CHAPITRE XVI

Définitions et premières propriétés.

497. Un cercle, une circonférence {de cercle) quelquefois pour un peu plus de précision, est le lieu (14) des points d'un plan, ...,M, Mj, M.2, ... ifig. 117), dont les distances ..., OM, 0M„ 0M.2, ... à un même point fixe O de ce plan, sont toutes égales à un même segment non nul donné. C'est tout aussi bien le lieu des positions, la trajectoire, d'une extrémité M d'un segment OM de longueur constante et égale à ce segment, qui pivote dans le plan considéré, autour de son autre extrémité O demeurant fixe en O (83, I), (587, inf.).

Un cercle est ainsi une ligne plane ; son plan est celui où il est tracé, son centre est le point fixe O, son rayon est la distance uniforme OM de ses points à son centre, longueur invariable du segment pivotant.

Quand le segment donné est nul, le lieu n'a pas d'autres points que O, et n'est pas dans un plan déterminé. Dans ce cas, toujours excepté sauf mention du contraire, il est commode quelquefois de voir dans ce point unique un cercle nul (ou infiniment petit, moins proprement) {Cf. 122).

498. De la définition précédente, découlent ces premières conséquences à peu prés évidentes

I. En faisant pivoter un cercle dans son plan autour de son centre, on ne fait que le réappliquer sur sa position primitive.

Car la distance au centre, de tout point du cercle en mouvement, ne cesse pas d'ctrc égale au rayon.

Inversement, toute ligne plane continue qui se réapplique sur elle-même par des pivotements d'amplitudes quelconques, exécutés dans son plan, autour d'un même point fixe donné O, est un cercle ayant ce pivot pour centre.

Un pareil déplacement transportant tout point M de la ligne, sur le cercle décrit dans le plan considéré, de O comme centre, avec OM pour rayon, elle comprend certainement ce cercle. Mais, si elle avait encore quelque point étranger, sa continuité supposée lui assurerait la possession d'autres points infiniment voisins de M dans toutes les directions de son plan, et elle n'aurait pas en M une tangente déterminée, singularité expressément exceptée.

Comme une ligne droite, un cercle peut ainsi glisser indéfiniment sur lui-même, propriété d'une extrême importance dans la Cinématique des corps solides.

II. Un cercle est symétrique par rapport à son centre O, et encore par rapport à tout axe A^ mené par son centre, dans son plan {Cf. 501, inf.).

Soient M un point quelconque du cercle et M' son symétrique par rapport au point O. Le plan du cercle étant double (403), parce qu'il passe par le centre de symétrie et contient M, M', est situé aussi dans ce plan. Comme 0 est un point double, OM' est égal au segment homologue OM. Donc M' appartient aussi au cercle.

Même raisonnement pour la symétrie par rapport à l'axe cl».