NI.NP

NI -h Pm

quotient d'une quantité constante NI.NP divisée par la somme NI + Pm, et cette somme est une variante infinie parce que son second terme Pm est tel par hypothèse, son premier terme NI étant constant.

Le segment N/j est donc infiniment petit (441), et le point /;

a N pour position-limite. Ce point n déterminant sans cesse la position de la droite mobile him, N déterminant aussi celle de la droite fixe GIND, puisqu'il a été pris distinct de I, la première droite a bien la seconde pour position -limite (446, II).

Ici, en outre, la demi-droite mobile Im a pour positionlimite, la demi-droite ID direclement parallèle à la direction AB.

On raisonnera d'une manière analogue dans les diverses hj'pothèses pouvant être faites sur la manière dont le point m s'éloigne à l'infini.

448. Le fait ci-dessus et d'autres analogues, font employer souvent dans la Géométrie plus élevée, la locution consistant à dire que deu.x droites, ou bien une droite et un plan, ou bien deux plans, se coupent à l'infini, quand ils sont parallèles. Au propre, elle serait dénuée de sens parce que de pareilles figures ne se rencontrent pas (42), (47), (56), que, d'autre part, le mot « infini » s'applique essentiellement à certains modes de variation (441), (444), (445), nullement à des objets déterminés comme une quantité, un point, une droite. Mais, dans ce sens figuré résultant de la convention tacite qui le lui a donné, elle n'en est pas moins extrêmement commode, parce que son emploi permet d'uniformiser le langage, de lui donner, dans tous les cas, le tour plus pittoresque et plus simple dont il est susceptible quand les intersections de ces figures existent, tour qu'ii perdrait autrement quand elles disparaissent.

Grâce à cet artifice, rfe portée purement linguistique, la formule deux droites situées dans un même plan se coupent toujours renfermera, par exemple, dans un seul énoncé, dont l'exactitude est assurée, tantôt par la réalité des choses, tantôt par une convention expresse (mais peu importe, pourvu que l'on ne cesse pas de s'entendre), ces deux alternatives, que forcément, de pareilles droites sont, soit concourantes, soit parallèles.

A cet avantage, s'ajoute celui de pouvoir, dans le langage tout au moins, et quoique fictivement, conserver à beaucoup de quantités ou figures variables les limites ou positions-limites qu'elles ne perdent que dans des cas exceptionnels.

Des observations toutes semblables expliquent le véritable sens de locutions figurées très nombreuses, qui se rencontrent dans toutes les parties des Mathématiques.

Lignes courbes en général.

449. Tout ce qu'on peut dire pour spécifier les lignes et les surfaces courbes (les premières portant aussi le simple nom de courbes), c'est qu'elles ne peuvent contenir tous les points, les premières, d'aucun segment rectiligne (non nul), les secondes, d'aucune région de plan (ne dégénérant pas en un assemblage de points ou lignes).

A toutes les lignes ot suriaccs courbes susceptibles de défini-

TANGHNTI-: A UNF- LIGM-, COUHBi;. 233

lions mathématiques, les théories générales assignent des propriétés innombrables qui deviennent aléatoires, cessent mcnie souvent d'exister, en certains points exceptionnels que, pour cette raison, on nomme singuliers; mais ces propriétés subsistent en tous leurs autres points dils ordinaires par opposition. Nous devons nous contenter de cette simple allusion faite à une distinction qui est capitale dans les parties élevées de la Géométrie, et de dire que nous supposerons lacilenienl l'absence de tout point singulier sur les portions de lignes et de surfaces dont nous parlerons. D'ailleurs, il n'en existe aucun sur la droite, sur le plan, ni sur les lignes et surfaces courbes que nous avons à étudier, sauf toutefois pour un côn^, en son sommet (Chap. XV, inf.).

Tout point ordinaire d'une ligne ou d'une surface appartient à quelque région continue de cette figure (290).

450. Par chaque point (ordinaire) M (fig. 109) d'une courbe AMB, passe une droite unique MT jouissant de la propriété de se confondre avec la courbe, dans le voisinage de ce point, moins imparfaitement que toute autre droite. Cette droite dont l'importance est capitale, se nonune la tangente à la courbe au point M, et celui-ci est son point de contact.

On démontre ailleurs, que la tangente en M est la position-limite (445) de toute droite mobile m' m" , passant par deux points m', m" qui se rapprochent indéfiniment de M sur la courbe, c'est-à-dire qui s'y meuvent de manière à avoir tous deux M pour position-limite.

