GÉNÉRALITÉS

487. Cette définition conduit immédiatement aux observations suivantes.

I. Un cône se confond avec toute ficjnre qui lui est homolhctique par rapport à son sommet pris pour centre d'fiomothétie (403). Car toutes les génératrices passant ainsi par le centre, l'iiomologue de chacune d'elles lui est identique (Ibid.), {Cf. 476, 1).

En particulier, un cône admet toujours son sommet pour centre de sijmétrie (421), puisqu'ainsi il se confond avec sa figure sj'niétriquc par rapport à son sommet.

II. Une ligne quelconque tracée sur un cône est laissée sur lui par toute déformation consistant à lui substituer indéfiniment une ligne Iwmothétique par rapport au sommet. Car la seconde ligne est située sur la surface homologue du cône, puisqu'il contient la première, et cette surface homologue se confond avec le cône (I).

Un cône peut donc être engendré encore par le mouvement et la déformation d'une ligne qui varie, sous la seule condition que sa transformation indéfinie la laisse Iwmothétique ci elle-même par rapport au sommet {Cf. 476, III).

III. Deux surfaces homothéliques entre elles par rapport au sommet d'un cône, le coupent suivant deux lignes offrant la même homothétie mutuelle. Car on retrouve le même cône (I) en cherchant l'homologue du proposé dans l'homothétie considérée {Cf. Ibid. IV).

IV. Deu.v cônes de même sommet ne peuvent se couper que suivant quelque groupe de génératrices communes. Car la droite joignant au sommet commun tout point d'intersection qui diffère de lui, est située tout entière sur chacun des deux cônes (Cf. Ibid. V).

V. Deux cônes semblables sont toujours super posables. Car si après les avoir mis en homothétie dans certaines positions ©j, 0.^, on amène, par translation, le second en une position S'j où son sommet se confond avec celui du premier, les cônes S,, £'•2 sont homothéliques par rapport à leur sommet commun (404), (397, X), partant confondus (1).

488. Un plan est une véritable surface conique dont le sommet peut être choisi arbitrairement sur lui, fournissant ainsi la variété la plus simple des surfaces de ce genre ; pour directrice, on peut prendre une droite quelconque du plan, qui ne passe pas par le sommet choisi (Cf. 477).

Voici les principales relations possibles entre un cône et un plan.

I. Quand le plan ne passe pas par le sommet du cône, celles des génératrices de cette surface qui ne lui sont pas parallèles le coupent suivant une ligne, dite section plane, et deux sections de ce genre, obtenues sur deux plans parallèles, sont toujours

homothêtiqiies par rapport au sommet. Car deux plans parallèles sont toujours homothétiques par rapport à un point quelconque étranger à tous deux (404), (487, III).

Pour directrice d'un cône, on peut prendre aussi, et on préfère ordinairement, une section plane; cela pour les mêmes motifs que s'il s'agissait d'un cylindre (477, I).

IL Quand le plan considéré passe par le sommet du cône, la ligne d'intersection se résout en un assemblage de droites concourant au sommet dans ce plan, car ce dernier est aussi bien un cône de même sommet que le proposé (487, IV), (Cf. 477, II).

489. Sur une surface donnée, dite de projection, ou tableau, et relativement à un point fixe donné, dit centre de projection, ou point de vue, on nomme perspective, quelquefois projection centrale ou conique, d'une figure ^ tracée sur quelque autre surface, la figure j' formée par les traces, sur le tableau, des droites joignant le point de vue aux divers points de cT. La perspective ou projection d'une ligne, nest ainsi que l'intersection du tableau par le cône projetant, cône ayant cette ligne pour directrice et le point de vue pour sommet.

A cette notion, se rattachent des considérations d'une très grande importance dans les Arts du dessin, et même en Géométrie théorique. Dans les cas les plus simples et les plus intéressants, c'est un plan qui est pris pour tableau.

Plan tangent.

490. Chez tout cône ne se réduisant pas à un simple plan (488), le sommet est un point singulier.

Sur un pareil cône, on peut effectivement assigner trois génératrices non situées dans un même plan (une infinité même), et ces droites se confondent avec leurs tangentes menées au sommet du cône, situé sur elles toutes (451). Ces trois ligne's ainsi tracées sur le cône par un même point, n'ont donc pas leurs tangentes dans un même plan, ce qui aurait lieu pourtant si ce point, le sommet, était ordinaire (461).

Les génératrices d'un cône qui s'appuient sur un arc . . .mm'm" . . . (fig. 115), dont deux points ne sont jamais les extrémités d'un segment rectiligne contenant le sommet S, sont visiblement situées sur une région continue de la surface, se décomposant naturellement en deux parties, dites nappes, S. . .mm'm" . . . et S. . .mim\m'\. . ., qui sont contiguës par le sommet seulement, et n'ont aucun autre point commun. L'une de ces nappes contient celles des demi-génératrices ayant le