Les variantes pourvues de limites sont de beaucoup les

QUANTITKS INFINIMENT PETITKS, ETC. 22/

plus inlércssantcs, et voici, soiumairement démontrées, quelques propositions les concernant, dont nous aurons besoin.

I. Une somme ou différence des produits de quanlités infiniment petites par des quantités, soit invariables, soit variables mais alors finies, est infiniment petite.

Et de même, pour le quotient d'une quantité infiniment petite par une quantité invariable, ou bien variable mais alors minimable.

C'est à peu près évident.

II. Si les variantes u, v (pour plus de simplicité, nous n'écrirons plus les indices) tendent vers les limites U, V, leur somme u -{- V, leur différence u — v (qui sont de nouvelles variantes) ont pour limites U + V, U — V, somme et différence aussi de leurs limites.

Car, en valeur absolue, les différences (U -f V) — (u -f v), (U — V) — (u — V) restent inférieures à la somme des valeurs absolues des différences U — u, V — v, lesquelles sont toutes deux infiniment petites par hypothèse (I).

Et de même, évidemment, pour le résultat u = v ± w ± ... de la combinaison par voie d'addition et de soustraction, de variantes u, v, w, ... en nombre quelconque, tendant vers U, V, W, . . . respectivement ; cette nouvelle variante a toujours pour limite U ± V dz Wrt . . ., résultat des mêmes additions et soustractions exécutées sur les limites de u, v, w, . . .

III. Le produit uv a le produit correspondant UV pour limite. Car on peut écrire

UV — uv = {V — u)v + (V — v)u + (U — U) (V — V) ,

somme dont chaque terme est le produit d'un facteur infiniment petit par un autre pourvu d'une limite, partant maximable (439), (I).

IV. Le quotient u : v a le quotient correspondant U : V^ pour limite, mais à condition que V, limite du diviseur, ne soit pas = 0.

Car on a

quotient par un diviseur minimable, d'un dividende qui est infiniment petit comme tout à l'heure (III;.

441. Parmi les variantes dépourvues de limites, il y a plus particulièrement à remarquer celles que toute quantité donnée, si grande qu'elle soit, finit par minimer, c'est-à-dire qui finissent par demeurer supérieures à une quantité quelconque. On les dit infinies, et aucune quantité ne peut les maximer. Telle est, par exemple, celle dont les valeurs successives sont les termes

d'une progression croissante, soit géométrique, soit arillimctique.

lî est évident que l'inverse arithmétique d'une quantité infiniment petite est infinie, que l'inverse d'une quantité infinie est infiniment petite.

Variantes géométriques.

442. Un corps matériel qui se déforme (morceau de cire ou de caoutclaouc, ressort, etc.), qui même simplement se déplace, nous offre en réalité plusieurs figures géométriques se présentant successivement à notre attention ; mais, pour ne pas masquer dans le langage la communauté d'origine qui unifie l'ensemble de ces figures, il y a intérêt à concevoir que l'on se trouve en présence d'une seule figure qui varie.

Quand une figure variable passe par plusieurs états de forme ou de position, déterminés chacun, ainsi que leur ordre de succession, on peut la nommer une variante géométrique {Cf. 437).

443. S'il s'agit de figures similaires (segments rectilignes, ou angles plans, ou angles dièdres, . . ., ou aires planes polygonales, ou ..,) donnant prise à la notion de mesure, par cela même on sait forcément en quoi consiste, pour une de ces grandeurs, le fait d'être plus petite qu'une autre, ou plus grande ; de là résulte immédiatement l'extension des définitions des n"' 438 et suivants, à une semblable variante de toute espèce donnée.

Selon qu'une variante géométrique est infiniment petite, tend vers une limite ou est infinie, le nombre qui la mesure est simultanément infiniment petit, tend vers la mesure de la limite de la variante ou bien est infinie.

443 bis. A ce propos, les points suivants s'établiront sans difficulté.

I. Quand un angle est infiniment petit, son sinus et sa tangente le sont tous deux, son cosinus tend vers 1, sa cotangente est infinie ; et réciproquement (241, V, VI), {Ibid. II, S'^), (242).

II. Pour une figure limitée (289), nous appellerons maximension absolue la plus grande longueur des segments dont les extrémités appartiennent à la figure, et maximension mesurée parallèlement à une droite donnée, la plus grande longueur des segments de ce genre qui sont parallèles à cette droite.

Cela posé, une aire plane variable est infiniment petite quand ses maximensions respectivement parallèles à deux droites fixes %, 'y. qui ne le sont pas mutuellement, sont, l'une infiniment petite, l'autre finie.

1° S'il s'agit d'un parallélogramme dont les côtés sont parai-

Fir.UURS VAHIABLIiS, E\ OKNÉU.VL. 229

Icles à deux droites fixes %, ^j- {fig. 106) faisant un angle aigu 0, et ont des longueurs x, ij, toutes deux infiniment petites, deux points intérieurs (juelconques m, n et l'intersection / des parallèles menées par eux à ces droites sont les sommets d'un triangle min où l'on a /m<x, m <// et ni/r = f7n' -|- //frir 2//72.//i.cos 0, selon que son angle en i est oblus ou aigu (224), (244).

La distance tic ces deux points est donc infiniment petite, parce que im, in le sont tous deux et que cos 0 est un nombre constant. Il en résulte que le parallélogramme finit par pouvoir être placé de manière à avoir ses points intérieurs tous intérieurs aussi à une aire invariable quelconque, par avoir, en conséquence, une aire inférieure à toute autre invariable ; en d'autres termes, son aire est infiniment petite.

