CERCLES DÉT. PAR DEUX POIXTS ET UNE TANGENTE, ETC

cercles seront taiiffcnts aussi à raiitre, à cause (ie la symétrie de toute la figure |)ar rapport à la droite IJ. Il n'y a évidenuiient aucune autre solution.

2" Quand A est sur l'une des droites T, U, ses symétriques B,, B.,, par rapport aux deux bissectrices des anj^les jumeaux compris entre elles, seront évidemment les points de contact avec l'autre droite, de deux cercles répondant à la question (519).

3" Quand les droites données T, U sont parallèles, et le point donné A intérieur à leur bande, on procédera exactement comme ci-dessus (1°) en remplaçant seulement la bissectrice de l'angle par celle de la bande (265), et on trouvera encore pour solutions, deux cercles de rayons alors égaux. La solution serait unique-, si A était sur l'une des droites données.

Si ce point est extérieur à la bande, le problème est impossible, parce que la région commune aux deux demi-plans TA, UA est extérieure à la bande, intérieurement à laquelle le centre du cercle demandé (501) et tous ses points, par suite, devraient au contraire se trouver.

\'u de plus haut, ce problème aurait jusqu'à quatre solutions, dont deux imagiiKiires dans le cas 1", deux doubles dans le cas 2°. . .

528. Le produit de segments dont nous avons constaté l'invariabilité au n" 523, sur une sécante mobile issue d'un même point K, joue un très grand rôle dans la théorie du cercle, et se nomme la puissance de ce point par rapport à la circonférence considérée.

En vertu des conventions expliquées au n» 135, III, les signes de ces segments qui ont toujours l'extrémité commune K, sont contraires ou identiques, selon que ce point est intérieur ou extérieur à la circonférence (522); moyennant quoi, la puissance de ce point est négative dans le premier cas, positive dans le second, ayant pour expression uniforme d- — ; -, nulle évidemment quand K est sur le cercle.

Propriété harmonique de la polaire rf'iz/j point.

529. La considération du pôle et de la polaire (515) est capitale dans les parties élevées de la théorie du cercle, et nous devons exposer au moins leur propriété la plus importante.

On dit que deux points P, Q (/ig. l'M)) partagent harmoniqiiement un segment donné AB, quand ils le divisent, l'un extérieurement, l'autre intérieurement, dans un même rapport donné quelconque non = 1 (133), c'est-à-dire quand on a la proportion

PB QB

Voici des observations essentielles à ce sujet :

1" Inversement, les points A, B partagent harmoniquement le segment

PQ, car ils lui sont évidemment, l'un intérieur, l'autre extérieur, et la proportion précédente peut s'écrire aussi : AP : AQ = BP : BQ.

La réciprocité existant ainsi entre les couples de points (A, B), (P, Q), a fait nommer rapport harmonique leur disposition relative sur la droite qui les contient tous, et mutuellement conjugués, ceux d'une même paire.

2° La recherche du conjugué harmonique Q d'un point donné P, par rapport à deux autres A, B (en ligne droite avec lui), revient à celle du point qui divise le segment AB dans un i-apport égal à PA : PB (157), mais d'une manière différente. Seulement, il faut que PA : PB ne soit pas = 1, c'est-à-dire que P ne soit pas au milieu de AB, car la division extérieure d'un segment dans le rapport 1 n'est pas possible.

Quand P se trouve en l'un des points A, B, son conjugué s'y trouve évidemment aussi, et se confond par suite avec lui.

3" En rapportant tous les points au seul P extérieur au segment de la paire de points conjugués à laquelle il n'appartient pas, la proportion (1) s'écrit

PA PQ — PA PB ~ PB — PQ ' d'où, en chassant les dénominateurs,