OA + OP)(OB-OP) = PA.PB

ce qu'il fallait constater {Cf. 523, inf).

506. Deux cordes MA, MB {fig. 120) joignant un même point M d'un cercle aux extrémités d'un même diamètre AB, sont conjuguées, c'est-à-dire parallèles à deux diamètres conjugués (501), par suite, perpendicukdr es l'une ci l'autre.

Comme le centre O du cercle est le milieu du diamètre AB, la parallèle menée par lui à MB, l'une des cordes, trace sur l'autre MA son milieu aussi rd (146); elle se confond donc avec le diamètre conjugué à la direction MA, qui lui est perpendiculaire.

Réciproquement, l'intersection M de deux droites menées par les extrémités d'un diamètre AB dans des directions conjuguées, c'est-à-dire perpendiculairement l'une sur l'autre, est toujours sur le cercle.

Car la parallèle à BM par exemple, menée par le centre O, milieu du diamètre, coupe AM en son milieu es aussi, et, comme

CKHCLE DKTKHMINK PAM TUOIS POINTS. 261

elle lui est perpendiculaire, on a OM^ 0A== le rayon du cercle (254), {Cf. 565, inf.).

507. Par trois points donnés quelconques, non situés en ligne droite, A, B, Cifig. 121), on peut toujours faire passer un cercle, mais un seul {Cf. 519, inf.).

Si un cercle de ce genre existe, il a pour diamètre chacune des droites élevées perpendiculairement aux côtés BC, CA, AB du triangle ABC par leurs milieux P, Q, R (501), et ces droites concourent en un même point qui est son centre. Or, c'est ce qui a lieu, car les segments AB, AC n'appartenant pas à une même droite, par hypothèse, leurs perpendiculaires en R, Q ne sont pas parallèles, se coupent, par suite, en un certain point O, et celui-ci appartient aussi à la perpendiculaire élevée en P sur le troisième côté BC, parce que l'on a OA = OB et OA = OC, d'où 0B = 0C(254).

Ce point de concours O étant unique, le cercle qui l'a pour centre avec la valeur commune des trois distances égales OA, OB, OC pour rayon, est celui dont parle l'énoncé, et aucun autre évidemment ne peut en remplir les conditions. {Cf. 570, inf.)

Quand les trois points donnés sont sur une même droite, le cercle en question n'existe pas s'ils sont distincts, soit parce qu'un cercle ne peut avoir trois points sur une même droite (499), soit parce que les trois perpendiculaires considérées ci-dessus sont alors parallèles et ne se rencontrent pas.

Quand deux seulement coïncident, le cercle en question n'est assujetti, en réalité, qu'à la condition de passer par deux points distincts. A, B, par exemple, et il en existe une infinité de tels; ils ont pour centres les divers points de la perpendiculaire élevée sur AB en son milieu R, pour rayons les distances de chacun d'eux à A ou à B, qui sont toujours égales entre elles.

Quand A, B, C se confondent en un seul point A, tout cercle ayant pour centre un point quelconque du plan et pour rayon sa distance à A, passera par tous trois.

508. La propriété suivante du triangle est impliquée dans ce qui précède : Les trois perpendiculaires élevées sur les côtés par leurs points milieux, concourent en un même point, centre du cercle circonscrit cm triangle.

On dit effectivement qu'une ligne est circonscrite à un polygone, quand celui-ci y est inscrit (457).

509. Un cercle variable qui passe par deux points fixes A, B {fig. 122) et dont le rayon augmente indéfiniment, a pour position-limite (445) la droite AB déterminée par ces deux points.

I. Le centre o de ce cercle se meut forcément sur la perpendiculaire

élevée au segment AB par son milieu oj (254), et il s'éloigne indéfiniment de AB à cause de wo' = Ao' — ojA", et de ce que ojA est une constante, tandis que Ao, rayon du cercle, est une quantité infinie par hj'pothèse.

