SECTEUR ET SEGMENT DE CERCLE

2" L'iiirc (lu cercle tout eiilier esl mesurée par Trr'. Car elle est un secteur de 360 degrés (lo).

3'' Le rapport des aires de deux secteurs circulaires quelconques (1°) est égal à celui de leurs angles quand ils sont de même rayon (on peut encore raisonner comme au n^ 536), à celui des carrés de leurs raijons quand ils sont d'un même angle. (Comme, dans ce cas, les secteurs sont évidemment semblables <537), on peut encore appliquer le principe général du n" 473, VII.)

544. Un segment circulaire est la partie du plan d'un cercle, dont le contour est formé par une corde dite base, et l'un des arcs replémentaires en lesquels elle découpe la circonférence (540) ; Kx. : AMBA ou AXBMfig. 137).

L'évaluation d'une pareille aire n'offre plus aucune difficulté, dès que l'on connaît son raj'on et l'angle au centre de son arc [ou bien la corde AB de ce dernier, base du segment (539)]. Car s'il s'agit du premier segment dont l'are est saillant, on a évidemment

segm. AMBA = sect. OAMBO — triangle OABO ;

s'il s'agit de l'autre dont l'arc est rentrant, on a pareillement

segm. AXBA = sect. OAXBO + triangle OABO,

et dans les seconds membres de ces formules, tout est maintenant connu.

545. Considérons enfin une aire plane dont le contour est composé de segments reclilignes et d'arcs de cercles quelconques.

Si, combinées avec les côtés rectilignes du contour, les cordes de ces arcs forment un polygone déchevêtré dont aucun côté ne rencontre ceux-ci, il est visible que Taire cherchée s'obtiendra en calculant celles des segments circulaires formés par les mêmes arcs et leurs cordes (544), pour ajouter les unes à celle du polygone, et en retrancher les autres.

Sinon, la subdivision des arcs circulaires en fragments suftisamment petits, ramènera toujours la question au cas précédent.

546. Les aires les plus simples de ce genre après le secteur et le segment, sont les suivantes.

1° Le secteur coronal ABB'A'A (pg. 135), que limitent des segments rectilignes AA', BB' découpés par deux circonférences concentriques de rayons inégaux /■, ;•' sur les côtés d'un même angle au centre commun, et par les arcs AB, A'B' que cet angle intercepte sur elles. L'angle d'un secteur coronal est celui des deux secteurs proprement dits, dont il est la différence évidente.

2° La couronne circulaire, secteur coronal d'angle replet. La mesure de son aire est évidemment

,.=,.,.. , , 2'!zr' + 2-r 77r - — 7rr- = 7T(r 2 - r'-) = Tr(r' + r) (/■' - r) = (/•' - r) ,

produit de la demi-somme des longiienrs des circonférences (539) par la largeur {r' — r) de la couronne.

L'aire d'un secteur coronal de n degrés (1°) s'obtient évidemment en multipliant cette expression par la fraction 360 : n.

3o he sec/ment à deux bases BB'C'CB (fig. 119), que limitent des cordes BB', CC découpées par un cercle sur les côtés d'une bande et les arcs BC, B'C dont les points sont intérieurs à cette bande et qui sont égaux entre eux (548, I. inf.). Les bases sont ces cordes BB', CC, la hauteur est la largeur de la bande.

Un segment ordinaire CSC'RC (544) est le cas particulier de celui-ci, où l'un des côtés de la bande est une tangente à la circonférence, ce qui rend nulle la base correspondante. Par opposition, on le dit à une base ; sa hauteur RS se nomme plus volontiers sa flèche, la flèche aussi de l'arc CSS' ajant pour corde la base non nulle du segment.

Un segment à deux bases nulles n'est pas autre chose que l'aire du cercle.

Applications du cercle à la mesure pratique des cmgles et à leur comparaison théorique.

547. Si, pour comparer les unes aux autres les longueurs des arcs d'un même cercle donné, on prend pour unité, la longueur de l'arc intercepté par l'angle au centre égal à l'unité choisie pour la mesure des angles, le théorème du n» 536 conduit immédiatement à celui-ci.

Un angle quelconque a pour mesure celle de l'arc qu'il intercepte sur cette circonférence, quand on lui donne la position d'angle au centre relativement à cette dernière.

C'est cette observation, simple inversion des conséquences déduites du théorème précité pour la mesure de la longueur d'un arc de cercle, qui a fourni les moyens pratiques employés pour la mesure des angles. Quand un angle replet (4 droits) est au centre, il intercepte la totalité de la circonférence ; et, comme il a été divisé en 360 degrés (174), un angle au centre quelconque contiendra ainsi autant de degrés et fractions de degré, que son arc contient de fois la 360'""'= partie de la circonférence entière, dite aussi degré, et ses mêmes fractions.

Tout instrument propre à la mesure des angles comprend