IM.IM

Vinversion est positive dans le premier cas, négative dans le second.

Une seconde figure J' est l'inverse d'une première rj, quand chacun de ses points M' est ainsi l'inverse de quelque point M de celle-ci, relativement à une même origine et à une même puissance, et cela toujours de la même manière, l'inversion étant dite encore positive dans le premier* cas, négative dans le second.

Voici quelques observations essentielles :

I. Tout point M de ^, autre que l'origine I, a un inverse M' dans ^' et un seul, parce que IM n'étant pas nul, la relation (1) donne t"î : IM pour longueur du segment IM', à porter sur la droite IM, à partir de I et dans un sens indiqué par le nom de l'inversion, pour avoir IM'.

Mais l'origine I n'a pas de point inverse, car alors IM = 0, et aucun point M' ne peut donner O.IM' ^J.

FIGL'RRS INVERSES DANS l'N MÊME PLAN. 303

II. // ;/ a réciprocité entre -7 et ^'' , en ce sens que la première figure est également l'inverse de la seconde, de même qualification, relativement à la même origine I et à la même puissance 3. Car si, nyant des directions identiques ou opposées, les scf^ments IM, I.M' donnent IM.IM'=,1, les segments IM', IM oflVent la même disposition topograpiiique relative, donnant tout aussi bien IMMM = .1.

A cause de cela, on nomme aussi trcmsformalion par ragons vecteurs réciproques, l'opération consistant à prendre l'inverse d'une ligure.

III. Si M, M' et N, N' sont deux couples quelconques de points inverses, le quadrilatère MNN'M'M est inscriptihle (524), ou, ce qui revient au même, les droites MN, M'N" sont antiparallèles (567) par rapport à la paire IMM', IXN". C'est ce qui résulte immédiatement de ce que le point I est, soit extérieur, soit intérieur aux deux segments MM', XN" à la fois, et des relations numériques IM.IM' z= <3 = IN. IN'.

IV. Quand l'inversion est négative, il ng a aucun point double, c'est-à-dire se confondant avec son inverse (402). Mais quand elle est positive, il y a une infinité de pareils points dont le lieu est la

circonférence décrite de l'origine comme centre avec \/d pour rayon.

Pour que les points inverses M, M' coïncident, il faut et il suffit que les segments IM, IM', dont aucun ne peut s'évanouir, soient égaux et d'une même direction ; or, cette dernière condition est contradictoire au nom de l'inversion, si elle est négative.

Mais elle est toujours remplie dans l'autre cas, et, combinée avec (1), la première IM^IM' donne IM'=; Ji, carré du rayon du cercle en question.

On peut alors remarquer, que l'inverse de tout point M n'est pas autre chose que le pied sur le diamètre de ce cercle allant à M, de la polaire de ce point par rapport au même cercle (515).

V. Deux figures i^'', rT, inverses d'une même autre J relativement à des puissances quelconques J', J, mais à la même origine I, sont homothétiques, avec I pour centre d'homothétie et X : J, pour rapport de similitude (404).

Car si M' dans -'■', M, dans -'?, sont les inverses d'un même point quelconque M de ^, la relation topographique des segments dirigés IM', IM, avec IM étant toutes deux invariables, leur relation mutuelle l'est aussi, et en divisant membre à membre les relations

IM.IM' ^0', IM.IM, =0,, il reste