CERCLES DÉTERMINÉS PAR TROIS TANGENTES

à leurs distances uniformes aux côtés du triangle, sont les quatre solutions possibles du problème. Comme la moitié d'un angle saillant est forcément aiguë, on constatera immédiatement (213) que les points de contact du premier avec les droites données sont situés tous trois sur les côtés mêmes du triangle ABC, tandis que, pour les trois autres, les contacts sont placés 1 sur un côté, 2 sur des prolongements des deux auti-es. Le premier cercle est inscrit, les trois derniers sont exinscrils dans le triangle qui, lui, est dit circonscrit à chacun de ces quatre cercles.

Nous devons laisser au lecteur le soin d'examiner ce qui se passe pour les autres dispositions possibles des trois droites données.

Quand deux d'entre elles sont distinctes et parallèles entre elles, mais non à la troisième, il n'y a rien pour remplacer la bissectrice de l'angle extérieur qu'elles formeraient autrement, et, à celle de l'angle intérieur, se substitue la bissectrice de la bande dont elles sont les côtés. Les solutions se réduisent à deux cercles inscrits dans cette bande, ayant, par suite, des raj'ons égaux. Quand elles sont concourantes et distinctes, leur point de concours, considéré comme un cercle de rayon nul (497), fournirait à la rigueur une solution dégénérée quadruple. . .

521. La solution du cas principal traité ci-dessus, se résume dans cet énoncé qui- formule une propriété intéressante du triangle.

Les trois bissectrices de ses angles intérieurs concourent au centre du cercle inscrit ; celles des angles extérieurs en deux sommets et de l'angle intérieur au troisième, concourent encore, mais au centre d'un cercle exinscrit.

Puissance d'un point par rapport à un cercle.

522. Un point K, intérieur on extérieur à un cercle, est, en même temps, intérieur ou extérieur et toute corde M'M" dont la droite passe par lui; et réciproquement.

Pour un point intérieur K, (fig. 127), on a, par définition (500), OK;<OM' rayon du cercle, et pareillement OK;<OM";d'où (262) tdK, < 5iM', aKi < r^M", a étant le pied de la perpendiculaire à M'M", issue de O ; K, est donc intérieur à la corde aussi, puisque n est le milieu de celle-ci (501). Raisonnement tout semblable pour un point extérieur et pour les réciproques.

523. Quand plusieurs droites issues d'un même point K (fig. 127) rencontrent une circonférence, le produit KM'. KM" des deux

segments limités par les traces de chacune et le point en question, offre la même valeur pour toutes.

Et, en représentant par r le rayon du cercle, par d la distance de son centre au point K, on a, pour un point intérieur K,,

K,.M'.K,M" = r- — rf-^

carré de la demi-corde menée par K, perpendiculairement an diamètre OK,- (503j; on a, pour un point extérieur K^,

carré de la longueur commune des tangentes issues de ce point (514), et, naturellement, pour un point K de la circonférence,