Pour un point quelconque .M du plan, on a l'identité

(10) ti,.Pjr+...+n,.l\Si-

= ('rfi + . . . -t- 5}^)GM- + d, .ImÎ- -f- . . . -f- ''^/..PTÎ'-

Le point G, divisant le segment PjP^ dans le rapport — lào : ra^, l'identité (2) I >u (4)] donne immédiatement

(11) (à^.P^yi'- -{- cJo.P.M' = (aJi + 5io)G;M" + rà^.'Pfi^' -j- td^.KGl^ et on trouvera de même

(12) (Si, -+ 552)GlM" -f rdg.îï^M'

= (di -|- 553 + Gj,) G^' -i- (ri^ -f n.,) G^ï^' -f rt . . îyi;" ,

296 PRINXIPAUX LIEUX CIRCULAIRES,

puis encore

(13) ^i.P^' + a,.KGf =:(ri^ -[- a„)G^' -\- ri^.P^^^ -\-r^2.KGl^ ; d'où, en ajoutant (11), (12) membre à membre et en retranchant (13),

où Gs est le centre de gravité de Pj, Ps, P3, comme G, était celui de Pi, Po. Or il suffit de recommencer le même raisonnement jusqu'au bout, pour arriver à l'identité (10) en question.

On en notera cette conséquence : le centre de gravite des points (fi) est le point du plan dont la somme des carrés des distances à ceux-ci, multipliées par leurs masses, est minimum quand la somme de leurs masses est positive, ou maximum quand elle est négative; tel est elTectivement le second membre pour GM = 0.

561. Nous examinerons en outre ce qui se passe quand le premier membre de la restriction (8) est nul au lieu de ne pas l'être, en représentant par <î> la somme de ceux des coefficients (7) qui sont positifs, par — <ï> en conséquence, la somme de ceux qui sont négatifs, par G', G" les centres de gravité alors existant pour les groupes de points (6) où les coefficients sont de ces deux sortes.

I. A ces deux groupes de points correspondent évidemment dans le premier membre de la relation (9), deux groupes de termes donnant pour sommes «t-GOTO, — '^.G"01I/, expressions où GOTO, G".'11L' représentent toujours les distances algébriques de G', G" à la droite DTL, mesurées parallèlement à la même direction. Il y a donc à remplacer cette relation par

gJ, .Pi-^llL -f . . . -I- cJfc.P;,3fR/ = <ï>(G;)1L — G'.m) = <ï){G"G'!,

où |G"G'| représente la projection algébrique du segment dirigé G"G', faite parallèlement à la droite Olu sur un axe directement parallèle aux distances positives. On remarquera que le second membre est =:0, constant par suite, quand les centres de gravité G', G" coïncident.

II. La considération des mêmes groupes conduira tout aussi facilement à substituer à l'identité (10), une autre de la forme

(14) cjj . ïvï" + . . . -I- g3,,. îvï* = <î>(gTi"" — (7M') + Si,

où 31 représente une quantité constante dont le développement est visible, mais inutile à noter.

1" Quand G', G" sont distincts, la différence de carrés entre parenthèses dans le second membre est égale, à une quantité constante près, à a.irM, produit d'un coefficient constant a par UM distance algébrique, orthogonale ou oblique (256), de M à une perpendiculaire à G'(i choisie arbitrairement. C'est ce que montre immédiatement l'identité (3) du n'^ 251, car OH y représente aussi bien la distance orthogonale du point M à la perpendiculaire sur PQ, élevée au point 0 choisi arbitrairement.

p. nOXT LI::S DIST. A DES P. ET DROITES FIXES, ICTC. 297

En posant donc 'l>3c=:j, et représentant par ii quelque nouvelle constante, l'identité (14) se résout en

(15) 55,.iVÎ'+ ••• +5*fc-P^' = u-UM + £.

2» Quand G', G' se confondent, le second membre de la même identité se réduit à la constante 3i.

562. Voici maintenant le théorème général que nous avons annoncé au comniencement du u" 559.

Aux points et coefficients connexes (G), (1), adjoignons des droites en nombre quelconque,

Ui, U.,, ..., U,, avec des coefficients correspondants

•Jl, Vo, ..., y,;

représentons par U,M, .... U(M, les distances algébriques (dirigées arbitrairement) de ces droites à un même point M, et appelons © quelque constante.

Sauf certains cas d'impossibilité, le lieu des points M pour lesqueh on a

(16) (ri, . ÎVî' + . . . + rt, .Î^m') + (u, . U,M + . . . + -J,. U;M) = S,

est une circonférence (pouvant se réduire à un point) quand l'inégalité (8) a lieu, une droite quand il en est autrement.

