CHAPITRE IL

parallélisme des droites et des plans. — cas d'intersection.

Mouvement de translation. — Parallélisme en général.

32. Nous commencerons par étudier avec soin le mouvement d'une droite mobile glissant sur une droite fixe (17, 111).

1, Une droite ayant été dédoublée par la pensée en deux autres, l'une, 1), fixe dans l'espace, l'autre, d. appliquée sur celle-ci, on peut faire glisser la seconde sur la première, de telle sorte qu'un point a, marqué arbitrairement sur d, vienne coïncider avec l'un quelconque A des points de D.

C'est dans cette possibilité ((uc consiste le caractère indéfini de ce glissement.

IS l'AIiAl.MÎLISMIi Di:s DltOlTKS ET DDS PLANS.

II. Si un premier glissement a conduit des points a,, a^. Og,... de la droite mobile en A,, A.j, A3..., points de la droite fixe, tout nouveau glissement de d qui ramènera un seul des premiers, a^ par exemple, à coïncider encore avec son homologue A, dans la seconde suite, ramènera tous les autres, o^, a^,... simultanément, à coïncider aussi avec A^, A3..., respectivement.

Plus brièvement, quand une droite glisse sur une autre, la position de toute figure conçue sur elle est complètement déterminée par celle d'un seul de ses points sur la droite fixe.

III. Si, dans un glissement de la droite d sur la droite fixe D, deux de ses points a. b ont A', B' pour positions initiales et A", B" pour positions finales (2); les directions A'B', A"B" de D sont toujours identiques (23, I).

IV. Quand la droite d glisse sur I) de manière que l'un de ses points a, soit animé d'un mouvement de sens constant (23), tous ses autres points a.,, a...... y sont animés simultanément de mouvements dont les sens sont tous constants chacun, de plus identiques à celui du mouvement de a^, les uns aux autres par conséquent.

Ceci permet de dire que toute la droite d glisse sur D, soit dans un sens, soit dans l'autre.

33. Quand il s'agit du glissement indéfini sur un plan fixe P (20, IV), d'un plan mobile p restant appliqué sur lui (tout aussi bien d'une figure quelconque tracée sur le plan p), on a l'axiome suivant :

La position du plan glissant est entièrement déterminée par celles sur le plan fixe, non plus de un de ses points (32, II), mais de deux (pourvu qu'ils soient distincts:.

Comme tout à l'heure, ceci veut dire que si un premier glissement a amené les points a,, a.!, 03, a^,,.. du plan p à coïncider avec les points A,, Aj, A3, A4,... du plan P, et si les deux premiers, par exemple, sont distincts, tout autre glissement du plan mobile qui ramènera Oj et Oj seulement en A, et A2, replacera simultanément Og, «4,... en A3, A4...

34. Quant au mouvement libre dans l'espace, d'une figure solide quelconque [non sans analogie avec le glissement d'une figure plane sur un plan fixe, ou d'une figure rectiligne sur une droite fixe (22)], il est dominé par cet axiome :

La position de toute la figure est complètement déterminée par celles seulement, non plus de un, ou de deux, mais de trois de ses points choisis à volonté autrement qu'en ligne droite. (Cf. 20, III, 32, II, 33.)

35. Voici maintenant les faits qui conduisent à la notion du plus simple des mouvements dont une figure solide puisse être animée dans l'espace.

I. Un plan mobile p peut glisser sur un plan fixe P, indéfiniment

MOUVKMKNT I)K TRANSLATION. 19

encore, sous la condition spéciale que l'une de ses droites d glisse simplement sur une droite 1) appartenant au plan fixe (32).

Dans ce cas, Id posilion du plan mobile c.sl dctcrmince par celle d'un point seulement de la droite d sur la droite I). La posilion de ce point détermine elïectivement celles de tous les autres points de la droite d (32, II), et il ne faut que celles de deux distincts pour déterminer celles de tous les points du plan p (33).

II. 5/ l'on solidarise enfin avec le plan mobile une figure quelconque f de l'espace, qui alors se trouve animée d'un mouvement connexe, la position sur la droite D d'un seul point de la droite d détermine, complètement encore, celles de tous les points de cette figure.

Les positions de tous les points du plan p se trouvent etrectivement déterminées (I), et trois seulement de ces positions, non en ligne droite, sont nécessaires à la détermination complète de celles de tous les points de la figure (34).

36. Un tel mouvement d'une figure solide est dit de transport ou de translation ; il est d'une importance extrême, et présente en outre les particularités suivantes.

