PARALLÉLISME EN GÉNÉRAL

que, dans chaque cas, l'une des figures considérées peut être appliquée sur l'autre par quelque translation choisie convenablement; on dit alors que les deux figures sont parallèles.

Quand deux figures des genres mentionnés ci-dessus sont déjà appliquées l'une sur l'autre, elles se trouvent évidemment dans cet état de parallélisme, puisque leur repos seul suffit à réaliser leur application, et qu'un tel état des corps ne comporte rien de contradictoire avec la définition du mouvement de translation; d'ailleurs, de véritables translations évidentes reproduiraient autrement l'application mutuelle. Cependant, on nomme plus volontiers parallèles, deux figures rectilignes, planes, qui peuvent être appliquées l'une sur l'autre par translation, mais ne le sont pas encore.

Droites parallèles.

40. Deux droites D, D', dont l'une, D, peut être superposée à l'autre par une translation [c'est-à-dire qui sont parallèles i39)], coïncident nécessairement quand elles ont quelque point commun O.

Soit 0' la position finale du point 0 entraîné par la translation de la droite D, qui la superpose à D' : la droite 00' coïncide 1" avec D', parce qu'elle a deux points sur elle, savoir 0 par hypothèse et 0' évidemment ; 2° avec D, après la translation de celle-ci, puisque cette dernière se trouve alors superposée à D' ; en outre, la même droite O'O est évidemment une glissière de la translation capable de ramener D de sa position finale D' à sa position initiale (38, III). Pendant ce dernier déplacement, après sa terminaison en particulier, D reste donc en coïncidence avec 00', avec D' par suite (36, I).

41, Deux droites parallèles D, D' coïncident après toute translation qui amène quelque point de l'une à être situé sur l'autre.

Soit Di la position occupée par D, après une certaine translation amenant un de ses points sur D'.

Si le parallélisme de D, D' consiste en ce que D peut être appliquée sur D' par translation, D' et D,, positions finales de la même figure D, acquises par translations difi'ércntcs, peuvent aussi être superposées par un tel déplacement (38, III). Mais, par hypothèse, ces droites ont un point commun; donc elles coïncident (40).

Si, au contraire, c'est D' qui est applicable sur D par translation, D, est la position finale de D' après deux translations, l'une amenant ainsi D' en D d'abord, puis de D en D, ; D, peut, par suite, être ramenée en D' par une seule translation (38, III); donc encore D' et D, coïncident.

42. Deux droites parallèles distinctes sont dans un même plan et ne se rencontrent pas.

Soient en effet AB, A'B' (fig. 7) ces deux parallèles, A' étant la position du point A après une translation qui superpose la première à la seconde. La droite AA' est évidemment une glissière ; donc (36, II) le plan conduit par cette droite et par AB (21, IV) glisse simplement sur lui-même. Il en résulte que la droite AB reste dans ce plan pendant toute la translation et que, par suite, sa position finale A'B' s'y trouve également.

D'autre part, si nos deux droites avaient un seul point commun, elles coïncideraient contrairement à l'hypothèse, puisqu'elles peuvent être superposées par une simple translation (40).

43. Par un point donné quelconque M (fig. 8), on peut toujours mener à une droite donnée quelconque AB, une parallèle et une seule. {Cf. 63, inf.)

Pour cela, il suffit de chercher la position MB' que prend la droite donnée, quand un de ses points A vient coïncider avec M, après une translation ayant AM pour glissière (38, 1).

Soit ensuite MB" une parallèle d'origine quelconque passant aussi par M ; les droites MB', MB" étant, relativement à la même figure AB, deux positions finales, l'une acquise par translation, l'autre susceptible de l'être (39), peuvent aussi se superposer par translation (38, III) ; d'ailleurs elles ont le point M commun, donc elles se confondent (40).

Quand le point M est situé sur la droite AB, celle-ci se confond évidemment avec la parallèle cherchée.

44. Deux droites A'B', A"B", parallèles à une même troisième AB, le sont aussi l'une à l'autre. Elfectivemcnt, elles peuvent coïncider par translation, puisque ce sont deux positions de AB pouvant être atteintes par des translations (39 1, i38, III).

Quand des droites en nomljre quelconque sont deux à deux parallèles, on dit qu'elles sont toutes parallèles les unes aux autres.

Droite et plan parallèles.

45. Quand une droite et un plan ont un point commun et que l'an peut être appliqué sur l'autre par une translation [c'est-à-dire quand ils sont parallèles (39i], la droite est située tout entière dans le plan. Raisonnement tout semblable à celui du n" 40, et laissé aux soins du lecteur.

46. Une droite et un plan parallèles s'appliquent mutuellement après toute translation amenant quelque point de l'un sur l'autre. Raisonnement analogue à celui du n" 41.