CHAPITRE XVIII
Homologues des points d'iin cercle dans une figure
semblable. — Points dune même puisscmce donnée
par rapport à un cercle.
551. Quand un point mobile décrit un cercle, le lieu de son homologue dans une figure semblable est un cercle aussi, dont le centre et le rayon sont les homologues de ceux du proposé {Cf. 498, IV).
Il est évident, en effet, que ce lieu est dans le plan homologue de celui du cercle proposé, et que les distances de tous ses points à l'homologue du centre, sont égales entre elles comme produits des divers rayons de ce cercle par le rapport de similitude.
552. Relativement à un cercle donné de rayon r, le lieu des points d'une même puissance donnée U (528), qui. tous à la fois, lui sont, soit intérieurs, soit extérieurs, est un cercle concentrique
de rayon y r^ — n dans le premier cas, ou Vr' -\- Il dans le second.
Gomme en nommant d la distance d'un point M du lieu cherché au centre du cercle donné, on doit avoir II — r- — d'^ si M est intérieur à ce cercle, on devra avoir d- =-r' — II, d'où
d = }/ r- — n =; const.
Ce cercle, toutefois, se réduit au centre du proposé si n = /-^^ et même disparaît quand II > v'^.
Même conclusion, mais affranchie de toute restriction, quand les points du lieu doivent être extérieurs au cercle donné.
Quand il ^ 0,1e lieu se confond évidemment avec le cercle proposé.
La qualification de la puissance II par le signe spécifié au numéro cité, dispense de toute distinction à faire dans l'énoncé précédent, entre les points intérieurs et extérieurs.
Points dont les distances à des points ou droites fixes ont entre elles certaines relations simples.
553. En appelant P, Q {fîg. 53) deux points fixes (distincts), pais p, q des coefficients constants correspondants quelconques, mais inégaux dans le second cas, et © quelque troisième constante, le lieu des points M pour lesquels on a l'une ou l'autre des deux relations
(1) p.PM'"±ç.QM" = 0,
est (en général) une circonférence aijant pour centre le point O qui divise le segment PQ dans le rapport q : p, intérieurement ou exléyieuremenl selon qu'il s'agit du signe + ou du signe — (133). I. Si, dans la première des identités (2) du n"^ 251, on prend pour O le point divisant PQ dans le rapport q : p intérieurement, on a p. PO — q. QO = 0, et il reste
(2) p . PM ' + ç . QM ' = (p H- ç)OM ' -i-p.m'-\-q.Qô\
Si donc le point M remplit la première des conditions (1), on aura pour lui
(p + (/)Ôm' +p.P()' + ç.Qo' = e, d'où
o e (p. PO" 4- g.QÔ')