Soient maintenant M un point fixe de la droite AB, extérieur au segment AB pour fixer les idées, et m celle des deux extrémités du diamètre du cercle mené par ce point, qui tombe du même côté que lui par rapport au centre o. Comme o se meut sur une perpendiculaire à la droite MA, la différence

Mo" — Âô' = (Mo — Ao)(Mo -|- Ao) se réduit à quelque constante k (Ibid.), d'où

Mm = Mo — 7710 = Mo — Ao

Mo ^ Ao

et M7n est une quantité infiniment petite parce que, dans le dénominateur de cette expression, Mo est évidemment infinie comme Ao (441). Le point fixe M est donc la position-limite de quelque point 777 appartenant au cercle.

II. Soit maintenant 77 un point du cercle qui aurait pour positionlimite un point fixe X, étranger à la droite AB. On constatera sans difficulté que la droite mobile B77 aurait BX pour position-limite, puis que sa perpendiculaire élevée en p, milieu de B77, aurait pour position-limite celle élevée sur BX en son milieu P, et enfin que le centre o du cercle, trace mobile de la première perpendiculaire sur celle en d au segment AB, se rapprocherait indéfiniment de O, trace fixe de la seconde, au lieu de s'éloigner indéfiniment. Donc il est impossible que X ne soit pas sur la droite AB, ce qui achève notre démonstration.

On prouverait de la même manière, et même plus facilement, qu'un cercle variable de rayon infini, a une droite fixe pour position-limite, quand, au lieu de la couper en deux points fixes, il lui demeure tangent en un point fixe (510, inf.).

Ces propositions révèlent entre le cercle et la droite, une certaine analogie qui permet d'élargir plus d'un aperçu. Par exemple, quand les trois points A, B, C du n" 507 sont en ligne droite, on pourrait considérer celle-ci comme une dégénérescence du cercle remplissant les conditions de l'énoncé, dire en même temps que le cercle vu ainsi en elle, a son centre à l'infini, dans la direction commune des trois perpendiculaires, ce mot infini remplaçant, dans le langage, le point de concours de ces trois droites qui a disparu (448).

Tangente.

510. Un cercle n'a aucun point singulier (449), et sa tangente en un quelconque de ses points M (fig. 123) est la perpendiculaire MT élevée en M (dans le plan du cercle), sur le rayon OM aboutissant au point de contact (450).

La première partie de cet énoncé est au-dessus de nos

TANGKXTE RX UN POINT. 2()3

moyens. La deuxième résulte de ce que la droite OM est toujours un axe de symétrie du cercle (498, II), (474, IV) qui, en outre, est une courbe plane (451).

On remarquera qu'ainsi, l(t laïujcnlc est panillèle aux cordes dont la direction est conjuguée au dicunèlre passant par son point de contact (501).

Si le cercle était nul, se réduisant à son centre O (497), il n'aurait point de tangente déterminée, ou bien encore on pourrait le considérer comme possédant à ce titre, toute droite issue de 0. Dans ce cas exce|)tionnel, son point unique O doit être considéré comme singulier.

511. (domine il s'agit ici d'une courbe parliciilicrc très simple, nous pouvons démontrer, pour sa tangente, la propriété générale du n" 450, sur laquelle la ])roposition précédente est indirectement appu^'ée.

Soient ni' (fitj. l'Jli) un point mobile du cercle, se rapprochant indéfiniment de M, et ri' le pied de la perpendiculaire aliaissée du centre O sur la corde Mm pivotant autour de M. Le triangle MO/n' étant isoscèle à cause de Om' = OM = /• rayon du cercle, on a fS'm' =: ta'M, 6J Om' = 5} OM = MOm' : 2 (238), et, en outre, dans le triangle OcJ'M, rectangle en td', sin rd'OM = rrf M : OM, c'est-à-dire, par ce qui précède,

• 1 yir^ ■ ^^"^ sni - MO;;i = .

On en conclut que ce sinus variable est une quantité infiniment petite, puisqu'il en est ainsi, par hypothèse, pour la corde Mm', et que, 2r est invariable. Son angle MOm' : 2, ainsi que MOm' double de celui-ci, sont donc infiniment petits tous deux (443 l)is, I), et si m' est un autre point du cercle infiniment voisin de M, l'angle .MOm" est infiniment petit pour des causes semblables.

