II. Soient

les exlrcmités de ce scymenl, (iccompacjm'cs de points intérieurs quelconques, puis

les points de la région considérée dont les premiers sont les projections, pais enfin

les projections des mêmes points (2), faites parallèlement à tout autre plan '£" du genre de 'X*', sur tout autre axe 11". La disposition topographique relative des points (3) sur l'axe il' est toujours identique à celle de leurs correspondants dans la suite (1) sur la droite il'. (Ceci veut dire que si, par exemple, q' est intérieur au segment p'r', q" l'est aussi au segment p"q".)

Par suite, quand un point mobile m' marche sur le segment A'B' dans le sens constant A'B', ou B'A', le point m", deuxième projection du point m dont m' est la première, marche toujours simultanément sur le segnient A"B", dans le sens constant A"B" si c'est le premier cas, ou B"A"sz c'est le second.

III. En conséquence, nous dirons que les points de l'arc réduit AB, autres que ses extrémités, lui sont intérieurs, qu'un point mobile m décrit cet arc dans l'un ou l'autre de ses deux sens constants possibles ou directions, soit AB, soit BA, quand, simultanément ainsi, toutes les projections m', m", ... de m décrivent les segments sur lesquels ils se meuvent, dans les sens constants A'B', A"B", ... ou bien B'A', B"A", . .

De cette extension de la notion de direction à une ligne courbe, dérivent immédiatement celle de la décomposition d'un arc réduit en d'autres extérieurs les uns aux autres, celle de l'état de juxtaposition intérieure ou extérieure de semblables subdivisions, etc. (Cf. 122).

IV. Quand des arcs réduits AM, MN, . . ., PQ, QB se succèdent sur une même ligne, dans des conditions telles, que deux consécutifs aient toujours une extrémité commune sans qu'aucun

autre point de la ligne soit intérieur à tous deux, leur réunion procure une région de la ligne, limitée et continue évidemment encore, que l'on nomme un arc d'extrémités A, B, et à laqiielte s'étendent sur le champ les notions topographiqiies mentionnées à la fin de l'alinéa précédent, pour les arcs réduits.

Inversement, deux points A, B pris arbitrairement sur toute région continue et limitée d'une ligne, sont toujours les extrémités d'un arc composé de ce genre, ce qui fournit la définition et les propriétés topographiques d'un arc quelconque.

La corde d'un arc (réduit ou non) est le segment rectiligne qui joint ses extrémités, et qu'on dit sous-tendre l'arc.

456. Quand sur une ligne, un point mobile m, infiniment voisin d'un point fixe M, se meut tellement, que la direction curviligne allant de iM à 777 soit invariable (455, III), on prouvera bien facilement que la demi-droite mobile M/77 a toujours pour position-limite une même des demi-droites opposées en M sur la tangente. Ceci permet d'identifier la direction curviligne considérée, avec celle de cette demi-tangente.

En conséquence, on nomme ctngle de deux lignes se coupant en M, celui de telles ou telles demi-tangentes menées en M à ces lignes.

Quand cet angle est nul ou neutre, les deux lignes ont, en M, même tangente, mêmes plans tangents par suite ; on dit alors qu'elles y sont tcmgentes, qu'elles y ont un contact.

Quand il est droit, on dit que, en M, les lignes se coupent à angle droit, ou bien encore orthogonalement, normalement (Cf. 453).

457. Une ligne brisée est inscrite dans un arc de courbe, quand elle a pour extrémités celles de l'arc, pour autres sommets, des points quelconques intérieurs à cet arc; celui-ci est alors circonscrit à la ligne. Nous dirons, en outre, que l'inscription est propre, si les divers côtés de la ligne sous-tendent des arcs partiels tous extérieurs les uns aux autres.

458. Un arc quelconque AB (fig. 112) peut toujours être décomposé, cela même d'une infinité de manières, en arcs partiels ALu, u^j-v, . . ., Z'oB extérieurs les uns aux autres et dont les maximensions (443 bis, II) sont toutes inférieures à une même quantité positive £ de petitesse arbitraire.

Si, ensuite, on fait tendre i vers zéro, la ligne brisée Auv. . .zB, alors inscrite proprement, se déforme progressivement, en particulier, parce que la longueur du plus grand de .ses côtés devient une quantité infiniment petite, partant varie, et que le nombre de ceux-ci devient infini (441) ; /77a/6-, de quelque manière que l'on opère, elle a l'arc proposé AB pour position-limite (445) ; en outre,

LONGUEUR U'UN ARC DK LIONt: COUKliK. 237

sa loiu/neiir An f iw -■- . . . + zB, tend vers une certaine limile qui est loujonrs la même.

C'est à cette dernière limite que l'on a donné le nom de lonijueur de l'arc AB. On notera que cette définition serait illusoire, si l'on n'imposait pas à la ligne brisée variable la condition d'être sans cesse inscrite proprement ; car autrement, on pourrait s'arranger de manière que sa longueur tendit vers une limite presque arbitraire, ou bien n'en eut aucune.

On remarquera encore la conformité de ces considérations avec le procédé enqiirique employé vulgairement pour mesurer approximativement la longueur d'une ligne courbe présentée par une cavité matérielle.

459. Le calcul de la longueur d'un arc de courbe est une opération d'un genre assez relevé, exigeant avant tout que la nature de la ligne ait été spécifiée mathématiquement, et nous ne pourrons traiter cette question que pour des arcs de cercle (Chap. XVII, inf.) et d'hélice (Additions).

Mais, dans la proposition qui va suivre, aussi importante qu'elle est vulgaire, n'intervient aucune propriété spécifique des lignes courbes qu'elle peut impliquer.

La figure évidemment continue, que forment des arcs quelconques (même rectilignes en partie) AM, MX, ..., PB ayant chacun une extrémité commune avec celui qui le suit ou le précède dans cette suite, est un chemin curviligne ayant ces arcs pour cô/('s, leurs extrémités A, M, N, ..., P, B pour sommets, les deux libres A, B pour extrémités. La longueur d'un chemin est la somme de celles de ses côtés (458), et si un point mobile décrit successivement ceux-ci dans l'ordre et dans les sens, soit AM, MN, . . ., PB, soit BP, . . ., XM, MA, on dit qu'il décrit le chemin dans le sens, soit rfe A à B, soit de B à A.

Parmi tous les chemins qui ont pour extrémités deux mêmes points donnés A, B, le segment rectiligne AB est celui de moindre longueur.

La longueur d'un chemin quelconque de ce genre AMX. . .PB est évidemment la limite vers laquelle tend celle d'une ligne brisée variable formée par la réunion d'autres à côtés infiniment petits, et proprement inscrites dans les arcs AM, MN, ..., PB (458) ; comme cette ligne brisée conserve A, B pour extrémités, sa longueur surpasse, égale au moins, celle du segment AB (287), et, par suite, sa limite jouit de la même propriété.

Si le chemin considéré ne se confond pas avec le segment AB, il possédera en dehors de lui, quelque point I qui le décomposera en deux parties A...I et I...B donnant par ce qui précède