PQ ^ PÂ "^ PB

En substituant à P dans cette opération, son conjugue Q intérieur au segment AB, on trouverait de la même manière

(QB-QA)QP = 2QA.QB, ou bien,

QP " QA " QB"

Le type des relations (3), (4) a une grande importance, par l'extension à des groupes quelconques de points en ligne droite, dont il est susceptible.

4" Le milieu O d'un segment AB limité par une paire de points conjugués, est nécessairement extérieur à celui PQ, que découpent ceux de l'autre paire. Car si de ceux-ci, P est l'extérieur à AB, et s'il tombe sur la demi-droite OA, on a PA < PB, d'où QA < QB à cause de la lelation (1); moyennant quoi Q, intérieur à AB, tombe entre O et A, par suite sur la même demi-droite OA.

Cela posé, si l'on rapporte maintenant les quatre points à 0, on trouvera

(5) ÔÂ' = ()B' = OP.OQ.

Car en supposant toujours P extérieur à AB, la relation (2) prend la forme

20P(0P- OQ) = 2(OP-OA)(OP-hOB)

l'aOI'Ull'nÉ HAHMOMQUE DE LA POLAllU:. 275

que son développement et l'égalité OA = OB ramènent immédiatement à (5).

Ce t^'pe est extrêmcinent utile aussi.

5" Les calculs inverses des précédents montrent sans difficulté, que quatre points (A, H), (P, Q) sont eu rapport harmonique, si, offrant la disposition to|)()grnpliique voulue, ils doiiiient lieu à quelqu'une des relations (2), (;{), (4), (ô).

530. Quand une droite issue d'an point 1 (fuj. 131) rencontre un cercle en M, M", sa trace m sur la potairc de ce point par rapport ù la circonférence, est le conjugué harmonique du même point par rapport à M, M".

Soient P le pied de la polaire sur le diamètre 01 qui lui est peipendiculaire, donnant la relation