Soit maintenant a le pied de la perpendiculaire abaissée du centre O sur la corde m'in', et supposons, pour fixer les idées, que les demidroites Om', Om" sont placées d'un même côté de OM, que l'angle MOm est plus petit que MOm'. I^'angle m'Om' est alors l'excès de MOm', sur MOm', par suite infiniment petit comme ceux-ci le sont tous deux, et l'angle raOm , moitié de m'Om" parce que le triangle m Om" est isoscèle, est encore infiniment petit. Le triangle Orim , rectangle en a, donnant

Ocd = Om' cos riOni = r cos aOm',

on a lim On = r, parce que lim cos aOm' = 1 (Ibid.). On a en outre

^fr^w ^n ■ i r,^ \rn i MOm" - MOm' MOm' -f xMOm' MOtd = M0727 -[- m Osi — MOm -\ = ! .

moj'ennant quoi, cet angle MOsj est infiniment petit encore, comme ceux dont il est ainsi la demi-somme.

A partir du moment où le même angle MOsi demeure plus petit que l'angle droit, la demi-droite mobile tdm' rencontre sans cesse la demidroite fixe OM en un certain point m mobile sur cette dernière, parce

que ces demi-droites sont d'un même côté de Oa, faisant avec elle des angles mriO (= 1 dr.), MOci, dont la somme est inférieure à l'angle neutre (deux droits) (216 ter). De l'existence du triangle OtS/n rectangle en trf, on conclut

Orna -- 1 dr. — MOtb,

Om

cos MOsJ

d'où lim Omri = 1 dr., parce que lim MOfrf ^ 0, et lim Om = r — OM, à cause de lim Oss = r, comme on l'a vu ci-dessus, et de lim cos MOd = 1, parce que lim MOfS = 0 (443 bis, I).

Ainsi donc, la sécante mobile mm" coupe la droite fixe OM en un point m ayant M pour position-limite, et fait avec elle un angle variable ayant l'angle droit pour limite. Elle a donc pour position-limite la droite MT qui passe par M et y fait avec elle un angle droit, puisque ces deux conditions sont de nature à déterminer entièrement la position d'une droite (446, II).

Raisonnement presque identique, dans l'autre cas où les demidroites O/n , Om' tombent de part et d'autre de OM.

512. De cette propriété fondamentale, il résulte que les tangentes à un même cercle sont à des distances du centre toutes égales au rayon, et, par suite, que sur une même tangente, tout point, sauf celui de contact, est extérieur au cercle, puisque sa distance au centre excède celle delà tangente (262), c'est-à-dire le rayon.

Les tangentes se confondent ainsi avec ces droites remarquables, dont chacune ne rencontre le cercle qu'en un seul point (499, 2°).

On notera encore, que, pour obtenir le point de contact de toute tangente donnée, il suffit de prendre le pied de la perpendiculaire abaissée du centre sur elle.

513. Par un point I (fig. 124) extérieur à un cercle, on peut lui mener deux tangentes, mais aucune par un point intérieur.

La dernière partie de l'énoncé est évidente, car une tangente quelconque ne peut passer par aucun point intérieur (512).

Supposons maintenant, qu'il existe quelque tangente MI passant par le point I, et soient r le rayon du cercle, P le pied de la perpendiculaire abaissée de M sur le diamètre 01. La tangente Ml en M étant perpendiculaire sur le raj'on OM allant au point de contact, le triangle OMI est rectangle en M et donne ÔM'' = r2 ^ 01 . OP (228), ou bien

et le pied P est ainsi à une distance du centre égale à la troisième proportionnelle aux segments connus r, 01 (156).

TANGKNTKS ISSUKS D'UN POINT KTRANOEH. 205

Hi'ciproquemcnt, si l'on prend OP égal à cette troisième proportionnelle, on aura ()1*</-, à cause de la relation (1) pouvant s'écrire

(2) OP = r.^

et de r < 01, et la perpendiculaire élevée en P sur 01 coupera certainement le cercle en deux points distincts M, N <499, 1°)- Cela posé, les droites IM, IN seront tangentes au cercle en M, N; car, à cause de leur angle commun en 0 et de la relation (2), pouvant s'écrire