OM
conduisant aux mêmes conséquences.
Si l'on avait p = g, le lieu dégénérerait en une droite perpendiculaire sur PQ, comme nous l'avons constaté presque textuellement au lieu cité.
554. En prenant p = g = 1 dans la formule (2) et, pour les |)i)inls P, Q, M, les trois sommets B, C, A i/ù/. 144) d'un triangle c|uc'lconque, le point O se place au milieu du côté BC, le segment OM devient la longueur de AO, médiane du triangle issue de son sommet A, les segments PO, QO deviennent les moitiés du coté BC, et on obtient ainsi
o 2 2 /BC\2
AB'-fAC i=2A0 ^2 — j>
relation entre les carrés de deux côtés d'un triangle, de la médiane issue de leur sommet commun et de la moitié du troisième côté, que l'on utilise quelquefois.
555. Le lien des points M iflg. 145) dont les distances RM, SM à deux points fixes R, S conservent un rapport constant donné r : s, est la perpendiculaire au segment RS élevée en son milieu quand r : s = l, mais, dans le cas contraire, la circonférence ayant pour diamètre la distance MjM^ des points qui divisent le segment RS dans le rapport donné, intérieurement et extérieurement.
Dans le premier cas, la chose est évidente puisqu'alors on doit avoir RM = SM (254).
Dans le second, elle ne l'est guère moins actuellement; car, en supposant s^ r pour fixer les idées, la proportion
RM r SM "■ s
équivaut à la condition
montrant (553, II) que le lieu cherché est un cercle dont le centre O divise extérieurement RS dans le rapport /■'- : s-, dont le carré du rayon a pour valeur
r^SO' — s-Rô'
(où le premier terme du numérateur surpasse visiblement le second), dont les traces M,, AL, sur le diamètre ORS divisent bien ainsi RS dans le rapport r : s, intérieurement et extérieurement.
556. Mais une recherche directe nous conduira à une propriété intéressante des bissectrices des angles d'un triangle.
Soient RR,, SS, (fig. 145) les perpendiculaires abaissées de R, S sur la droite MM, joignant un point quelconque M du lieu à celui des deux M,, M.^, noté ici M,, qui est intérieur au segment RS. Les triangles RR,M,, SSjM,, évidemment équiangles, donnent
RR, RM, r RM
SS^ ~ SMJ " s ~ SM '
puisque M est, comme M,, un point du lieu. On a donc RR, : SS, = RM : SM, ceci prouvant que les triangles RR,M, SS,M, rectangles encore en R,, S,, sont équiangles aussi (231), par suite, que MM, est la bissectrice de l'angle RMS. On constaterait de la même manière, que MM., est la bissectrice d'un angle RMS' opposé à RMS par l'un ou l'autre de ses côtés suivant que
l'on a r ^s, que, par suite, l'angle M,MM2 est droit (264), et que
le sommet M de cet angle appartient à la circonférence décrite sur M, Mo comme diamètre (506).
Réciproquement, tout point M de cette circonférence appartient au lieu ; car l'angle M, MM., étant alors droit (Ibid.), RR,, SS, perpendiculaires à M, M sont parallèles à M.^M, entre elles par suite, et l'on a les proportions
RM f
(214), bjb aivij s
d'où
mu
SiS ~
RM, S Ml
R,R SiS
POINTS DONT LE RAPP. DES DIST. A DELX P. FIXES, ETC. 2il3
Les triangles RR,M, SS,M, rectangles en R,, S,, et ayant pro- • portionnels ainsi les côtés de leurs angles droits, sont équiangles, avec tous leurs cùlés proportionnels (215), et l'on a finalement
RM R^I R^R r
SM ~ v"i ~ s,s ^ r
557. Ddiis tout triangle RMS (////. 145), les bissectrices intérieure MM, et extérieure MM.^ d'un même angle M, divisent le côté oppose RS, intérieurement et extérieurement, dans le même rapport MR : MS des côtés MR, MS comprenant cet angle.
C'est évident par ce qui précède.
558. Soient P, U (fig. 146) un point et une droite fixes quelconques, puis p, u des coefficients quelconques aussi, mais dont le premier n'est pas nul, et S quelque troisième constante. En représentant par UM la distance orthogonale (262) de la droite U Cl un point indéterminé M, le lieu des positions de ce point pour lesquelles on a
(5) p.pyv ±uxy[ = e,
selon que M se trouve dans un demi-plan d'arèle U désigné ou dans son opposé, est, en général, une circonférence ayant son centre sur la perpendiculaire FI abaissée de P sur la droite U.
Pour fixer les idées, supposons que le demi-plan d'arête U qui a été désigné, soit celui où notre ligure représente actuellement le point M, que P ne soit pas dans ce demi-plan, et nommons M' la projection orthogonale de M sur PI perpendiculaire à U issue de P, puis O enfin, un point de cette perpendiculaire, encore indéterminé, sauf la condition que la direction PO soit opposée à celle des distances de U aux points du demi-plan désigné.
Le triangle POM, dont l'angle 0 est actuellement aigu, donne (224)
PM' = Ôm' -f ÔP' — 2 OP . OM'
= Om'-^()P" — 20P.0I — 20P.IM',
car on a actuellement OM' z= 01 -f IM'. Ensuite, et quelle que soit la position du point M, on trouvera avec la même facilité
Pm' = OM' — ÔP' — 2 OP . 01 = 2 OP . IM',
selon qu'il tombe comme ci-dessus dans le demi-plan désigne, ou qu'il passe dans le demi-plan opposé. A cause de UM ^= IM', il viendra ainsi
p.PM'±a.UM=p.ÔM'+/?.ÔP'-2p.OP.OI±(H-2p.OP)IM'.
