SIMILITUDE

longueur du second est égale à celle du premier, multipliée par le rapport de similitude qui est un nomt)re constant 399, I».

III. En deux points Iwniologaes de deux Uyncs honiolofjnes, leurs tangentes sont des droites homologues aussi.

Soient m, n deux points de l'une de ces lignes, le premier fixe, le second infiniment voisin de m dans une direction déterminée de la ligne (455, III), puis T la position-limite de la demi-droite mn, tangente en m à la ligne (456), et m', n', T' les objets homologues de m, n, T. Le segment m'n' étant infiniment petit, comme son homologue mn (II), et les angles homologues Tmn, T'ni'n' demeurant toujours égaux, le second est infiniment petit comme le premier, et T', homologue de T, est bien l'une des demi-tangentes en m' à la seconde courbe.

IV. En deux points homologues m, m' de deux surfaces homologues, les plans tangents à ces surfaces sont homologues aussi.

Car les tangentes en m aux lignes tracées sur la première surface par ce point, ayant pour homologues les tangentes en m' aux lignes homologues passant par m' sur la seconde surface (III), le plan tangent en m' à celle-ci, qui contient toutes ces dernières tangentes (461), est bien l'homologue du plan tangent en m à la première surface, qui contient les premières.

V. A deux lignes, à une ligne et une surface, à deux surfaces, tangentes en un point comnuui, ou non tangentes, dans une figure, correspondent dans l'autre, des objets de mêmes sortes, soit tangents aussi au point homologue, soit s'y coupant sous les mêmes angles (456), (464), (465).

Car les tangentes et plans tangents aux premiers objets au point considéré, ont toujours pour homologues les tangentes et plans tangents menés aux seconds en Thoniologue de ce point (III), (IV), et des angles homologues sont toujours égaux (398).

VI. A des arcs réduits (455). à des plaques réduites (468) dans une figure, correspondent dans l'autre, des arcs ou plaques réduits aussi, et les relations topographiques, mentionnées aux numéros cités, sont les mêmes de part et d'autre. Le lecteur le constatera sans difficulté.

VIL Les rapports de deux longueurs, de deux aires, de deux volumes homologues, sont égaux au rapport de similitude^ à son carré, à son cube.

Soient, par exemple, [A], [A'] deux aires planes homologues, a le polygone variable dont l'aire [a] a [A] pour limite (460), et a' le pohgone homologue de a. Ce dernier aussi ayant des côtés tous infiniment petits (II), et étant inscrit proprement dans le contour de l'aire A' (VI), son aire [a'] a ^A'] pour limite. Mais en appelant p le rapport de similitude de la première figure à la seconde, on a sans cesse

donc (440), on aura aussi

Même raisonnement dans les autres cas.

VIII. Quand il s'agit de figures symétriques (on pouvant être mises en symétrie), des longueurs, aires, volumes homologues sont toujours équivalents. Car le rapport de similitude, son carré, son cube, sont tous =: 1.

474. Dans deux figures homothétiques ou symétriques, les tangentes et plans tangents en des points homologues étant toujours homologues aussi (473, III, IV), on aperçoit immédiatement leurs positions relatives, et nous mentionnerons seulement les observations suivantes.

I. Sur des courbes homothétiques et en des points homologues, deux directions homologues (456) sont identiques on opposées, selon que l'homothétie est directe ou inverse. C'est à peu près évident.

II. Dans deux figures homothétiques, quand une ligne ou une surface passe par le centre d'homothétie, son homologue y passe aussi et y a même tangente ou même plan tangent. Car ce centre est double, ainsi que toute droite ou tout plan mené par lui (403).

III. Dans deux fgures symétriques, quand une ligne ou une surface rencontre en quelque point, soit l'axe, soit le plan de symétrie, son homologue passe aussi par ce point, et les tangentes ou plans tangents à toutes deux font des angles égaux avec, soit l'axe, soit le plan de symétrie. Car le point en question est double, et les tangentes ou plans tangents y sont toujours homologues (414), (419).

IV. Quand une ligne ou une surface est douée de symétrie absolue par rapport ci une droite passant par un de ses points ordinaires m (421), il y a perpendicularité en m entre l'axe et la tangente dans le premier cas, ou le plan tangent dans le second.

S'il s'agit d'une ligne, soient sur elle m' un point infiniment voisin de m, et m" son sj^métrique, infiniment voisin de tous deux; la droite mobile m' m" étant toujours perpendiculaire à l'axe et ayant la tangente en m pour position-limite, cette tangente ne peut manquer d'être aussi perpendiculaire à l'axe.

S'il s'agit d'une surface, deux plans distincts passant par l'axe, et autres que son plan tangent, la couperont suivant des lignes ayant toutes deux m pour point ordinaire (465), chacune symétrique évidemment par rapport au même axe, dont les tangentes, par ce qui précède, lui sont perpendiculaires. Le plan tangent qui les contient est donc, comme elles, perpendiculaire à l'axe.