Cette propriété autorise à considérer une tangente comme une sécante dont deux intersections avec la courbe sont confondus au point de contact, conception très utile à l'intelligence de faits géométriques nombreux.

Rien ne s'opposant à ce que l'un des points /?7', m" demeure fixe en M, la tangente est tout aussi bien la position-limite d'une droite mobile passant sans cesse par M et par un autre point m' de la courbe, mobile mais infniment voisin de M.

451. D'après cela, toute droite D est, à elle-même, sa propre tangente en l'un quelconque M de ses points. Car la droite m'm" se confondant sans cesse avec D ne peut avoir que celle-ci pour position-limite.

La tangente à une courbe plane est située tout entière dans le plan de celle-ci. Car la droite mobile m'm" ne fait que se mouvoir dans ce plan et, par suite, y a forcément sa positionlimite.

452. Tous lès plans menés par une même tangente à une courbe sont dits tangents aussi à cette dernière, au point de contact M de la tangente considérée.

De ces plans tangents en nombre illimité, l'un qui est unique

contient moins imparfaitement que tous les autres, la région de la courbe qui est extrêmement voisine de M ; c'est le plan oscillateur de celle-ci en M, et on prouve qu'il est la positionlimite d'un plan mobile passant par trois points quelconques m', m", m'" infiniment voisins de M sur la ligne.

En un point quelconque d'une courbe plane, le plan osculateur se confond évidemment avec le plan même de celle-ci. Pour une droite, il est indéterminé, pouvant être pris à volonté parmi ses plans tangents qui, tous, la contiennent entièrement.

453. En tout point M d'une ligne, prenant alors le nom de pied, on dit normal le plan perpendiculaire en M à la tangente en ce point, et normale, toute droite perpendiculaire sur la tangente au même point.

Ces normales, en nombre illimité, ont ainsi pour lieu le plan normal de même pied. On nomme principale, celle d'entre elles qui est située dans le plan osculateur (452).

Pour une courbe plane, la normale principale est ainsi celle que l'on peut tracer dans son plan même ; on la nomme sa normale tout court, dans les cas très fréquents où l'on n'a rien à considérer en dehors de ce plan. Pour une droite, cette distinction n'est plus possible, ou, si on le v,eut, toutes les normales sont principales.

454. En envisageant comme une seule ligne l'ensemble des côtés d'un angle rectiligne AMB (fig. 110), le sommet M de cet angle fournit l'exemple le plus simple d'un point singulier (449). Car si les points m , m" se rapprochent indéfiniment de M sur les côtés de l'angle, de manière que le rapport des segments Mm', Mm", conserve une valeur constante p, la droite m'm" restera parallèle à quelque droite fixe (146) et, par suite, aura pour position-limite la droite Ma menée par M parallèlement à cette direction fixe. Mais, pour une autre valeur p du rapport considéré, la droite mobile aura une autre position-limite Mixj, et même elle peut n'en avoir aucune, si les points mobiles 77j' m' ont été choisis dans d'autres conditions. En ce point M, la ligne considérée n'a donc pas de tangente, puisque la droite passant par deux points infiniment voisins de celui-ci sur la ligne n'a pas une position-limite unique, et on se trouve en présence d'un point singulier, parce que l'existence de la tangente est une propriété essentielle des points ordinaires.

455. Plusieurs propositions dont la démonstration n'est pas possible ici, nous sont cependant nécessaires pour l'acquisition de notions très importantes.

I. Sur une ligne courbe donnée (sur une droite tout aussi bien), un arc réduit d'extrémités A, B (fig. 111) est une région limitée et continue qui présente les caractères suivants.

1° Il existe une infinité de plans 'J?', 'JP", . . . deux à deux non parallèles, à aucun desquels n'est parallèle la tangente à la ligne menée en un point quelconque de cette région.

AltC d'une LIGNli COUUUli. 2'A7)

2° P'aile parallèlement à l'un quelconque ^' de ces plans et sur un axe queIcon(|ue li' (non parallèle à ce plan), la projection m' d'un point quelconque m de cette région est intérieure au segment A'B' ayant pour extrémités les projections des points A, B.

3" Inversenicnl, tout point m' du segment A'B' est la |)r<)jcction d'un poinl unique m appartenant à la région dont il s'agit