I. Si la somme

de quantités variables dont le nombre n augmente indéfiniment, tend vers quelque limite S, et si les quantités

Vi, V.2, .■■, v„,

en même nombre, tendent toutes vers quelque même limite Y, mais cela de telle sorte que la plus grande '-?„ de leurs différences avec cette limite soit une quantité infiniment petite, l'expression

u^Vi-{-u.2V.2+ ... +H„y„

a pour limite le produit SV.

On peut effectivement écrire

a) u,v,+ ...+ »„i;„ := u,y -}- {V, - V)] ^ ul\ + (v., - V)]

et la partie de cette expression qui est entre crochets est numériquement inférieure à î/,'f„ + n./-p„ + ... + i//f„=r (zj, + u^ + ...-{- "„)?«. parce que les seconds facteurs de ses termes sont supposés l'être tous à cp^; elle tend, par suite, vers zéro (440, I), puisque l'autre facteur iz, -f . . . -f "„ est fini comme tendant vers la limite S (439). Le dernier membre des égalités (1) a donc bien pour limite celle de sa première partie, c'est-à-dire SV (440, III).

II. Dans l'arc AB du secteur considéré, inscrivons proprement une ligne brisée AMNPQB à côtés zz,, 11.2, . . ., //„ tous inférieurs à une quantité infiniment petite s (460), formant ainsi, avec les rayons OA, OB, un polygone variable dont l'aire a pour limite celle du secteur, et soient v^, r.,, ...,f„ les distances de ces côtés au centre du cercle. Comme, par les rayons OA, OM, ON, . . ., ce polygone est décomposé en triangles AOM, MON, . . . ayant ll^, ».,, . . . pour bases et v^, v.2, ... pour hauteurs, son aire a pour mesure i312)

(2) -n.y, + -a.,u., + . . . + -iij', =^ -iiiiVi + ",'^2 + • • • + «A).

Or la somme «j + «2 + • • • + "«> longueur de la ligne brisée, a pour limite la longueur de l'arc AB où il est inscrit (458). D'autre part, et en appelant ;• le ra} on du cercle, puis a et v la longueur MN de l'une quelconque des cordes tij, u.^, ... et sa distance Oa au centre, on a (503)

d'où

à cause de u < e et de /• + ^ > /" ; il en résulte que les distances u ont /• pour limite commune, olfrant avec elle des différences toutes inférieures à une même quantité infiniment petite.

Le lemme ci-dessus (I) est donc applicable à la recherche de la limite de l'expression (2), pour laquelle il donne bien

arcAB./-