GÉNÉRALITÉS

celui-ci est donnée. Coite préférence s'attache surtout à la section droite, c'est-à-dire obtenue par un plan perpendiculaire aux génératrices. Il est évident qiCiinc section droite coupe orlhof/onalement tontes les génératrices du cylindre (456).

II. Quand le plan dont il s'agit est parallèle à la direction du cylindre, on peut, avons-nous dit (477), le considérer comme un autre cylindre parallèle. Par conséquent (476, V), son intersection avec le proposé n'est qu'un assemblage de droites parallèles.

478. On remarquera que la projection d'une ligne sur un plan (328) n'est pas autre chose que la trace sur le plan de projection, d'un cylindre ayant pour directrice la ligne à projeter, pour direction celle des droites projelanles, cjdindre dit projetant pour la ligne considérée.

Cette observation, où le plan de projection pourrait être remplacé par une surface de projection quelconque, a une grande importance dans beaucoup de circonstances généralement pratiques.

Plan tangent.

479. Les points d'une même génératrice d'un cylindre (courbe) sont, tous en même temps, soit ordinaires, soit singuliers (449), et cela selon que la trace de cette génératrice sur une directrice à laquelle elle n'est pas tangente, est, pour cette ligne, un point ordincdre ou singulier.

La première partie est évidente, puisqu'une translation parallèle à la direction du cylindre peut toujours appliquer un point quelconque de la génératrice considérée, sur tout autre point de celle-ci, et, simultanément, le cylindre tout entier sur lui-même, d'une autre manière (476, I) ; mais la seconde ne peut être démontrée ici.

480. En tout point {ordinaire) M d'un cylindre, le plan tangent (461) contient entièrement la génératrice passcmt par ce point, et il est encore tangent au cylindre en tout autre point m de la même génératrice.

Le premier fait est évident, car cette génératrice est tangente à elle-même (451), c'est-à-dire à une ligne située sur le cylindre.

Si, ensuite, on imprime à toute la figure une translation parallèle et éjalc à Mm, les positions finales du plan et du cylindre sont mutuellement tangentes en m ; leurs positions initiales l'étaient donc aussi au même point, puisque la glissière Mm étant, à la fois, située dans le plan et parallèle à la direction

du cylindre, chacune de ces deux figures est restée appliquée sur elle-même (476, 1).

Ainsi donc, un plan ne peut être tangent à un cylindre sans lui être circonscrit suivant quelque génératrice dite alors de contact (466) ;ef les plans tangents à un cylindre sont tous parallèles à sa direction, puisque la génératrice de contact de chacun d'eux est douée d'un tel parallélisme.

Il résulte encore de cette disposition des plans tangents d'un cylindre, qn'un plan perpendiculaire aux génératrices coupe la surface orthogonalement (465) en tout point de la section.

481. Tout le long d'une génératrice commune (476, V), deux cylindres parallèles se coupent sous un angle constant (465), ou sont circonscrits l'un à l'autre (466). Car en tous les points de cette droite, leurs plans tangents sont deux mêmes plans (480) formant ainsi un même dièdre, ou bien se confondant.

482. Pour construire le plan tangent à un cylindre suivant une génératrice donnée, il suffît de tracer sur la surface une ligne rencontrant cette génératrice en un point M où elle ne lui est pas tangente. Le plan tangent est déterminé par la génératrice et la tangente en M à la ligne considérée (461).

Inversement, on obtiendra la tangente en M à une ligne tracée sur le cylindre, en coupant son plan tangent suivant la génératrice du point M, par le plan tangent en M à quelque autre surface menée par la ligne (de manière que ce plan tangent ne se confonde pas avec celui du cylindre) (467).

483. Dans le cas très fréquent où un cylindre est donné par une de ses sections planes C {fig. 114) et par la direction Ç de ses génératrices, les observations générales ci-dessus fournissent des solutions très simples pour les problèmes suivants qui se posent à chaque instant en Géométrie descriptive.

I. Construire le plan tangent suivant une génératrice donnée. C'est évidemment celui qui passe par cette génératrice et par la tangente menée à la section en son point M, trace de la génératrice.

II. Construire un plan tangent passant par une droite donnée Jl>. 1° La droite A, n'est pas parallèle aux génératrices du cylindre.

Comme tous les plans tangents sont parallèles aux génératrices (480), celui que l'on cherche ne peut être que le plan unique mené par -JU parallèlement à Cj (52). Ce plan est tangent au cylindre, quand sa trace sur celui de la section G se trouve être une tangente à cette ligne (482) ; sinon le problème est impossible.

2° La même droite c'U est parallèle aux génératrices du cylindre ifîg. 114).

Le plan tangent cherché doit couper celui de la section suivant quelque tangente à cette ligne, et cette tangente passe