II. Si

représentent les projections du bord C, d'un autre contour c tracé sur la région considérée et de l'un quelconque p de ses points, puis

d'autres projections des mêmes figures, construites dans des condilions analogues, la disposition topographique relative des objets (2) sur le plan de projection II", est toujours identique à

AIRE d'une plaque DE SURFACE COURBE. 211

celle de leurs corresi)onduntes ddiis le groupe (1) sur le plan II'. C'est-à-dire que //' sera intérieur ou extérieur à l'aire plane [c"] en même temps que p' à l'aire [c'].

III. Nous dirons donc que les points de la plaque réduite XI, n'appartenant pas à son bord, lui sont inlérieurs, et les considérations précédentes conduisent naturellement, pour une pareille figure et pour ses subdivisions, à des propriétés topographiques analogues à celles des aires planes, polygonales ou autres, sur un même plan, même à celles des segments rectilignes sur une même droite.

IV. Une plaque quelconque [C de bord (déchevètré) C, se formera par l'addition géométrique de plaques réduites contiguës extérieurement, dont les parties des bords par lesquelles elles ne se soudent pas entre elles, reproduisent le chemin fermé C ; etc. {Cf. 298 et suiu.) O.

469. Une plaque brisée (365) est inscrite dans une plaque courbe, dite alors circonscrite à l'autre, quand son bord est inscrit dans celui de cette dernière (457), et que tous ses sommets sont situés sur celle-ci.

L'inscription est propre, si la plaque courbe a été divisée en plaques partielles toutes extérieures les unes aux autres par des contours à trois sommets (et côtés), et si les faces de la plaque brisée sont les triangles dont chacun a pour sommets ceux de chacune de ces plaques partielles, son bord étant inscrit proprement dans celui de la plaque courbe.

470. Dans toute plaque courbe, on peut inscrire proprement une plaque brisée dont les maximensions des faces (443 bis, II) soient toutes inférieures à une même quantité positive z de petitesse arbitraire.

Si ensuite, en faisant tendre t vers zéro, on modifie progressivement la forme de la plaque brisée sous cette première condition, sous cette autre encore, que pour chacune de ses faces mnp, alors infiniment petite, les angles formés par son plan mnp avec les plans tangents à la surface en ses sommets m, n, p tendent aussi vers zéro, non seulement cette plaque brisée variable aura la plaque courbe considérée pour position-limite, mais encore son aire tendra vers une limite indépendante de ce que les deux conditions posées laissent d'indéterminé dans sa construction.

Cette limite qui, en dehors des deux conditions précisées dans l'énoncé précédent, pourrait ne pas exister, est, par définition, Vaire de la plaque courbe considérée {Cf. 458).

(1) Nous étendrions facilement aux surfaces planes, puis aux surfaces courbes, la notion de direction rectiligne ou curviligne (celle-ci dérivant de l'autre); mais notre cadre est trop étroit pour de pareils développements.

471. Faute d'un autre mot, no.us appellerons toit, un assemblage continu de plaques courbes soudées par les côtés de leurs bords, et, pour une figure de ce genre, nous conserverons toutes les dénominations applicables à une plaque brisée, véritable toit, mais à faces planes poh'gonales.

En comparant l'aire d'un toit courbe à sa projection orthogonale sur un plan, et, quand son bord est plan, à l'aire plane que ce contour limite, on arrive à des propositions analogues à celles du n° 366, faisant pendant, les unes et les autres, aux semblables pour de simples chemins (459) ; mais nous ne pouvons insister.

472. Quand il est déchevètré, un toit fermé, c'est-à-dire n'ayant aucune face qui ne soit soudée à des contiguës par tous ses côtés, constitue une périphérie courbe (Cf. 368), à laquelle, et par l'intervention de plaques brisées à faces triangulaires infmiment petites, inscrites proprement dans celles du toit courbe, on aperçoit immédiatement l'extension des notions expliquées au n° 460, pour un contour curviligne plan.

On obtient ainsi an polyèdre variable dont la périphérie finit par demeurer déchevêtrée, et dont le volume a une limite indépendante des circonstances indéterminées de l'opération. Par définition, cette limite est le volume de l'espace intérieur à la périphérie courbe.

Similitude et symétrie des figures courbes.

473. La présence de lignes, de surfaces courbes, dans deux figures n'impose aucune modification spéciale aux définitions des diverses correspondances possibles entre leurs points (droites, plans, etc., par suite), telles que l'homotaxie, l'antitaxie (dans un même plan ou dans l'espace), l'homothétie (la similitude), les diverses symétries. De pareilles lignes et surfaces sont efTectivement certains assemblages de points, au même titre que des droites, que des plans. . .

En dehors de l'homotaxie et de l'antitaxie, simples relations topographiques, l'existence de l'une des autres correspondances en question entraine toujours la simililude des figures, avec cette seule particularité, que, pour des figures symétriques, le rapport de similitude est toujours =1. De cette observation générale, dérivent presque toutes les suivantes qui s'ai)pliquent à ces diverses correspondances entre deux figures courbes.

I. Sur des lignes ou des surfaces homologues, deux points homologues sont toujours simultanément ordinaires ou singuliers. Nous ne pouvons le démontrer ici.

II. A un segment infiniment petit dans une figure, correspond toujours dans l'cmtre, un segment infiniment petit aussi; car la