CHAPITRE XVII

mesure des arcs de cercles et des aires planes

qu'ils limitent.

comparaison des angles par des arcs de cercles.

Longueur d'un arc de cercle.

535. Un angle rectiligne AOB (fig. 133) qui est dans le plan d'un cercle et a son centre pour sommet, est dit an centre de ce cercle.

Quand il est saillant comme sur notre figure, il est presque évident (510) qu'en aucun point du cercle pris à l'intérieur de cet angle, la tangente n'est parallèle à une droite issue du centre dans l'intérieur des deux angles égaux à celui-ci ,que forment les perpendiculaires à ses côtés, ni, par suite, à un plan traçant une pareille droite sur celui du cercle. Deux quelconques de ces plans n'étant pas parallèles et leur nombre étant illimité, la région continue du cercle (pie forment les points considérés (498, III) (en traits pleins sur la figure), est un arc réduit, d'extrémités A, B (455), et on dit que cet arc est intercepté par son angle au centre AOB.

Cette notion conduit immédiatement à celle d'un arc quelconque et de son angle au centre.

536. Sur un même cercle, la relation topographique de deux arcs (identité ou diversité des directions, contiguïté extérieure ou intérieure, . . .) est identique à celle de leurs angles au centre, et le rapport de leurs longueurs est égal à celui de ces angles.

I. Quand ces arcs sont intérieurs à quelque même angle au centre aigu POQ, toute demi-droite allant du centre O à l'un quelconque M de leurs points, fera un angle aigu aussi, avec une demi-droite fixe OX, prise arbitrairement à l'intérieur de l'angle aigu compris entre OQ et le second côté d'un angle droit porté à partir de OP dans le sens de POQ ; la tangente au cercle en M ne sera jamais perpendiculaire sur OX, et la projection orthogonale m de M sur OX tombera toujours sur cette demi-droite ellemême (213).

Pour fixer les idées, supposons maintenant qu'il s'agit de tels

arcs AB, AC {fig. 134), partant d'un même point A dans des directions curvilignes identiques, et soient a, b, clés projections orthogonales des points A, B, C sur OX.

Les directions (rectilignes) ab, ac étant identiques aussi (455), les inégalités des segments Oa, Ob et Oa, Oc sont de même sens, celles encore, par suite des rapports Oa : r, Ob : r et Oa : /•, Oc : r, ;■ désignant le rayon du cercle, c'est-à-dire des cosinus des angles aigus XOA, XOB et XOA, XOC (240). D'où (242), l'identité des sens des inégalités de ces angles eux-mêmes, puis celle des directions giratoires AOB, AOC, angles au centre des arcs considérés.

Du cas d'arcs réduits de ce genre, on passera sans difficulté à tout autre.

Tout pivotement d'un arc circulaire autour du centre de son cercle le laissant appliqué sur celui-ci (498, I), des arcs quelconques d'un même cercle Jouissent sur lui, comme des segments rectilignes sur une même droite, de la propriété de pouvoir y être juxtaposés extérieurement ou intérieurement, et leurs angles au centre se juxtaposent alors de la même manière.

II. La somme de plusieurs arcs contigus extérieurement a pour angle au centre celle des leurs. C'est une conséquence immédiate de ce que nous venons de voir (I).

III. Quand deux arcs AB, A'B' (fig. 133) sont égaux en longueur, ils sont superposables, et, par suite, leurs angles au centre sont égaux entre eux. Car s'ils n'étaient pas superposables, leur juxtaposition intérieure en a/3, a/î' (I) comporterait l'application de l'un sur une partie de l'autre, mais en même temps la non coïncidence de leurs extrémités /3, /3' ; d'où, entre leurs longueurs, l'existence d'une différence non-nulle, savoir la longueur de l'arc ,3 3'.

IV. Actuellement, la démonstration s'achèvera par les moyens employés dans toutes les questions analogues {Cf. 140, etc.).

537. Sur deux cercles quelconques, deux arcs interceptés par des angles au centre égaux sont dans un rapport égal et celui des rayons.

Soient r, r' les rayons de ces cercles, puis AB, A'B' (fig. 135) les positions où les arcs sont amenés par la superposition en AOB, A'OB' de leurs angles au centre supposés égaux, et m, m', les points où ils sont coupés simultanément par une demi-droite quelconque issue du centre des cercles, devenu commun. Les égalités constantes Om = /•, Om' := /■' donnent la proportion uniforme

Om 7^ 0/77' ~ ?'