CHAPITRE XIII

GÉNÉRALITl^S SUU LKS FIGURES COURBES.

Nolions prc'liininaires sur les variantes.

436. La propriété relative de toutes les droites et de tous les plans, de pouvoir indéfinimc.it s'appliquer et glisser les uns sur les autres, celle connexe des segments rectilignes, angles plans et dièdres, ..., de pouvoir (avec une approximation indéfinie tout au moins) se diviser en parties toutes superposables, sont les .faits essentiels qui ont rendu possible l'édification des théories que nous quittons. Mais, chez les lignes et surfaces courbes (449 et siiiu., inf.), ces propriétés n'existent plus qu'à titre tout ù Tait exceptionnel, dans des circonstances excessivement rares et précaires, et, pour étudier ces figures, on a été conduit à les comparer à celles imjjliquant exclusivement des droites et des plans, d'où leur com|)araison mulucilc ])ar voie

IDEE DE LA METHODE DES LIMITES. Il-)

indirecte. Ceci exige l'emploi continuel de la Mélhode des limiles, nécessité qui semble rendre avantageux le rapprochement des généralités rassemblées dans le présent chapitre.

Nous conmicnccrons donc par une courte digression exposant les principes de celte méthode, les rappelant au moins ; mais les questions de ce genre appartiennent aux parties les pkis élevées de la science mathématique, et nous ne pouvons que les et'llcurcr ; nous supprimerons même les démonstrations de la plupart des propositions fondamentales, parce que les moyens dont la Géométrie élémentaire dispose sont impuissants à les procurer convenables <".

Avant d'entrer en matière, faisons un retour en arriére pour signaler un point de doctrine parfois méconnu, savoir la nécessité de rinteruenlioii de la mélhode des limiles, même dans la théorie des figures comporlanl exclusivement des droites et des plans.

Les traditions classiques doivent la subir ouvertement dans la mesure des volumes polyédriques (équivalence de deux tétraèdres ayant des bases équivalentes et des hauteurs égales) ; mais, si elle est dissimulée dans la mesure des aires planes polygonales, elle n'en est pas moins absolue là encore, car tout y est dominé, comme le surplus, par la théorie des segments rectilignes (Chap. IV), cl quand deux segments sont incommensurables (le cas contraire est une exception), leur rapport est impossible à concevoir autrement que comme une limite (128, 111).

437. A la considération, très fréquente en Mathématiques, d'une suite de quantités d'une origine commune, qui sont données en nombre illimité et dans un ordre de succession déterminé

il est avantageux de substituer la conception d'une quantité y„„ unique par sa nature, mais qui n'est pas fixe dans sa valeur et varie de manière à devenir successivement égale aux termes de la suite (1). Une quantité variable telle que y,„, est ce que nous nommerons souvent une variante, et le nombre entier m, auquel il suffit de donner l'une des valeurs 1, 2, 3, . . . pour indiquer celle des valeurs particulières (1) de la variante que l'on entend considcrei-, est son indice.

(1) A plus forte raison ne fcrai-jc aucune allusion aux aperçus sur lesquels, selon moi, cette théorie, à commencer par celle des nombres incommensurables, doit être appuyée peur se tenir tout à fait debout. Ce sont ceux dont j'ai repris l'exposition dans mes Leçons r.oiwellei sur l'Analyse infinitésimale et ses applications géométrique;.

La variante considérée jouit de telle ou telle propriété à partir d'une valeur donnée a de son indice, quand cette propriété appartient à tout terme de la suite (1), dont l'indice est égal ou supérieur à p..

Elle finit par jouir d'une certaine propriété, quand on peut assigner à son indice quelque valeur particulière p., à partir de laquelle la propriété en question appartient à la variante.

A la succession des termes de la progression géométrique

1 /i\- /IV

correspond par exemple une variante y„, dont la valeur générale, exprimée au moyen de l'indice m, est 1 :2'"; à partir de \j- ~ 10, elle jouit en fait de la propriété exprimée par l'inégalité y,„ < 1 : 2'^, et si q est un entier arbitrairement choisi, la même variante finit certainement par jouir de la propriété consistant à être < 1 : 2«.

438. Quand une quantité variable, une variante en particulier, est constamment inférieure à quelque quantité invariable <I), cas auquel on la nomme habituellement finie, nous dirons souvent qu'elle est maximée, en ajoutant, s'il y a lieu de préciser, par cette quantité $ qu'alors nous nommerons pour elle un maximètre.

Si elle reste supérieure à une quantité invariable f 9^0, nous la dirons de même minimée par le minimètre .p.

439. Une variante est infiniment petite quand elle finit (437) par demeurer inférieure à une quantité (invariable) co, si petite que celle-ci ait été choisie, c'est-à-dire quand elle finit par être maximée par une quantité quelconque (438) ; telle est évidemment 1 : 2'" par exemple.

Une variante tend vers la limite V, quand V est une quantité invariable telle, que la différence entre y,„ et V, qui est évidemment une nouvelle variante, est infiniment petite.

Il est évident, par exemple, qu'une variante infiniment petite quelconque tend vers la limite 0, que la variante 53 — (1 : 2)"' tend vers la limite 53, puisque la différence 53 — [53 — (1 : 2)"'] = (1 : 2)'" est une variante infiniment petite.

Quand une variante tend vers une limite, elle est finie ; en outre, on peut toujours lui assigner quelque minimétre si cette limite n'est pas 0. Les démonstrations peuvent être omises tant elles sont faciles.