Si donc on donne au segment OP encore indéterminé, une longueur précisément égale à ii : 2p, le dernier terme de cette identité s'évanouira, et la combinaison de celle-ci avec la condition (5) lui donnera cette autre forme
p.OM'+p.ÔP' — 2p.0P.0I^ G, d'où l'on tire
2 (8 +2p.0P.0r) — ».ÔP^
Comme ainsi, la distance OM conserve une valeur constante, le lieu cherché est bien une circonférence de centre O, sous la condition toutefois, que dans le numérateur de cette expression le premier terme entre parenthèses surpasse le second ; autrement le lieu se réduirait au point O, ou cesserait d'exister.
Dans toute autre hj'pothèse topographique, un raisonnement semblable conduira aux mêmes conclusions.
559. Les théorèmes des n<>s 553, 558 sont renfermés dans un seul autre Ijeaucoup plus général, que nous établirons après avoir étendu la notion du centre de gravité (137) à des points situés arbitrairement sur un même plan.
Etant donnés sur un même plan, des points en nombre quelconque,
(6) P,, ..., Pfc
(/?(/. 147), accompagnés respectivement de coefficients (positifs ou négatifs)
(7) 6i„ .... rà^,, quelconques aussi sous la seule restriction
(8) fd, + . . . + rtfc ^ 0,
SI l'on nomme Gi le point divisant le segment PiPo dans le rapport — cJ2 : ^1 (135), puis G.^, ..., G(,2 et G, ceux divisant les segments GjPg, ..., G,,.<jPi i et Gfc 2Pfc dans les rapports — d, : (gJ, -f- td.,), ..., ... et — td;, : (rdj -[" "^2 "H • • • + ^fc-i)- '^ dernier point G ainsi obtenu est toujours le même, dans quelque ordre que l'opération ait été conduite Entre PiSTC-, . . ., PtOTL et GOIL, distances algébriques des points (6) et G à une même droite OTL/ prise arbitrairement sur leur plan (267), distances mesurées parallèlement à une droite quelconque, on a en outre la relation
(9) 5j,.P,.m' + ^.,.P2.m'4- ... -f rt,.P,,.Tll/ = (fd, -f ... 4-^fc)G01L
toute semblable à (4) du n" 137.
I. Sur un axe quelconque :)W et parallèlement à une droite quelconque 01L", la projection G' de G est le centre de gravité de P'i, . . ., P'^, projections des points (6) chargées respectivement des mêmes masses (7).
De ce que les trois parallèles PiP'i, P^P '•.'. tjiG', découpent sur la droite ;^1L', des segments P'iG'i, P'-itî'i dont la disposition topographique et le rapport numérique sont les mêmes que pour les segments
CF-NTRE DE GHAVITl'; DE POINTS SUR UN MÊME PLAN. 29.)
P|G|, PvG, interceptés siniultaiiéinent par elles sur la droite IM^^ (145), il résulte immédiatement que G , est le centre de gravité des projections P\, P •. chargées des masses c5i , do; et on constatera de même, que Go est celui de G',, P.j chargées des masses (iJ, -\- ràj), rrf,, puis . . ., puis enfin que G' est celui de G';,2, P'^ chargées des masses ('■)i -|- . . . -}- f^k-i). '■hi'i c'est-à-dire le centre de gravité de toutes les projections P, , ..., P'/; chargées des masses (7) (137).
II. En d'autres termes, et de quelque manière que l'on ait opéré, le point G se trouve sur la parallèle à .)fl/", menée par le centre de gravité G des points P'i, ..., P'^, Pour la même raison, il se trouvera aussi sur la piiralléle à .OTl/', menée par G' centre de gravité de P', , .... P\, projections des points ((i) faites sur .Ifl-' parallèlement à OR/'.
Quelle qu'ait été la marche de l'opération, il sera donc à l'intersection de ces deux parallèles absolument indépendantes du mode oj)ératoire.
111 Un point quelconque M de la droite .llw' donnera lieu à la relation
di . P",M -f . . . + ri,.p\M = (^, -(-... + r,J, )(V'M
cotée (4) au n" 137, puisque G' est le centre de gravité des masses P'i, ..., ï'"k. On obtiendra donc la formule (9) en prenant M à l'intersection des droites Jlo , ,">R/', car alors PV^I. ■■■^ I* ;.M. G'M, égales et directement parallèles à PiP'i, ..., I\P/;, GG (138, IV), ne sont pas autre chose que les distances algébriques des points (G) et G à la droite quelconque ;)lo', mesurées parallèlement à 011/' droite arbitraire aussi.
Ge point G dont nous venons de parler, est le centre de graoilé des points (()) chargés des masses (7) dans un même plan.
Comme au n" 137 sur une même droite, le partage de ceux-ci en deux groupes permet de le retrouvei- d'autres manières dont le nombre croit très rapidement avec celui des points. De cette observation dérive l'assignation de droites, en foule parfois, qui passent toutes par le centre de gravité, qui sont concourantes par suite.
Par exemple, les médianes d'un triangle (554) concourent toutes trois en nn même point divisant dans le rapport 2 : 1, le segment découpé sur chacune par un sommet et le côté opposé Car toute médiane passe par le centre de gravité de trois masses égales placées aux sommets du triangle, puisqu'elle joint l'une au centre de gravité des deux autres.
