MESUHK PRATIQUE DES ANGLES

essentiellement un seclcur de ceix'le, un cercle entier assez souvent, dont l'arc, ou limbe, a été divisé en degrés subdivisés cux-niénies en fractions plus ou moins petites, et sur kniuel on peut assigner physiquement un angle au centre susceptible d'être mis en coïncidence avec celui à mesurer (avec son angle plan, s'il s'agit d'un dièdre), puis lire avec telle ou telle approximation, le nombre de degrés et fractions de degré contenus dans l'arc alors intercepté.

On pourrait mesurer les angles de bien d'autres manières, subsliluer par exemple, à la circonférence graduée, une échelle recliligne convenable (ayant alors des divisions inégales); mais celle-ci l'a emporté, à cause de ses conmiodilés naissant en grande partie de la facilité relative avec laquelle on peut réaliser matériellement un cercle et en diviser un arc en un nombre quelconque de parties égales.

(Combiné avec les observations générales du no 536, le théorème du n» 541 procure, en particulier, des moyens extrêmement simples pour exécuter, sur une même circonférence donnée, <les opérations telles que: porter un arc donné (même non saillant) à partir d'un point et dans un sens donnés tous deux, constater l'égalité de deux arcs donnés, diviser (empiriquement) un arc donné en un nombre quelconque k de parties égales (on cherche par tâtonnements la corde pouvant s'inscrire A' fois proprement dans l'arc proposé), trouver empiri(iuementle rapport de deux arcs... Tous ces principes, avec d'autres analogues, sont efTectivement utilisés par les constructeurs de cercles divisés pour la mesure des angles, de roues d'engrenage, etc.

548. Le cercle procure, pour la comparaison des angles, d'autres ressources fort intéressantes en théorie, dont l'exposition exige certains préliminaires.

I. Une circonférence étant coupée par deux parallèles en de^ points A, A' et B, B' (fig. 138), tellement notés que les directions AA', BB' soient identiques, sa partie intérieure à la bande AA'liB' se décompose en deux arcs AB, A'B' qui n'ont aucun point intérieur comnuin, dont les directions sont opposées, et qui sont éycnix entre eux.

Pour fixer les idées, nous supposerons intérieur à la bande, le centre O de la circonférence, nous considérerons un point mobile m décrivant de A à l'infini, dans un sens constant, la demi-droite A^l) opposée à AA', puis un autre point n revenant de l'infini en décrivant à rebours la demi-droite B95 opposée à BB', puis enfin une demi-droite mobile issue de O et guidée dans son mouvement par /2ï d'abord, par n ensuite.

En s'appuyant sur les principes de la topographie des figures rcclilignes dans un même plan, le lecteur verra immédiatement

que, pendant la première période de son mouvement, la demidroite mobile décrit, dans un sens giratoire constant, l'angle saillant AOJ compris entre OA et 03 demi-droite issue de O parallèlement aux directions \-Ad, B93 (447), que, pendant la seconde période, elle décrit l'angle saillant 30B.

En ayant égard ensuite à ce que les demi-droites A-X, BtB sont toutes deux extérieures au cercle et raisonnant comme au n° 540 {in fine), il constatera que les positions de la demi-droite mobile pour lesquelles sa trace sur la circonférence est à la fois dans les demi-plans d'arêtes AA', BB' qui contiennent les parallèles BB', AA' respectivement, c'est-à-dire pour lesquelles cette trace est intérieure à la bande (138), sont intérieures à l'angle AOB dont toute demi-droite intérieure est intérieure à un seul des angles AOJ, DOB; ici, cet angle AOB est la somme de ces derniers, et il a la direction du premier par exemple, savoir celle de la rotation de la demi-droite mobile pendant la première période de son mouvement.

La région du cercle intérieure à la bande, comprend donc l'arc AB intercepté par l'angle au centre AOB ci-dessus défini ; elle contient encore l'arc A'B' donné par un angle au centre A'OB' à rattacher aux autres traces A', B' des sécantes parallèles comme AOB l'a été aux premières traces A, B; mais elle ne comprend rien de plus, ce que l'on reconnaîtra facilement.

Ces arcs n'ont aucun point intérieur commun, parce que leurs angles au centre n'ont aucune demi-droite intérieure commune. Leurs directions sont opposées, parce que tels sont les sens giratoires de leurs angles au centre AOB, A'OB', réglés par les demi-droites A^A,, A'd)' dont les directions sont contraires.

Ils sont égaux enfin, comme homologues dans la symétrie du cercle par rapport à son diamètre SOT conjugué aux deux sécantes (501), (473, VIII).

II. Quand deux droites non parallèles rencontrent un cercle, leur intersection J est le sommet commun de quatre angles jumeaux bisécants,qu.e nous dirons externes, internes ou inscrits, selon que ce sommet J est extérieur au cercle, intérieur ou situé sur lui. Voici, au sujet de ces angles, cFes propositions analogues à la précédente concernant une paire de parallèles; nous supprimerons toutefois, jiour abréger, les considérations du même genre sur lesquelles elles s'appuient.

Quand les côtés (eux-mêmes) d'un angle externe J (Jîg- 139) rencontrent un cercle en A, A' cl B, B', points tellement notés que l'on ait JA !^ JA' et JB ^ JB', la partie de la circonférence qui est intérieure à l'angle se décompose encore en deux arcs AB, A'B' sans points intérieurs communs, et de directions opposées.