I. Dans la première hj'pothése, et en nommant n la valeur non nulle du premier membre de cette inégalité, l'identité (10) et l'observation finale du n» 268 ramèneront la condition (16), soit à la forme

(17) oJ.GM'' + -j.UMi=G',

G étant toujours le centre de gravité des points (6), UM étant la distance algébrique, même orthogonale (256), de M à quelque droite fi.xe U, et 55, y, S', trois quantités constantes, soit à la forme

(18) n.GTï' = Q",

ci, ©" étant encore des constantes.

Le lieu est un cercle pouvant se réduire à un point ou être impossible, chose évidente dans ce dernier cas, ou résultant du iv 558, si c'est la forme générale (17) qui s'est présentée.

II. Si, au contraire, on a ni^O, l'intervention de l'identité (15) ou de la conclusion du sous-alinéa suivant, ramène la condition (16) à celle qui caractérise le lieu étudié au n" 267. Au lieu d'un cercle, on a donc ici une droite pouvant également disparaître.

Segment capable d'un angle donné.

563. D'un point M (fîg. 148i, on dit qu'on voit un segment rectiligne AB (non nul) sous un angle (saillant) cp, quand l'angle

saillant AMB auquel ce segment AB est intérieur, est égal à l'angle en question.

Quand les points A, B et l'angle :? sont donnés, on obtient évidemment quelque point de ce genre situé dans l'un donné des demi-plans séparés par la droite AB, en menant de A, B dans ce demi-[)lan, deux demi-droites faisant respectivement avec les demi-droites AB, et B\' de directions identiques, des angles l'un quelconque ;, l'autre égal à ; 4- ■?, puis prenant l'intersection M de ces droites ne pouvant être parallèles (184). Car le triangle ABM donnera A'IÎM = BAM -f BMA (211), c'est-à-dire f -j- 9 =2 ^ -1- AiMB, d'où AMB = f. On a maintenant le théorème suivant.

564. Le lieu du point M d'où l'on voit le segment AB sons Vanqle .f ou sous l'angle supplémentaire, selon que le même point iom'n', dans un demi-plan désigné ou dans son opposé, est une circonférence passant par les points A, B et dont la demi-tangente issue de A, par exemple, dans l'opposé au demi-plan désigné, fait avec AB un angle égal à 9.

I. Soient M un premier point de ce genre situé dans le demiplan désigné, et M, quelque autre y tombant aussi.

Si la demi-droite AM, se confond avec AM, BM, se confondra aussi avec BM et, par suite, M, avec M, à cause de A'BM, = A'AM, +cf. =1 A'AM f .f = A'BM. Sinon, supposons pour fixer les idées, que l'angle A'AM, soit < A'AM, c'est-à-dire que la demi-droite AM; soit intérieure à l'angle A'AM. Comme A'BM, = A'AM, -f 'f et A'BM = A'AM -f cp, on a aussi A'BM, < A'BM, et la demi-droite BM est extérieure à l'angle A'BM,, intérieure, par suite, à ABM,. Les segments AM,, BM se rencontrent donc en un point K, intérieur à tous deux (159, IV), rendant ainsi les directions K,A, K|M opposées à K,M,, K,B ; les triangles AK,M, BK^M, sont équiangles comme ayant opposés au sommet leurs angles en K,, é'4aux à 9 ceux en M, M,, et la proportion entre leurs côtés homologues

<>' i^ = ià^ •^"''

ou bien K,A.K,M, = K,B.K,M, montre que le quadrilatère AMBM,A est inscriptible (524), c'est-à-dire que M, appartient à la circonférence déterminée par les trois points A, M, B (507).

II. S'il s'agit d'un point Mj du même genre, mais tombant dans le demi-plan non désigné, les segments BM, AM., n'ont aucun point intérieur commun, et, par suite, leurs droites se coupent en quelque point K, extérieur à tous deux, ou bien sont parallèles. Dans le premier cas, les triangles AK.^M, BK2M2 ont en K2 un angle commun, en M, M.j des angles égaux, parce que l'angle intérieur de l'un est supposé supplémentaire à l'extérieur de

SEGMIÎNT CAPABLE d'uN ANGLE DONNÉ. 299

l'autre, et on retrouve, comme ci-dessus (I), l'égalité KjA.K.^NL = KoB.K.iM plaçant encore M., sur la circonférence AMB.

Dans le second cas, le parallélisme des seiçments dirigés BM, AMo ne peut être qu'inverse (81), et le quadrilatère AMBM.^A est un trapèze déchevétré (308; dont les angles en A, M.^ suppléments du même angle M sont égaux entre eux, ainsi que ceux en B, M pour une cause semblable. On en conclura sans peine, qu'une même perpendiculaire aux segments AM.^, BM passe par leurs milieux, et qu'ainsi (524) M., est toujours sur la circonférence ABM.

