AMN...PB^ AI + IB

Mais le triangle AIB donne AI + IB > AB (288) ; on a donc bien AMN...PB> AB.

Sans la crainte de quelques longueurs, nous étendrions aux projections orthogonales d'un chemin courbe sur une droite ou sur un plan, les propositions des no^ 286, 332 relatives à celles d'une ligne brisée.

Aire plane limitée par un contour curviligne.

460. Les définitions s'appliquant à une ligne brisée (205 et siiiv.) s'étendent d'elles-mêmes à un chemin curviligne quelconque.

Quand un contour curviligne plan (fermé) est déchevêtré, ABGDEA (fig. 113), on définit et on mesui'e comme il suit l'aire plane qu'il renferme.

I. La soudure de lignes brisées à côtés infiniment petits, tontes inscrites proprement dans les divers côtés du contour curviligne (457), donne un contour polygonal plan variable qui finit par être déchevêtré, auquel, en outre, tout point fixe du plan, non situé sur le contour curviligne, finit par demeurer, soit intérieur, soit extérieur.

Dans ces deux cas respectivement, le point considéré, / ou e, est dit intérieur ou extérieur au contour curviligne.

II. Le contour divise son plan en deux régions continues dont les points lui sont tous intérieurs pour l'une, et tous extérieurs pour Vautre. La seconde est illimitée, mais la première est limitée.

On nomme celle-ci, Vaire plane limitée par le contour.

III. De quelque manière que Von forme le contour polygonal variable défini dans l'alinéa I, la mesure de l'aire, variable aussi, qu'il découpe dans le plan, tend vers une limite qui est toujours la même.

Cette limite est, par définition, la mesure de l'aire plane constituée par l'intérieur du contour curviligne.

IV. A de pareilles aires, le lecteur étendra sur le champ la plupart des notions topographiques et autres qui concernent les aires polygonales (298 et suiv.).

Surfaces courbes en général.

461. Par chaque point (ordinaire) M d'une surface courbe, passe un plan unique qui, dans le voisinage de ce point, se

PLAN TAXGEN'T, ETC. A UN'R SURFACE COUKIiE. 239

confond avec elle plus approxiinativeinent que tout autre; c'est le plan langent à la surface, au point de contact M. Son rôle est tout à fait comparable, par sa nature et sa portée, à celui de la tangente à une courbe (450), dont la propriété mentionnée à la fin du numéro cité, peut lui être étendue dans plus d'un sens, quoique avec certaines restrictions. Mais nous ne pouvons approfondir, et nous devons nous contenter d'énoncer la proposition suivante dont l'importance est très ,t;rande.

Le plan tangent est le lien des tangentes aux diverses lignes que l'on peut tracer sur la surface par son point de contact.

Pour le construire, il suffit ainsi de tracer par le point de contact, deux lignes de la surface qui aient des tangentes distinctes, puis de prendre le plan déterminé par celles-ci.

D'après cela, tout plan est à lui-nième son propre plan tangent en l'un quelconque de ses points {Cf. 451).

462. Une tangente à une surface en un de ses points est une droite quelconque menée dans le plan tangent par ce point, en particulier, toute tangente à une courbe de la surface, tracée par le même point.

Les tangentes à un plan se confondent évidemment avec les droites que l'on peut indéfiniment concevoir sur lui.

463. En tout point d'une surface, dit alors pied, la normale, un plan nornial, sont la perpendiculaire, ou un plan quelconque perpendiculaire au plan tangent. Tous les plans normaux passent ainsi par la normale {Cf. 453).

A cause de cela et du numéro cité, on dit fréquemment qu'une droite et un plan perpendiculaires mutuellement, sont normaux l'un à l'autre.

464. En un point commun à une ligne et à une surface, quand la tangente à l'une n'est pas située dans le plan tangent à l'autre, leur angle (331) est, par définition, l'angle de la ligne et de la surface en ce point. Celles-ci se coupent en ce point orthogonalement, normalement, quand il y a perpendicularité.

Si la tangente est appliquée sur le plan tangent, la ligne et la surface sont mutuellement tangentes au point considéré, y ont un contact {Cf. 456).

465. L'angle de deux surfaces en un point commun, est tel ou tel des dièdres formés par leurs plans tangents en ce point.

Quand cet angle n'est pas nul, le point considéré, s'il est ordinaire pour chacune des surfaces, l'est toujours aussi pour la ligne résultant de leur intersection.

Quand il est droit, les surfaces se coupent en ce point orthogonalement, normalement {Cf. 464).

240 GliNÉHALITÉS SUH LES FIGURES COURBES.

Quand il est nul ou neutre, c'est-à-dire quand les plans tangents se confondent, les surfaces sont mutuellement tangentes en ce point dit alors de contact.

Un point de contact est toujours singutier pour l'intersection de deux surfaces (quand on la considère dans sa totalité).

466. Il n'est pas rare que deux surfaces soient tangentes l'une à l'autre, en chacun des points d'une ligne appartenant à toutes deux. On dit alors que, suivant cette ligne de contact {ou de raccord), elles sont circonscrites (se raccordent) l'une à l'autre.

467. Quand plusieurs surfaces passent par une même ligne, leurs plans tangents en un point M de celle-ci, passent tous par sa tangente en M ; car cette ligne étant sur chacune des surfaces, sa tangente en M est aussi dans chacun de leurs plans tangents au même point (461).

Pour obtenir la tangente à l'intersection de deux surfaces en un point où leurs plans tangents ne se confondent pas, il suffit donc de prendre l'intersection de ces plans tangents, observation faisant pendant à celle du numéro cité, et, comme elle, fort utile dans une foule de circonstances.

468. Nous passons à la figure qui, relativement à une surface, joue le même rôle qu'un arc relativement à une ligne (455).

I. Sur une surface courbe, une plaque réduite [C], ayant pour bord un contour curviligne déchevêtré donné C (460), est une région limitée et continue dont voici les traits essentiels.

1" Il existe une infinité de droites CO', CQ", . . . deux à deux non parallèles, à aucune desquelles n'est parallèle le plan tangent à la surface, issu d'un point quelconque de cette région.

2» Si, parallèlement à l'une cD' de ces droites, on fait les projections sur un plan n' (non parallèle), celle m' d'un point quelconque m de la région considérée, appartient toujours à l'aire plane [C] que limite la projection C du contour C.

3o Inversement, tout point m' de l'aire [C] est la projection d'un point unique m appartenant à la région dont il s'agit.