I. Tout point de la figure mobile a pour trajectoire (15) une certaine droite G; et si, à un instant donné quelconque, on dédouble cette trajectoire par la pensée en deux droites, savoir, G ellemême restant fixe dans l'espace et une droite g solidarisée avec la figure mobile, le mouvement de cette droite g se réduit à un simple glissement s'effectuant sur la droite G (17, 111).

Nous nommerons les droites telles que G et g des glissières, les premières fixes, les dernières mobiles. Par chaque point de la figure f, passe ainsi une glissière mobile (unique) à elle attachée; par chaque point de l'espace, passe également une glissière fixe (unique aussi), sur laquelle glisse toute droite de la figure mobile qui aurait coïncidé une seule fois avec elle. En particulier, les droites d, D nommées plus haut sont des glissières, celle-ci fixe, celle-là mobile.

II. Tout plan de la figure / qui passe par une glissière (mobile), glisse simplement aussi, et cela dans les conditions du n^ 35, I, sur le plan fixe de l'espace avec lequel il a coïncidé une seule fois à un instant quelconque du mouvement. C'est ainsi que le plan p, passant par la glissière mobile d et entraîné par le mouvement de/, glisse sur le plan fixe P auquel il reste appliqué.

III. La position de la figure mobile dans l'espace est complètement déterminée par celle d'un seul de ses points ; car ce point se meut sur quelque glissière fixe D^ (I), et tout planpj passant dans /parla glissière mobile d^, qui glisse sur D,, glisse sur quelque plan Pj de l'espace dans les conditions expliquées au no 35, I, pour la droite d et le plan p glissant sur D et P (I, II). Cela posé, il n'y a plus qu'à faire intervenir ce que nous avons dit au n" 35, II.

En d'autres termes, quand une figure n'est susceptible que d'un mouvement de translation, tous ses points, simultanément, s'arrêtent ou se meuvent.

37. Le mouvement de translation n'a pas un caractère moins primordial en Mécanique pure ou appliquée, qu'en Géométrie. Le jeu naturel d'un tiroir bien ajusté dans la mortaise du meuble où il se loge, en met chaque jour sous nos yeux une représentation fort nette : les 4 arêtes rectilignes de la mortaise (elles s'y trouvent au fond de sortes de gouttières) sont des glissières fixes sur lesquelles glissent les 4 arêtes rectilignes correspondantes du tiroir (où elles sont au contraire saillantes), jouant ainsi le rôle de glissières mobiles ; en même temps, les faces latérales et inférieures du tiroir (quelquefois une face supérieure), qui sont planes et passent toutes par ses arêtes, glissent sur autant de faces planes fixes, appartenant à la mortaise. Nous voyons enfin l'immobilité du tiroir assurée par la fixation d'un seul de ses points, que peuvent réaliser, soit la fermeture de la serrure en engageant le pêne dans sa gâche, soit un clou traversant à la fois des faces correspondantes du tiroir et de la mortaise, soit l'interposition accidentelle de quelque gravier.

38. Une translation est un déplacement (2) d'une figure, opéré par un simple mouvement de transport.

L On peut imprimer à toute figure solide une translation telle, qu'une droite H choisie arbitrairement dans l'espace, joue le rôle de glissière fixe, et qu'un point de la figure, pris sur la glissière mobile correspondante /z (c'est-à-dire en application constante sur H) vienne coïncider avec un point donné quelconque de cette glissière fixe H.

II. D'où, par combinaison avec l'axiome 111 du n° 36 : quand une figure peut être superposée à une autre par une translation, la coïncidence a lieu dès que quelque point de la première figure a atteint son homologue dans la seconde.

III. Si, à partir de sa position Initiale /o, on imprime successivement à une figure mobile /, deux séries de translations consécutives l'amenant, les unes en f^, les autres en /^ (pouvant être identique à/,), les figures/,, f., peuvent être superposées par une seule translation (ou bien coïncidaient déjà).

Un raisonnement bien facile permettrait de déduire, du seul énoncé suivant, tous les autre cas de l'axiome en question : Si, par deux translations consécutives, /a passé de/, en/,, puis de/, en /,, une seule translation suffira pour amener directement /' de sa position initiale /o à sa position finale/^.

39. Dans son essence générale , le parallélisme de deux droites, ou d'une droite et d'un plan, ou de deux plans, est une position relative des plus remarquables, consistant en ce