OP OM

C)M " Tn'

entre les paires de côtés qui comprennent cet angle dans l'un et dans l'autre, les triangles OPM, OMI sont équiangles, d'où OMI = OPM = 1 dr. La droite IM, passant par le point M du cercle où elle est perpendiculaire au rayon, est donc sa tangente en ce point (510) ; et de même pour l'autre droite IN.

Le même raisonnement montre d'une autre manière, l'impossibilité de l'existence d'une tangente dans le cas où le point donné I est intérieur au cercle; car alors 01 est < r, d'où OP > r (2), et la perpendiculaire élevée en P sur 01 ne rencontre pas le cercle (499, 3').

Quand I est sur le cercle, la tangente en ce point remplit les' conditions de l'énoncé. Mais comme alors, et à cause de 01 = r, d'où OP =: /'- : /' = /', la perpendiculaire en P coupe le cercle suivant deux points confondus en P (en I tout aussi bien), cette tangente est la seule passant par I, et on peut encore la considérer comme double, c'est-à-dire résultant de la confusion des tangentes IM, IN, qui sont distinctes quand I est à l'extérieur du cercle (499, 2°).

514. Comme le segment MN (//r/. 124), dit corde des contacts, est perpendiculaire sur le diamètre 01 (513), son pied P est son milieu en même temps, d'où résulte inuuédiatement, par rapport à l'axe 01, la symétrie des points M, N, puis celle des triangles OMI, ONI.

On en conclut que les longueurs IM, IN des tangentes issues de l, sont égales entre elles, et que le diamètre 01 conjugué à la direction de la corde des contacts est la bissectrice des angles MIN, MON formés tant par ces tangentes, que par les rayons allant à leurs points de contact.

Parce qu'il est rectangle en M, le triangle OMI donne, pour le carré de la longueur commune des tangentes issues de I (227), ^^

Ïm' = Ôl' — OU' = of - r-,

excès du carré de la distance du point I au centre, sur celui du rayon.

515. Le tracé d'une tangente au cercle, assujettie à passer par un point extérieur I {fig. 124), revient ainsi à la construction d'une certaine droite auxiliaire, savoir la perpendiculaire en P sur le diamètre 01, qui dépend elle-même de celle d'une troisième proportionnelle (513), puis à la recherche de ses intersections avec le cercle (499). Cette droite qui existe toujours, même quand le point donné est à l'intérieur du cercle ou sur lui, cas où elle se confond avec la tangente, jouit des propriétés les plus remarquables (530, inf.) ; on la nomme la polaire du point donné par rapport au cercle, et ce point I est son pôle. Quand un point est extérieur au cercle, sa polaire est donc la corde des contacts des tangentes issues de lui.

On retiendra que la polaire d'un point est perpendiculaire au diamètre passant par ce point, et que le produit, des distances au centre, de cette droite et de son pôle, est toujours égal au carré du rayon.

516. Le problème traité au n° 513 est susceptible d'une autre solution pratiquement plus simple, mais théoriquement moins bonne, parce qu'elle fait intervenir un autre cercle, là où une simple droite suffit.

Puisque les angles OMI, ONl (Jig. 124) sont droits, les points M, N appartiennent tous deux au cercle décrit sur 01 comme diamètre (506). Pour obtenir les points de contact des tangentes menées au cercle par le point I, il suffit donc de chercher ceux où il est coupé par ce cercle auxiliaire (587, inf.).

517. Parallèlement à toute droite donnée KK' {fig. 119), on peut mener deux tangentes à un cercle.

Ces tangentes sont celles évidemment, qui ont pour points de contact les traces S, T du cercle, sur le diamètre OU perpendiculaire à la droite donnée.

Le diamètre perpendiculaire à une direction est ainsi la corde de contact des tangentes parallèles à celle-ci, et il joue, dans cette question, le rôle de la droite auxiliaire MPN que nous avons rencontrée au n" 513.

Le diamètre JJ' parallèle à la même direction, c'est-à-dire conjugué à la direction de la corde des contacts ST, est ici, comme la droite 01 du lieu cité, l'axe de sj-métrie de la figure constituée par les mêmes tangentes et leurs points de contact, la bissectrice encore, tant de la bande limitée par les tangentes, que de l'angle SOT (neutre) compris entre les rayons OS, OT qui aboutissent à ces derniers.