III. Un cercle est une figure continue

Si L, M (fîg. 117) sont deux points quelconques d'un cercle de centre O, nommons . . ., h, i, j, . . . les points de la courbe obtenus en portant des longueurs toutes égales au rayon r, sur des demi-droites partageant l'angle LOM en parties quelconques, mais toutes inférieures à un angle aigu choisi arbitrairement, que nous représenterons par 2a. A cause de 0/ := Oj = r, un triangle tel que iOj est isoscèle, d'où, en appelant a le pied de la perpendiculaire abaissée de O sur y, ij :=2tii (238), et le triangle ztaO, rectangle en a, a^^ant son hypoténuse 0/ := r, donne ci/ = r sin /Ors (243), d'où //<2/-sina (241, VI), parce que l'inégalité supposée /07<2a entraîne zOfS < a. Les distances mutuelles . . ., hi, ij, . . . des points marqués ainsi sur le cercle sont donc toutes inférieures à2/'sina, quantité qu'une petitesse suffisante de l'angle a peut rendre inférieure à tout ce qu'on voudra (443 bis, I).

IV. Deu.v cercles quelconques sont des figures semblables, tant directement qu'inversement, égales même quand leurs rayons sont égaux {Cf. 580, inf.}.

PREMIKKES PROPRIÉTÉS. 257

1" Le dernier point est évident, car on superposera le premier cercle à l'autre, en applic[uant à la fois son plan et son centre sur ceux de ce dernier.

2" Soient maintenant O, M le centre et un point quelconque du premier cercle de rayon /•, puis 0', M', les homologues de ces points dans une figure semblable construite avec un rapport de similitude quelconque p' (405). Le lieu de M' est un cercle de centre O' et de rayon p'/-, car il est situé dans le plan homologue de celui du cercle considéré (398), et on a sans cesse O'M' = p'.OM = pV (399). Si donc r' désigne le rayon de l'autre cercle donné, et si l'on prend p' ::= r' : r, le cercle semblable au premier sera égal au second comme ayant pour rayon (r' \r)r-=.r' (1°).

V. Si le tracé d'un cercle dans l'espace exige la connaissance de son plan, de son centre et de son rayon, la connaissance seule du rayon détermine entièrement la forme du cercle, abstraction faite de sa position (IV).

Les plus utiles propriétés du cercle n'impliquent que des constructions exécutées dans son plan, surface la plus simple sur laquelle il puisse être conçu. Ce sont elles que, pour un temps, nous étudierons seules, et, jusqu'au Chapitre XXII

EXCLUSIVEMENT, NOUS SUPPOSERONS, SANS LE RAPPELER A CHAQUE INSTANT, QUE TOUTES NOS FIGURES, POINTS, DROITES, CERCLES. . ., SONT SITUÉES DANS UN MÊME PLAN.

Sécantes rectilignes, diamètres.

499. Une droite a deux points communs avec un cercle, un seul, ou micun, selon que sa distance au centre est inférieure, égale ou supérieure au rayon.

Soient O {fîg. 117) le centre du cercle, r son rayon et rf = OP, la distance de la droite considérée au point 0.

lo d < y. Dans ce cas, on a aussi d^ <r-; par suite, si, sur la droite en question et à partir du pied P de sa distance au centre, on porte sur elle, dans les deux sens, les segments

PMj = PM,, ^ V r* — rf-,

on obtiendra deux points du cercle. Les deux triangles OPM^, 0PM.2, rectangles en P, donnent effectivement (227)

OM;' = OP' + PM/' = rf- + {r- — d') :-=! r- ,

d'où OMi z=r, puis, de même, OM.^ ~zr.

D'ailleurs, aucun autre point N de cette droite MjMj ne peut appartenir encore au cercle ; car sa distance au point P n'étant

pas égale à PM, (ou PM.2), sa distance au centre n'est pas égale à OM, (ou OM.), c'est-à-dire à r (262).

2° d^r. Le pied P (ftg. 118) de la distance du centre à la droite appartient au cercle, parce que sa distance au centre est égale au rayon. Mais tout autre point N de la droite est plus éloigné du centre que celui-ci (262), et, par suite, ne peut se trouver sur le cercle.

La construction ci-dessus (1°) étant encore exécutable à la rigueur, on peut, chose parfois bien commode, considérer ce point d'intersection unique P comme double, c'est-à-dire résultant de la confusion des points M,, Mj qui, tout à l'heure, étaient distincts {Cf. 512, iiif.).

3° d> r. Un point quelconque de la droite, N' {fig. 118), n'appartient pas au cercle, parce que sa distance ON' au centre qui est supérieure à OP' = d, égale au moins, l'est à plus forte raison à ;• (< d).

Le cercle est ainsi une ligne courbe, puisqu'il ne peut avoir plus de deux points sur une droite quelconque.

500. Quand la distance OA d'un point au centre d'un cercle est inférieure au rayon, la distance OP d'une droite quelconque passant par ce point est inférieure à OA, égale au plus, partant toujours inférieure au rayon; car OA et OP sont l'hypoténuse et un côté de l'angle (h'oit dans le triangle OPA, rectangle en P. Donc (499), les di'oites issues d'un jjareil point A coupent toutes deux fois le cercle. Les points de cette espèce sont dits intérieurs au cercle ; tel est évidemment le centre.

