce qu'ils sont supposés égaux et que les trois sommets A^ B,, C, de l'un, non en ligne droite, s'appliquent respectivement sur leurs homologues A.j, B.^, C.^ dans l'autre ; d'où la superposition de D, à Do, puis celle de E, à E.^ parce que les tétraèdres B,C,D,Ei, B.^C^D^E.,, respectivement égaux aux précédents (II), ont leurs faces i3,C,D,, B.^C.^D., appliquées l'une sur l'autre, puis celle de F, à F., pour une cause semblable, ... ; et ainsi de suite, indéfiniment.

En prenant sur les deux lignes, deux suites quelconques de sommets consécutifs en nombres égaux, et se succédant dans des sens quelconques, il est évident ainsi, qu'on peut toujours les superposer l'une à l'autre, et les deux lignes tout entières en même temps.