KM' . KM" = (J

puisque Vun de ces segments, au moins, s'évanouit.

Soit a le milieu du segment M'M", pied de la perpendiculaire abaissée du centre 0 sur lui.

Pour un point intérieur K,, on a

KiM'.KiM" = (63M' + ciKi)(aW — tssKO = (gsM + tàKi)(aM' — csK,) = Sm"^ — ^SKi = SÂT' — (ÔK^' — Ôa) == {^M"' -i- tàô') - ÔK^' = r^ — d^,

parce que les deux triangles OsaK,-, OgjM' sont rectangles en ta, ayant d, r pour hypoténuses, et cette expression est bien la même pour toutes les sécantes.

Pour un point extérieur K^, on a

KeM'.KeM" =- (oKe + C}M'>(5SKe — 5iM") = d'- — r^ ,

comme le montrera la fin du raisonnement précédent. Ce produit de segments est encore le carré de la longueur de la tangente K,iM, parce que l'on a csM' = tdM" = 0 et K^M' = K^M" = KgM, quand il s'agit d'une tangente issue de K^.

Ce théorème fondamental comprend évidemment celui du n" 505, comme cas particulier très restreint. La tradition classique l'appuie sur les propriétés des angles inscrits (550, inf.), mais la démonstration précédente nous paraît préférable, parce qu'elle met en jeu des principes différents en nombre moindre, et, d'autre part encore, parce que c'est à la considération des segments rectilignes, que toutes les relations numériques de la Géométrie se rattachent le plus directement.

524. Le même théorème fournit un moyen des plus précieux pour reconnaître si quatre points donnés A, J, B, I {fig. 128) (dont trois quelconques ne sont pas en ligne droite) sont sur un même cercle, ou bien, comme on le dit souvent, si le quadrilatère AJBI est inscriptible (dans quelque cercle).

Quand la droite AJ de deux de ces points rencontre celle BI

PUISSANCE d'un' point PAR RAPPORT A UN CERCLE. 271

des deux autres en quelque point K, la condition évidemment nécessaire, mais suffisante aussi, est que K soit intérieur ou extérieur aux deux segments AJ, BI ci la fois (522;, et que Von ait réyalité

KA.KJ = KB.KI.

Car, en appelant l' la trace sur BI, du cercle passant par A, J, B (507), r sera extérieur au segment BK dans la première hypothèse, et l'on aura

KA.KJ = KB.K1' (523),

moyennant quoi, les segments Kl, Kl', déjà de directions identiques, seront égaux en longueur, et I se confondra avec V. Même raisonnement dans l'autre hypotlièse.

Quand les cordes AJ, BI sont parallèles, la condition est que la droite unissant leurs milieux soit perpendiculaire à toutes deux ; il faut effectivement que cette droite soit le diamètre conjugué à leur direction (501), et cela suffit évidemment. La figure formée par les quatre points considérés, admet alors un axe de symétrie.

325. Etant donnés trois points A, B, C non en ligne droite, et une droite AT passant par le premier, mais ne contenant aucun des deux autres, on trouvera de la même manière, la condition requise pour qu'une circonférence puisse passer par ces points et avoir, en même temps, la droite AT pour tangente en A.

Quand AT rencontre BC en quelque point K, il faut que celui-ci soit extérieur au segment BC et que l'on ait KA" =: KB . KG (523).

Quand AT est parallèle à BC, la condition est que toutes deux soient perpendiculaires à la droite Joignant A au milieu de BC (501), (510), c'est-à-dire encore, que la figure formée parles points et la droite donnés admette un axe de symétrie.

On peut assimiler ces cas aux précédents (524), en regardant les quatre droites AB, BC, CA, AT comme formant un quadrilatère ABCAA, dont deux sommets se confondent en A, constituant les extrémités d'un côté de longueur nulle, mais de direction conventionnelle AT.

526. Construire un cercle qui passe par deux points donnés A, B {fig. 129) et soit tangent à une droite donnée T ne contenant ni A, ni B [Cf. 519).

lo Quand la droite donnée T rencontre la droite AB en quelque point K, le problème est impossible si K est intérieur au segment AB ; car ce point serait intérieur au cercle si celui-ci existait (522), alors qu'aucune tangente à un cercle ne peut passer par un point intérieur.

Si K est extérieur à AB, soit t le point de contact du cercle cherché avec sa tangente T. La relation

(1) K"r=::KA.KB (523)

donne Kt=yKA.Ï\.B, longueur maintenant connue que l'on portera sur la droite T pour avoir le point /. Les trois points A, B, t qui ne sont pas en ligne droite, déterminent un cercle (507» qui sera bien tangent en / à T, à cause de la relation (1) (525).

La même longueur Kt pouvant être encore portée en Kt' dans la direction opposée, une seconde solution est fournie par un cercle tangent en /', et il n'en a évidemment pas d'autre.

Le segment Kt, moyenne proportionnelle entre KA et KB, peut être obtenu par une construction géométrique que nous indiquerons plus tard (593, inf.).

2° Quand la droite donnée T (fig. 119) est parallèle à la droite qui joint les points donnés A, A', son point de contact sera évidemment son intersection avec la perpendiculaire PU, élevée sur le segment AA' en son point milieu P (525). Alors il y a toujours une solution, mais la seconde a disparu.

527. Construire un cercle qui passe par un point donné A, et soit tangent à deux droites {distinctes) données T, U ne s'y coupant pas.

Dans un cercle, une corde quelconque M'M" (fig. 127) ne pouvant couper une tangente en un point M distinct de M', M", sans que l'intersection K^ soit extérieure au cercle (512), à cette corde par suite (522), les directions K^M', K^M" sont forcément identiques. En conséquence (25), tous les points du cercle (sauf M), son centre évidemment aussi, sont situés à la fois dans l'un ou dans l'autre des demi-plans opposés ayant une tangente pour arête commune.

Si donc le cercle cherché existe, ses points et son centre ne peuvent se trouver que dans la région du plan commune aux deux demi-plans TA, UA.

lo Quand les droites données se coupent en quelque point I (fig. 129), cette région commune est l'intérieur de celui de leurs quatre angles saillants auquel le point donné A est intérieur (159, 1), s'il n'appartient pas à l'une des droites; et la bissectrice IJ de cet angle fournira immédiatement un diamètre du cercle cherché (514). On en trouvera un second point en prenant le symétrique B de A, par rapport à ce diamètre. Ce point B se trouvant comme A à l'intérieur de l'angle, le segment AB sera coupé extérieurement par chacun de ses côtés IT, lU ; par ses extrémités A, B, on pourra donc faire passer deux circonférences tangentes à l'une des droites données (526, 1°), et ces