Par les points dont la distance au centre surpasse le rayon, on peut, au contraire, mener des droites dont la distance au centre excède aussi le raj'on, et qui, par suite, ne rencontrent pas le cercle. Les points de cette sorte sont dits extérieurs à la (tourbe.

Enfin, toute sécante, issue d'un point même du cercle (et non perpendiculaire sur le rayon, aboutissant à ce point), coupe le cercle en un second point symétrique du proposé par rapport au raj'on perpendiculaire sur la sécante.

501. Nous avons vu incidemment (499), que les deux points d'intersection d'un cercle et d'une droite sont situés de part et d'autre, et à égales distances, du pied de la perpendiculaire abaissée du centre sur la sécante. Ce pied est donc le milieu de la corde {Cf. 455) interceptée sur la sécante. Par conséquent, si des sécantes sont toutes parallèles entre elles, la perpendiculaire, abaissée du centre sur l'une, est aussi perpendiculaire à toutes les autres (99) et contient ainsi les milieux de toutes les cordes découpées sur ces sécantes par le cercle. Nous retrouvons par une autre voie, les symétries axiales du cercle déjà constatées au n° 498, II.

SÉCANTES PAKALLÈLES, DIAMÈTHES CONJCGUÉS. 259

En thèse générale, quand une sécante mobile, mais de direction invariable donnée, coupe une ligne en des points toujours en nombre pair, qui, associés deux à deux, limitent des segments ayant un même point milieu, le lieu géométrique de ce point milieu se nomme le diamètre de la ligne, conjugué à la direction dont il s'agit. D'où ce théorème important :

Les diamètres du cercle sont des droites passant toutes par le centre et perpendiculaires aux cordes parallèles à la direction desquelles ils sont conjugués.

La /ù;//re 119 montre un cercle coupé par quelques sécantes parallèles AA', BB', CC/ ; les milieux P, Q, R des cordes correspondantes sont tous sur la droite UTPOQRS qui leur est perpendiculaire et passe par le centre O.

Le diamètre considéré est à une distance du centre qui est nulle, partant inférieure au rayon ; il est donc coupé parle cercle en deux points distincts, limitant un segment ST que le centre O partage en deux parties OS, OT égales entre elles et au rayon. A l'intérieur de ce segment, sont donc les pieds . . ., P, ... de toutes les sécantes dont les distances ..., OP, ... sont inférieures au rayon, dont, par suite, les intersections avec le cercle . . ., (A, A'), . . . existent et sont distinctes (499j. Chacune des deux sécantes a\-ant pour pieds les extrémités S, T de ce segment coupe le cercle en deux points confondus. Les autres, dont les pieds . . ., U, ... sont extérieurs au même segment, ne rencontrent pas le cercle, et ces pieds ne sont ainsi les milieux d'aucune corde. Ils jouissent toutefois d'autres propriétés les rendant assimilables aux points proprement dits du diamètre, permettant, à d'autres points de vue, de considérer les droites issues du centre, comme étant des diamètres dans toute leur étendue.

Deux diamètres mutuellement perpendiculaires, sont dits conjugués, parce que chacun d'eux est conjugué aux cordes parallèles à l'autre.

502. Par le même mot diamètre, on dénomme encore le segment ST défini ci-dessus (501) sur tout diamètre proprement dit. Dans ce sens, un diamètre est toujours, égal au double du rayon, et tous sont égaux entre eux.

503. Dcuis un cercle, le rayon r, la distance d d'une corde quelconque au centre et sa moitié l sont liés par la relation

Le milieu P (fig. 117) de la corde considérée MjM^, une des extrémités M, de celle-ci et le centre O du cercle, sont effectivement (501) les sommets d'un triangle OPM,, qui est rectangle en P et donne PM," — OP' = OM,", c'est-à-dire la relation en question écrite avec d'autres notations.

504. Soient d', V la distance au centre et la demi-longueur de toute autre corde ; on a, par ce qui précède,

Donc r est = l, selon que d' est = d. En d'autres termes, > <

deux cordes également éloignées du centre sont égales en longueur, et, de deux cordes quelconques, la moins éloignée du centre est la plus grande.

De toutes les cordes imaginables, les moins éloignées du centre sont les diamètres, puisqu'ils contiennent ce point ; donc la plus grande longueur des cordes d'un cercle est celle de ses diamètres, fait qui rend la mesure du diamètre d'un cercle donné matériellement, beaucoup plus facile pratiquement que celle de son ra^'on.

Il en résulte qu'an cercle est une figure limitée (289), puisqu'ainsi la distance de deux quelconques de ses points demeure inférieure (ou égale) au double de son rayon.

505. La distance MP (fig. 120) de tout point M d'un cercle à un diamètre quelconque AB, est moyenne proportionnelle {Cf. 229) entre les segments PA, PB en lesquels son pied P le découpe.

Le point P est intérieur à l'un des rajons OA, OB, au second par exemple, par suite au diamètre considéré, parce que OP est la distance au centre d'une droite coupant le cercle en M (499), et le triangle OPM, rectangle en P, donne immédiatement