2° S'il s'agit d'un parallélogramme ainsi orienté, dont le côté parallèle à % reste inférieur à une longueur fixe a et dont l'autre y soit infiniment petit, son aire sera évidemment inférieure à celle d'un parallélogramme du même genre ayant pour côtés a et y, et ce dernier (ftg. 107) est infiniment petit.

Car le plus grand nombre entier n dont le carré ne surpasse pas le rapport infini a : y, est évidemment infini aussi, et l'inégalité

qui le caractérise, donne

nu <- ^ = /i

montrant que la quantité ny est infiniment petite, comme a : n. Le parallélogramme du genre considéré, dont les côtés sont a : n et ny, est donc infiniment petit (lo) ; or il est équivalent au proposé parce qu'on peut l'obtenir en divisant ce dernier, par des parallèles à 1), en n parties égales, puis en juxtaposant celles-ci d'une autre manière. (Le tracé de notre figure suppose n = 3.)

3° L'exactitude de notre énoncé est maintenant constatée, car l'aire variable à laquelle il s'applique peut toujours être placée de manière que ses points intérieurs soient tous intérieurs aussi à quelque parallélogramme variable du genre considéré ci-dessus (2°).

III. A pins forte raison, nne aire plane esl infiniment petite quand sa maximension absolue est telle.

IV. Un volume variable est infiniment petit quand ses maximensiens, respectivement parallèles à trois droites qui ne le sont pas à un même plan, sont, l'une infiniment petite, les deux autres finies, et, à plus forte raison, quand sa maximension absolue est infini-

ment petite. Même raisonnement fondé sur la considération de parallélépipèdes évidents.

444., La plus simple des figures variables non mesurables, est constituée par un point unique m qui se déplace.

Quand il existe un point fixe M tel, que la distance variable Mm de ces deux points est infiniment petite, on dit que M est la posilion-limite de m.

Quand le déplacement progressif de m est tel, que la distance de ce point à quelque point fixe A soit infinie (441), on aperçoit immédiatement qu'il en est de même pour sa distance à tout autre point fixe B, et on dit que ce point m s'éloigne à l'infini.

445. Une figure variable quelconque / étant donnée, s'il existe une figure F, invariable de position comme de forme, telle que F contienne la position-limite M de tout point mobile m pris dans / de manière à en avoir une, telle aussi que tout point fixe N pris sur F soit la position-limite de quelque point mobile n choisi convenablement dans /, on dit que la figure fixe F est la position-limite de la figure variable /.

Quand tout point pris sur / s'éloigne à l'infini (444), on dit que cette figure s'en va elle-même à l'infini.

446. Les figures variables que nous venons de mentionner jouissent de certaines propriétés communes dont la démonstration générale n'est pas difficile, mais s'opère par des moj^cns qui sont au-dessus de nos ressources. Nous nous contenterons donc d'énoncer les suivantes dont on fait un grand usage; le lecteur pourra constater leur exactitude dans tous les cas particuliers accessibles à ses investigations.

L Quand, dans une figure variable f douce d'une posilion-limile F, une quantité v variable aussi {segment, angle, . . .) est pourvue d'une limite V et ne dépend que de points m, n, ... ayant tous des positions-limites M, X, ..., la quantité-limite V dépend de la même manière des points-limites M, N, ...

Par exemple, si un triangle variable mnp, a pour positionlimite un triangle fixe MXP (déchevètré), les côtés np, pm, mn du premier, ses angles m, n, p, ont certainement pour limites les côtés et angles XP, PM, MX, M, X, P du second.

IL Si, dans une figure variable f, des points mobiles m, n, ... et des quantités variables u, v, ... sont en nombre et de natures telles, qu'à chaque instant la connaissance de leurs positions et valeurs détermine complètement l'état contemporain de cette figure, et si ces points et quantités ont tous des positions-limites M, X, ... et des valeurs-limites U, V, ... déterminant cmssi une figure F du même genre, cette figure F est la position-limite de /.

Par exemple, quand deux points mobiles m, n sont toujours distincts et ont pour positions-limites deux points fixes

POSiTiox-LiMiTr-: d'uni-: figuui-: vaiuable. 231

M, N, dislincls aussi, la droite ni()l)ile nui est sans cesse déterminée cl la droite MX l'est aussi. La proposition énoncée affirme que cette dernière droite est la position-limite de la droite mobile. Mais les choses pourraient se passer tout autrement si, par hasard, les points M, N se confondaient.

De même, le plan mnp, déterminé par trois points mobiles m, n, p ayant pour positions-limites trois points fixes M, N, P non en ligne droite, a pour position-limite le plan MNP qui passe par ces derniers.

Etc.

447. Dans les questions de ce genre, les quantités infinies (441), les points et autres figures s'en allant à l'infini (444), (445) jouent souvent des rôles fort utiles sur lesquels nous ne pouvons insister. Nous en fournirons toutefois l'exemple suivant qui est particulièrement simple et intéressant.

Quand nn point m (fig. 108) s'éloigne à l'infini sur une droite fixe AB, la droite mobile Im Joignant ce point à un autre fixe I (non situé sur AB), a pour position-limite la droite CID menée par l parallèlement à AB.

Pour fixer les idées, nous supposerons que le mouvement du point m s'efTectue dans un sens constant AB, puis nous couperons les droites })arallèles CID, AB, en N, P par quelque sécante fixe NP, telle que N soit distinct de I et que les directions IN et AB soient identiques.

La droite mobile Im, qui ne sort jamais du plan ABCD, finira, dès que la direction P/n demeurera identique à AB, par couper le segment NP en un point intérieur n, donnant les deux triangles INn, mPn qui sont équiangles parce que leurs angles en I, m sont alternes-internes, ceux aussi en N, P.

De la proportion existant entre leurs côtés homologues,

on tire immédiatement

d'où

■ment

N/J Pn