DROITE ET PLAN PARALLÈLES

47. Une droite el un plan parallèles n'ont aucun point commun, quand ce dernier ne contient pas la première, dxr, s'il en était autrement, la droite serait tout entière dans le plan (45), (Cf. 42).

48. Quand une droite et un plan sont parallèles, tout plan passant par la première et rencontrant le second, le coupe suivant une droite parallèle à la proposée.

EfTectivenicnt, soient AB, la droite considérée, et A'B', la trace sur son plan parallèle, du plan sécant qui la contient.

Si l'on applique AB sur son plan parallèle par une translation amenant A en A' (46), la droite AA' sera une glissière, et par suite, le plan sécant qui contient AA' (20,1), glissera simplement sur lui-même (36, II). Donc, la droite AB, qui est située dans ce plan, y restera pendant tout le mouvement; et, comme à la fin, elle se trouve en outre dans le plan parallèle considéré, elle coïncide nécessairement avec A'B', intersection de celui-ci par le plan sécant. Donc, les droites AB et A'B' sont superposables par translation, c'est-à-dire parallèles.

49. Quand deux droites sont parallèles, tout plan parallèle à l'une (ou la contenant) l'est aussi à l'autre.

Car une translation équivalente aux deux qui, successivement, peuvent amener la seconde droite à coïncider avec la première, puis celle-ci à être située dans le plan donné (38, III), transportera cette seconde droite dans le plan considéré {Cf. 44).

50. Tous les plans qui sont parallèles à une même droite et passant par un même point, passent aussi par la droite parcdlèle à la proposée y que l'on peut mener par ce point (43).

Car chacun de ces plans est parallèle à cette droite parallèle (49) et a en commun avec elle le point considéré (45).

Par suite : L'intersection de deux j)lans qui sont p(u-allèles à une même droite et se coupent mutuellement, est pcu-allèle à cette droite.

Car, d'après ce qui vient d'être dit, chacun de ces plans contient la parallèle à la droite donnée, menée par tout point commun à l'un et à l'autre.

51. Pcu' tout point donné, on peut mener un plan, et un seul, qui soit ci la fois parcdlèle à deux droites données non parallèles.

Si, par le point donné, on mène, en ^^ffet, des droites respectivement parallèles aux droites données, elles ne coïncident pas, car autrement les droites données seraient mutuellement parallèles (44) ; elles détermineront donc un plan (21, IV), qui est évidemment parallèle à l'une et à l'autre des droites données (49).

24 PARALLÉLISME DES DIVOITES ET DES l'LANS.

Mais aucun autre plan passant par le point donné ne peut jouir de la même propriété. Car il faut, pour cela, qu'il contienne à la fois les mêmes parallèles construites aux droites données (50), c'est-à-dire qu'il se confonde avec celui que nous venons de trouver.

Si les droites données étaient parallèles, les plans, en nombre illimité (21, V), qui passent par leur parallèle commune menée par le point donné (43), (44), leur seraient tous parallèles (49).

52. Par tonte droite donnée, on pent mener an plan parallèle à une autre droite non parallèle à la première, mais un seul.

C'est évidemment celui qui passe par la première droite et par une parallèle menée par un point quelconque de celle-ci à l'autre (49).

53. Par conséquent : Les parallèles à une même droite, menées par tous les points d'une seconde droite non parallèle à la première, ont pour lieu géométrique (14) le plan mené par la seconde parallèlement à la première.

Plans parallèles.

54. Deux plans, dont l'un peut être superposé à l'antre par une translation [c'est-à-dire qui sont parallèles (39)], coïncident nécessairement quand ils ont quelque point commun. Raisonnement tout semblable à ceux des n^s 40, 45.

55. Deux plans parallèles sont superposés par toute translation qui amène sur l'un quelque point de l'autre. Raisonnement des nos 41, 46.

56. Deux plans parallèles (mais non identiques) n'ont aucun point commun. Comme aux n^s 42, 47.

57. Les intersections de deux plans juu-allèlcs par un même plan sécant sont des droites parallèles. Comme au n" 48, on verra facilement que la première intersection se superpose à la seconde par une translation ayant pour glissière une droite quelconque qui joint quelque point de l'une à quelque point de l'autre.

53. Par tout point donné, on peut mener un plan parallèle ci un plan donné, mais un seul. Comme au n° 43.

59. Quand deux plans sont parallèles, toute droite parallèle à l'un (ou située sur lui) l'est aussi à l'autre. Comme au n" 49.

60. Les droites menées par un même point, parallèlement ci un