Voici les premières conséquences de cette définition

I. Toute translation d'un cylindre, parallèle ci ses génératrices, le laisse en coïncidence avec sa position primitive. Car chaque génératrice joue le rôle de glissière, et reste appliquée sur ellemême (77), (C/. 320, I).

Réciproquement, une surface est un cylindre dont les génératrices sont parallèles cï une droite ^, quand elle se réapplique sur elle-même par toute trcuislation parallèle à cette droite. Car elle

contient évidemment toute parallèle à (^, menée par un quelconque de ses points.

D'où l'importance des cylindres dans la taille des pièces mécaniques analogues aux pistons et à leurs corps de pompe, qui doivent se prêter à des translations relatives sans cesser d'être exactement appliquées les unes sur les autres.

II. Tout plan perpendiculaire à la direction d'un cylindre (c'està-dire à ses génératrices) est un plan de symétrie de la surface (421). Car il est tel pour chaque génératrice.

III. Une ligne quelconque tracée sur un cylindre est laissée sur lui par toute translation parallèle à ses génératrices. Car le cylindre supposé lié à cette ligne ne fait alors que glisser sur lui-même (II).

Il en résulte qu'un cylindre est engendré encore par une quelconque de ses lignes rencontrant toutes ses arêtes, quand, parallèlement à ces droites, on lui imprime une translation indéfinie.

IV. Deux surfaces superposables par une translation parallèle à la direction d'un cylindre, le coupent suioant deux lignes superposables par les mêmes translations, toujours égales, par suite. Car le cylindre, solidarisé avec la surface animée d'une pareille translation, ne fait que glisser sur lui-même (I).

V. Deux cylindres parallèles, c'est-à-dire dont les arêtes sont toutes parallèles, ne peuvent se couper que suivant quelque groupe de génératrices conmmnes. Car, par tout point commun, la droite menée parallèlement à leur direction commune, est située tout entière sur l'un et l'autre, à la fois.

477. Un plan est une véritable surface cylindrique, pour la direction de laquelle on peut adopter celle de toute droite située sur lui (ou parallèle), puisqu'il contient toute parallèle à une semblable droite, menée par un quelconque de ses points ; pour directrice, on peut prendre une droite quelconque du plan, non parallèle à la première (53). Cette variété du cylindre est évidemment la plus simple de toutes. Les relations d'un cylindre avec un plan varient beaucoup avec leurs positions relatives.

I. Quand le plan n'est pas parallèle aux génératrices du cylindre, toutes ces droites le coupent suivant une ligne, dite section plane, qui, sauf quelque translation parallèle à la direction du cylindre, est identique à toute cnitre faite par un plan parallèle. Effectivement, une translation parallèU aux génératrices du cylindre, peut toujours superposer deux plans parallèles entre eux, mais non à cette direction (476, I\).

Pour directrice d'un cylindre (475), on peut ainsi prendre une section plane, et on la préfère habituellement, à cause de sa simplicité relative et des notions particulièrement nettes que sa forme procure sur celle du cylindre, dès que la direction de