FAISCEAUX SUPERPOSABLES PAR GLISSEMENT

même point A cran cercle à d'antres qnelconqnes m, n, p, . . ., forment un fdiacean qui, par simple f/lissement sur le plan, est superposable à tout autre du même ç/enre Bm, lin, Bp . . .

Les points A, B et deux quelconques m, n des autres étant toujours sur un même cercle, les droites AB, mn, si elles ne sont parallèles, se coupent toujours en un point qui, aux deux cordes AB, mn simultanément, est, soit extérieur, soit intérieur (522) ; en conséquence, A, B seront d'un même côté de la droite mn ou de part et d'autre, selon que l'une ou l'autre de ces dispositions sera celle de m, n relativement à la droite AB.

Si donc deux points m, n sont situés, par exemple, d'un même côté de AB, les triangles tels que m\n, mBn sont toujours homotaxiqucs (217, III); par suite, l'angle m\n est non seulement égal (564), mais encore homotaxique à l'angle mBn. Il en résulte que si, par glissement sur le plan de la figure, on applique le rayon Am du premier faisceau sur son correspondant Bm dans le second, son autre rayon An, s'appliquera simultanément sur son correspondant Bn. Raisonnement semblable dans tous les autres cas.

Cette proposition trouve en Cinématique (tour elliptique) une application importante que nous devons passer sous silence.

569. Réciproquement, les éléments correspondants dans deux faisceaux de demi-droites qu'un simple glissement sur leur plan commun peut superposer, se coupent (s'ils ne sont pas toujours parallèles) en des points dont le lieu est une circonférence passant par les sommets des faisceaux. Car on s'assurera immédiatement que deux des angles m, n, p, ... sont égaux ou supplémentaires, selon que leurs sommets sont d'un même côté de la droite AB ou non (564).

Ce théorème et le précédent sont fondamentaux dans les parties élevées de la théorie du cercle.

570. Des relations fort utiles entre les éléments d'un triangle et le rayon de son cercle circonscrit (507), se rattachent au principal théorème de ce paragraphe.

En représentant par a, b, c les côtés d'un triangle ABC (fig. 150), par jsin A|, isin B|, jsin C\, les sinus des angles respectivement opposés ou du supplément de celui qui serait obtus, par R le rayon du cercle circonscrit, par S l'aire du triangle, on a

|sinA| isinBj (sin Cj

(3) abc = ABS.

I. Si A' est la seconde extrémité du diamètre du cercle circonscrit passant par quelque sommet B du côté opposé à

l'angle A. le triangle BCA' est rectangle en C (506) et donne BC = BA'.sinA' (243), c'est-à-dire a = 2RjsinA!; car les angles A, A' sont égaux ou supplémentaires, selon que leurs sommets sont situés d'un même côté de la droite BC ou non (564). D'où, l'égalité des membres extrêmes des relations (2), celle de tous les autres se prouvant de la même manière.

L'égalité des trois premiers rapports, qui est la plus importante, s'établit directement à bien moins de frais. Car les côtés PM, QM d'un triangle quelconque PQ.M {fig. 53) et sa iiauteur H.M, sont les hypoténuses et un côté de l'angle droit commun dans les deux triangles PHM, QHM, rectangles en H; et ces derniers donnent ici PM.sin P = HM = QM .sin (2dr. — Q), d'où, évidemment, PM : jsin Q| = QM : jsin Pj, puis, de la même manière, = PQ : (sin M|.

II. Les égalités (2) comprennent en particulier o = 2R|sinA! donnant, après multiplication des deux membres par bc,

a6c = 2R.èc{sinAj =4R

-f?clsin A;|=:4RS (317).

Lignes inverses d'une droite, d'un cercle.

571. Relativement à un point I et à une quantité constante D (=2^0), tous deux donnés et dits Vorigine et la puissance, un point M' (fig. 151) est dit inverse d'un autre M, quand les directions IM, IM' sont, soit identiques, soit opposées, et qu'entre les longueurs IM, IM', on a la relation numérique