Tout à l'heure (549, I, inf.) nous constaterons implicitement, que le second de ces arcs surpasse toujours le premier en longueur.

i:m»uassée n'uN ancilh bishcant. 287

III. Les points (rune cii'conférencc qui sont intérieurs à un anj^le interne A.IB {fuj. 1 10) et à son opj)()sé au sommet A'JH', composent deux arcs distincts AB, A'B' dont les directions sont identicjues.

W . Quand les eûtes d'un angle inserit J reeoapcnt un cercle par eux-mêmes en A, B (fig. 141), on bien quand l'un la recoupe ainsi en A (p(j. 142), l'autre étant une demi-tangente JT en J, la partie de la circonférence qui est intérieure à cet angle, se compose d'un seul arc AB, ou A/J, (mquel le sonunet n'est pas intérieur. (On pourrait, à titre nominal, lui adjoindre l'arc nul d'extrémités identicjues J, J.)

Tous les arcs spécifiés dans cet alinéa et les précédents sont dits encore interceptés par les paires de droites ou demi-droites dont nous avons parlé.

V. Il nous reste à définir l'embrassée d'un angle bisécant. Quand chaque côté, par lui-même, rencontre la circonférence

(II), (III), ou la recoupe avec possibilité de contact (IV), l'embrassée de l'angle est : 1°, s'il est externe (II), la difFérence des arcs de directions opposées, qui lui sont intérieurs ; 2- , s'il est interne (III), la somme des arcs de directions identiques, qui sont intérieurs, l'un à lui-même, l'autre à son opposé au sommet; 3% s'il est inscrit (IV), l'ai'c unique qui lui est intérieur. On notera que l'embrassée d'un angle au centre est toujours le double de l'arc intercepté par lui. Car cet angle étant interne, son embrassée est la somme des arcs intérieurs à lui-même et à son opposé au som.met, arcs qui sont égaux comme interceptés par des angles au centre égaux entre eux (536).

VI. Quand chaque côté ne rencontre, ou recoupe, ou touche, la circonférence {[ue par son prolongement, l'opposé au sonuuet de l'angle considéré rentre dans les conditions ci-dessus (V), et son embrassée est attribuée également à celui-ci. Les embrassées des angles A,JB, {fig. 139), A'JB' (fig. 140), A,JB, (fig. 141), A,JT, (fig. 142), seront donc celles des angles AJB, AJT.

VII. Quand un côté ne rencontre (recoupe, touche) la circonférence que par lui-même, l'autre que par son prolongement, on prend pour embrassée, le replément (540) de celle d'un opposé à l'angle considéré par un de ses côtés, nouvel angle rentrant toujours dans l'un des cas V, VI ci-dessus. Par exemple, l'embrassée de l'angle Inscrit AJB, (fig. 141) est l'arc AJB (ayant ici une partie JA intérieure à l'angle proposé, l'autre JB intérieure à son opposé au sommet) qui constitue l'excès de la circonférence entière sur l'embrassée AB de l'angle inscrit AJB.

549. Quand un angle invariable J se déplace arbitrairement dans le plan d'un cercle (sans cesser toutefois d'être bisécant), son embrassée conserve aussi une valeur constante.

I. Ceci est vrai pour des déplacements se réduisant à des translations parallèles à inn des côtés de l'angle.

Ce côté glisse alors sur la droite de sa position initiale J-Ai (fig. 143), et l'autre demeure en parallélisme direct avec sa position initiale. Pour fixer les idées, nous considérerons trois positions de l'angle, où ses côtés rencontrent la circonférence par eux-mêmes : l'une externe J,, la seconde inscrite J», la dernière interne J3, auxquelles correspondent les embrassées arc AB, — arc JjB'j, arc AB.^, arc AB3 -{- arc J-^B'g, respectivement.

Parce que les directions J.^J,, J.2J3 sont opposées, les bandes J.2B.,J,B, et J0B0J3B3 sont contiguës extérieurement par leur côté commun J.2B.,; d'où la contiguïté, extérieure aussi, des arcs B^B,, B.2B3 interceptés par elles, et, par suite, des arcs BoB,, B-^A. On a ainsi

arc ABj = arc AB.^ + arc B-jB, .

Mais le parallélisme des sécantes JiB,, J2B.2 donne encore

arc J.2B'i = arc B^B, (548, I).

La soustraction membre à membre de ces égalités conduit donc immédiatement à celle des embrassées de l'angle externe J, et de l'angle inscrit J.2.

On constatera de la même manière, l'égalité des embrassées de même angle inscrit et de l'angle interne J3, puis l'exactitude du point en question pour tous angles bisécants.

II. La même chose subsiste pour une translation amenant en un point quelconque J', le sommet J de l'angle considéré. Car une translation parallèle au premier côté de cet angle, amènera le second à passer par J', en laissant le premier sur la même droite; une autre translation parallèle au deuxième côté, amènera semblablement le premier à passer aussi par J'. Or la succession de ces deux translations équivaut à la proposée (38, III), et chacune d'elles laisse invariable l'embrassée de l'angle considéré (I).

III. Notre théorème est encore vrai pour un angle au centre pivotant autour de son sommet. Car son embrassée est le double de l'arc intercepté par lui (548, V), qui Conserve une longueur constante (536).