OP =r

carré du rayon du cercle (515), et ti le milieu de la corde M'M', pied de la perpendiculaire abaissée du centre O sur elle. Les triangles IPm, IsjO, rectangles en P, ri, avec leurs angles en I identiques, sont équiangles (231), d'où la proportion IP : Icd = Ini : lO, équivalant à

(6) I/rj.l55 = IP.IO.

Mais on a IP ^ 01 — OP = 01 — ;- : 01, d'où

IP.IO = /oi - — Voi = Oï" - r2 = IM .LM' (523).

D'autre part, on a évidemment loi = (IM' -f- IM') : 2. La relation (G) peut donc être mise sous la forme

(IM' + IM'')Im=:21M .LM"

montrant bien (529, 5", 3") que m est le conjugué harmonique de I par rapport à M , M'.

D'après cela, il est évident que 7a polaire d'un point est le lieu de ses conjugués harmoniques par rapport aux traces sur la circonférence, des sécantes issues de ce point Quand le point donne est extérieur, il faut toutefois exclure les régions de la polaire qui sont extérieurs au cercle, car il est facile de s'assurer que les sécantes rencontrant ces régions ne coupent pas le cercle.

531. Sous le bénéfice des conventions du n" 135, III, les rapports (1) dont l'égalité numérique entraîne la relation harmonique entre quatre points en ligne droite, ont toujours leurs termes de signes identiques dans un membre, de signes contraires dans l'autre; en qualifiant donc ainsi ces segments, cette égalité fondamentale s'écrira

— -^ = -1 PB ■ QB

quelle que soit la disposition topographique relative des quatre points.

Pour quatre points quelconques en ligne droite, le même quotient de

deux rapports de segments qualifiés se nomme leur rapport anharmo-

nique, et a une importance extrême dans toute la Géométrie supérieure.

D'après cette définition, la relation harmonique entre quatre points consiste en ce que leur rapport anharmoniqiie est égal à — 1.

Les mêmes conventions donnent aux relations (3), (4) la forme unique (3).

Normale (principale).

532. La normale (principale) (453) à un cercle, en l'un quelconque de ses points M (fig. 132), est le rayon OM qui passe par M; car ce rayon est précisément la perpendiculaire élevée en M (dans le plan du cercle) sur la tangente en ce point.

Inversement, tout diamètre MM' est évidemment une normale au cercle; mais on remarquera qu'il jouit de cette propriété en deux pieds, savoir les points M, M' où il est coupé par le cercle.

533. Pour mener à un cercle une normcde issue d'un point quelconque I, ou parcdlèle à une droite quelconque cO, // suffit donc de mener par son centre une droite IMOM' passant par I, ou parallèle à tO.

Quand le point donné I dans le premier cas est le centre O, le problème est indéterminé, admettant tous les diamètres pour solutions [Cf. 621. inf.).

534. Des deux longueurs de normales IM, IM' que l'on peut mener à un cercle, d'un poinl I autre que son centre, ta première IM ne contenant pas le centre est inférieure, la seconde IM' le contenant est supérieure à la distance Im du même point l à tout cuitre point du cercle.

A cause de Om =: /•, le triangle Olm donne efTectivement (288),

01 — r < \m ou r — 01 < \m suivant que CI ^ r, c'est-à-dire

que I est extérieur ou intérieur au cercle, puis, dans tous les cas, 01 — r>I/7j; on a donc bien toujours IM<I/n<IM' [Cf 262».

Quand le point I se confond avec le centre du cercle, toutes les droites issues de lui fournissent des longueurs de normales égales entre elles et au rayon (Cf. 622, inf.).