CERCLES DONT DES TANGENTES SONT DONNÉES

conjugué, d'une corde et des tangentes en ses extrémités (514j, (517), il résulte que ces tangentes font des angles égaux avec cette corde, c'est-à-dire qu'une sécante quelconque coupe toujours un cercle sous deux angles égaux (456).

519. Par deux points donnés A, B (fig. 125), et tangentiellemenl en l'un d'eux B, à une droite donnée BT passant par ce point mais ne contenant pas l'autre, on peut toujours faire passer un cercle et un seul.

II est évident que le cercle en question a pour centre l'intersection O des deux droites non parallèles, obtenues en élevant des perpendiculaires sur le segment AB en son milieu za et sur la droite BT au point donné B (507), (510), son rayon étant, d'autre part, la valeur commune des distances OA, OB. Quand l'angle ABT est droit, ces deux perpendiculaires se confondent, et le centre O du cercle cherché est le milieu du segment AB. (On constaterait sans difficulté, que ce cercle est la position-limite de celui du no 507, quand les points A, B restant fixes, le troisième G se rapproche indéfiniment du second B sur une droite fixe, telle que BT.)

Quand la droite T passe par A, le cercle considéré n'existe pas, soit parce qu'une tangente ne peut avoir que son point de contact sur le cercle, soit parce que les perpendiculaires dont l'intersection fournit le centre, sont alors parallèles. Ou bien (509), on pourrait dire qu'il dégénère en la ilroite AB.

Quand A, B se confondent, tout cercle ayant pour centre un point O de la perpendiculaire en B sur la droite BT, avec OB pour rayon, satisfait évidemment aux conditions de l'énoncé.

520. Construire un cercle qui soit tangent à trois droites données.

Le cas le plus étendu et le plus intéressant est celui où, prises deux à deux, ces trois droites se coupent en des points tous trois distincts, constituant ainsi les sommets d'un triangle (déchevêtré) ABC (fig. 126).

Comme le centre d'un cercle tangent à deux droites concourantes (distinctes) se trouve sur la bissectrice de l'un de leurs angles, soit parce qu'il est équidistant de l'une et de l'autre (264), soit parce que nous l'avons reconnu explicitement au no 514, celui du cercle cherché ne peut être qu'un point de concours de bissectrices d'angles intérieurs ou extérieurs du triangle ABC ayant leurs sommets aux trois points A, B, C respectivement. Comme, d'autre part, tout point équidistant de deux droites cO, C et, en même temps, de l'une d'elles lO et d'une troisième ^', l'est évidemment des deux dernières C, .'■ {Cf. 507), deux des bissectrices en question ne peuvent se couper autre part que sur une troisième. II en résulte qu'on

obtiendra un point pouvant être le centre d'un cercle satisfaisant aux conditions de l'énoncé, en prenant, quand elle existe, l'intersection des bissectrices de deux pareils angles quelconques seulement, puis, qu'on trouvera efîectivement un tel cercle en lui donnant pour centre ce point (264), pour rayon sa distance, alors uniforme, aux trois côtés du triangle (512). Il ne reste plus ainsi, qu'à discuter l'intersection des bissectrices d'angles intérieurs ou extérieurs, ayant leurs sommets en B, C par exemple.

Les demi-bissectrices Bft,, Ce, des angles intérieurs B, C, qui sont placées dans le demi-plan BCA, se rencontrent en un point O qui est intérieur au triangle, situé, par suite, sur la bissectrice Atti de l'angle intérieur en A.

B + C Car la somme des angles CBb^ BCc^ qu'elles forment

avec les demi-droites BC, CB respectivement, est inférieure à

l'angle neutre (deux droits), puisque B + C = 2 dr. — A (211) est

déjà telle (216 ter). Ce point O est intérieur au triangle, parce

qu'il l'est à chacun des angles B, C dont la région commune est

évidemment l'intérieur du triangle.

Les demi-bissectrices Bb,„ Cc^ des angles extérieurs de sommets

B, C, qui sont placées dans le demi-plan opposé au précédent, se

rencontrent en un point Oi qui est intérieur à l'angle A, situé, par

suite, sur la bissectrice intérieure Aa,, mais extérieur au triangle.

^ , ^ , 2 dr. — B 2 dr. — C , B + C

Car la somme des angles ( = 2 dr.

qu'elles font avec BC, CB est encore inférieure à l'angle neutre. Le point 0^ est intérieur à l'angle A, parce qu'il est situé à la fois dans les demi-plans ABC, ACB dont la région commune définit l'intérieur de cet angle; mais il est extérieur au triangle, parce qu'il appartient au demi-plan opposé à BCA, contenant tout l'intérieur du triangle.

Les demi-bissectrices Bb^, Cc^des angles de sommets B, C, l'un intérieur, l'autre extérieur, qui sont dirigées dans le demi-plan BCA, se coupent en un point O2 intérieur à l'angle B, mais extérieur au triangle, situé par suite sur la bissectrice extérieure

B C AOe. Car la somme des angles à considérer ici est — -| \-l dr.

B + C 2dr. — A A = 1 dr. H -~ = 1 dr. H = 2 dr. < 2 dr. Le

point O2 est extérieur au triangle, parce qu'il est situé sur une bissectrice extérieure.

On reconnaît de la même manière, que les bissectrices Bb^, Cc; se coupent en un point O3 intérieur à l'angle C, mais extérieur au triangle, situé sur la bissectrice Aa^,

Les quatre cercles de centres O, O,, O», O3 et de rayons égaux