RAPPORT DE LA CIRCONFÉRENCE AU DIAMÈTRE

et celle-ci montre que, placés ainsi, nos arcs sont des figures (lirectcnient honiotlu'ticjucs par rapport au centre O (473). On a donc bien ainsi AH : A'B' = /• : /•' {Ibid. VII).

538. Le mot circonférence est encore employé à la désignation d'un arc intercepté par un angle au centre replet (4 droits) ; sur un même cercle, de pareils arcs sont tous égaux entre eux (536) et de moindre longueur parmi tous ceux dont les extrémités se coniondent.

Le rapport de la longueur d'une circonférence à son diamètre est un même nombre pour toutes.

Deux circonférences quelconques de rayons /■, /■' étant des arcs interceptés par des angles au centre égaux entre eux, leurs longueurs /, /' donnent lieu à la proportion

où la permutation des moyens conduit bien à

Ce nombre, uniforme pour tous les cercles, se nomme le rapport de la circonférence au diamètre. Comme il joue un rôle immense dans les sciences mathématiques ou autres, et dans les arts, parce qu'on y rencontre le cercle à chaque pas pour ainsi dire, on a aflecté à sa désignation dans les formules, la lettre spéciale tt, initiale du nom grec Ttepi-^i^ii'x de la circonférence. Bien souvent, elles gagneraient en simplicité et en clarté, à contenir de préférence le rapport de la circonférence au rayon ; l'usage adopté provient vraisemblablement de la facilité relative très grande de la mesure pratique du diamètre d'un cercle matériel, par la largeur d'une bancle à côtés tangents.

Ainsi que tous les calculs nécessaires à la mesure des figures courbes, les procédés naturels pour obtenir ce nombre -ir reposent sur des principes bien au-dessus des Eléments. On a trouvé de cette manière qu'il est incommensurable, et la formule

en donne une valeur dont l'approximation est bien supérieure à toutes les exigences de la pratique {Cf. 616 et suiv., inf.).

539. Les longueurs C., s de la circonférence de rayon r et de l'arc du même cercle dont l'angle cm centre contient n degrés, sont fournies par les formules

La première est maintenant évidente, puisque le rapport de la circonférence C^ à son diamètre 2r est le nombre tt (538).

On a enfin s :C,=: n: 360 (536), d'où la seconde formule par la substitution à C^. de sa valeur 2Trr.

Pour obtenir la longueur d'un arc circulaire donné, il suffit donc, après avoir calculé le nombre tt une fois pour toutes (538), de connaître le rajon de cet arc et son angle au centre. Ce dernier, dans les circonstances pratiques, se mesure au moj^en du rapporteur (597, inf.) ; on peut encore, ce qui vaut mieux, mesurer la corde de l'arc, puis, au moyen des Tables trigonométriques (243), obtenir cet angle dont la moitié a évidemment pour sinus le rapport de la moitié de la corde au rayon.

540. La relation si intime, que le théorème du n" 536 établit entre des arcs d'un même cercle et leurs angles au centre, permet de désigner chacun par le nombre de ses degrés, minutes, ..., c'est-à-dire de ceux que contient son angle au centre. De même, il serait commode quelquefois d'étendre aux arcs les dénominations de ..., saillants, rentrants, ..., supplémentaires, complémentaires, . . . applicables à leurs angles au centre. Il y a à remarquer l'arc neutre ou demi-circonférence, ou encore hémicycle, intercepté par un angle neutre, et aussi l'arc droit oit quadrant, intercepté par un angle droit.

Les points d'un cercle qui sont situés respectivement dans les demi-plans opposés que sépare une sécante quelconque AB (fig. 125), sont ceux de deux arcs replémcntaires, d'extrémités communes A, B. Quand la sécante ne passe pas par le centre, ces arcs sont inégaux, le moindre étant dans le demi-plan qui ne contient pas le centre.

Nous plaçant dans cette dernière hypothèse, soit M un point du cercle placé dans le demi-plan opposé à AIÎO. La droite OM rencontre la droite AB en quelque point m rendant opposées les directions mO, niM (25); d'où Om < OM < OA, inégalité montrant (262) que m est plus rapproché que A, du pied rj de la perpendiculaire abaissée de O sur la sécante, milieu de AB, et qu'ainsi m est intérieur à ce segment. La droite Om est donc intérieure à l'angle saillant AOB (159, III), d'où, pour M, la propriété d'appartenir à l'arc intercepté par cet angle. On constaterait par les mêmes moj'cns, que la partie du cercle située dans le demi-plan ABO, est l'arc intercepté par l'angle rentrant de mêmes côtés OA, OB.

541. La dernière proposition qui suit est quelquefois utile pour la comparaison des arcs circulaires.

Quand deux arcs d'un même cercle sont saillants, il y a entre eux la même égalité ou inégalité qu'entre leurs cordes, et réciproquement.

COMPARAISON DES ARCS PAR LEURS COIiDES. 281

Soient yi^iuM, ifuj. 117) un nrc saillant de corde M, M.,, sur un cercle de rayon r, puis M,OM.j son angle au centre et OP la perpendiculaire abaissée du sommet () du triangle isoscèle M,0M.2 sur sa base .M|M,, droite i)assant par le milieu P de cette base, décomposant ainsi l'angle saillant MjOMj en ses moitiés toutes deux aiguës (238i.

Le triangle OPM,, rectangle en P, donne

PMi = OM, sin POM, (243),

d'où, en doublant,

M,M, = 2rsin — ' =.

après quoi, l'intervention des propositions des n°' 241, VI et 242 conduit immédiatement aux faits directs ou réciproques que nous avons en vue ^536).

Mesure d'une aire plane dont le contour est composé de segments rectilignes et d'arcs de cercle.

542. Deux rayons d'un cercle OA, OB (fig. 136), comprenant un angle inférieur au replet (4 droits), et l'arc AMXPQB intercepté par cet angle au centre, forment un contour évidemment déchevétré (460) qui limite une aire plane nommée secteur circulaire, ayant pour angle celui au centre dont il s'agit.

L'aire d'un pareil secteur a pour mesure {Ibid.} la moitié du produit de la longueur de son arc (539\ par celle du rayon.