III. Le renversement des raisonnements qui précédent, montre inimédiatement que tout point de la circonférence ABM appartient bien au lieu. Car s'il s'agit, par exemple, de M, intérieur à l'angle BAM, la demi-droite AM, rencontre le segment BM en un point K, qui lui est intérieur, intérieur aussi à l'autre corde AM, (522i, et le théorème du n' 523 conduit à la proportion (1) montrant que l'angle AM,B est égal à AMB = 7»; et semblablement, pour tout autre point de cette circonférence.

IV. Joignons enfin à B un point quclcon(|ue T de la demi-tangente mentionnée dans l'énoncé, puis à A la deuxième trace M, de TB sur le cercle. Le point T étant extérieur au cercle (512), l'est aussi à la corde BM, (522). les directions TB, TM, sont identiques, et la relation TA'=:TB.T.M, (523) pouvant s'écrire TB:TA = TA:T.M| montre que les triangles B.\T, AM,T ayant un angle commun en T sont équiangles, et par suite, que leurs angles homologues B.\T, .\M,T sont égaux. Or, ce dernier est évidemment égal à 9, quand M, est, comme ici, dans le demiplan désigné ; et, semblablement, si ce point était dans le demiplan opposé.

565. Le lieu très remarquable dont nous venons de reconnaître la nature, se nomme le segment [circulaire) {Cf. 544) capable de l'angle 9. décrit sur le segment (rectiligne) AB dans les conditions topographiques indiquées, et nous avons donné implicitement sa construction.

Le procédé le plus simple, parce qu'il ne fait intervenir qu'un seul angle, consiste à déterminer sa tangente en A par la condition que la partie AT de celle-ci, dirigée dans le demi-plan non désigné, fasse avec AB un angle égal à o (564, IV), puis à prendre le cercle passant par A, B, tangentiellement à AT (519).

Le centre de ce cercle est dans le demi-plan désigné, dans son opposé ou sur AB, selon que l'angle 9 est aigu, obtus ou droit, car c'est toujours ainsi qu'est placée la demi-perpendiculaire à AT, menée dans le demi-plan ATB.

Quand aucun des demi-plans séparas par la droite AB n'a été désigné, // y a. sur la même distance AB, deux segments capables de l'angle {-, si l'angle donné s est aigu ou obtus, car alors les demi-

droites qui, dans ces demi-plans, font des angles égaux à 9, ne peuvent se prolonger l'une l'autre. Les centres de ces deux cercles sont de part et d'autre de AB.

Si 9 est un angle droit, les deux lieux se confondent en un seul cercle ayant son centre sur AB, au milieu de ce segment, évidemment. On retrouve alors le théorème du n^ 506, comme cas particulier très restreint de celui-ci.

Quand f est nul ou neutre, chaque lieu dégénère en la droite AB.

Si le segment AB était nul, le lieu comprendrait tous les points du plan ou bien dégénérerait en un simple point (A ou B), selon que l'angle 9 serait nul ou non.

566. On remarquera que la proposition du n" 564 fait retrouver par une voie entièrement différente et bien plus naturelle (523, m //ne), l'égalité de deux angles inscrits interceptant un même arc sur une même circonférence, égalité d'où l'on remonterait sans peine au surplus de la théorie des n°^ 548 et suivants.

567. Le même théorème donne une autre forme évidente à la condition voulue pour qu'un quadrilatère soit inscrii^tible (524) : // faul, cl il siiffil, s'il est dêcheuèlré comme AMBM.A, que deux angles opposés M, M.2, par exemple, soient supplémentaires, s'il est enchevêtré, comme AMBM,A, que deux angles opposés du genre de M, M, soient égaux.

C'est aux considérations du n' 550, que ceci est rattaché par les traditions classiques. Quand deux angles inscrits ont leurs côtés passant par deux mêmes points A, B d'une circonférence, ils sont effectivement égaux si leurs sommets M, M, tombent d'un même côté de la corde AB, puisque la moitié du même arc AM ,B les mesure tous deux, mais supplémentaires si leurs sommets M, M.2 tombent de part et d'autre de la même corde, puisqu'alors leur somme a pour mesure la moitié de celle des arcs AM^B, AMB, en lesquels la corde a découpé la totalité de la circonférence.

Dans un même plan, et relativement à une paire de droites (Dj, D2), deux autres E,, E.^ sont quelquefois dites antiparallèles, quand, après solidarisation de la figure, son déplacement consistant à appliquer D,, D.^ respectivement sur les positions primitives de D.^, D,, place Ej, E^ parallèlement à celles de Eo, E,.

Combinée avec le critérium énoncé à l'instant, cette définition lui donne une forme parfois employée. Pour rinscriptibilité d'un quadrilatère, il est nécessaire et suffisant que deux côtés opposés soient antiparallèles par rapport à la paire des deux autres.