PLANS PARALLÈLES

même plan, ont pour lieu géométrique le plan mené par h: point, parallèlement au plan considéré (58).

En effet, chacune de ces droites est parallèle à ce plan que l'on peut mener parallèlement au plan donné par le point considère (59), et a ce j)oint en conmiun avec lui (45). D'ailleurs, toute droite située dans ce plan i)nrallèle, en particulier celles qui passent par le point considère, sont parallèles au plan donné (59).

Comme deux droites concourantes, mais distinctes, suffisent à la détermination d'un plan (21, IV), un plan est certainement parallèle à un autre quand il contient deux droites de ce genre qui sont parallèles à ce dernier.

61. Deux plans parallèles à un même troisième, le sont l'un à l'autre. Comme au n'^ 44.

Des plans en nombre quelconque sont dits parallèles les uns aux autres, quand ils le sont tous deux à deux.

62. Tous les plans qui soid parallèles à deux mêmes droites non parallèles entre elles (51), sont parallèles entre eux. Car chacun d'eux contient une paire de droites respectivement parallèles aux proposées, et, par suite, toutes les droites de ces paires sont respectivement parallèles entre elles (50), (44), (60).

Applications.

63. Une droite et un point étant donnés sur une épure, tracer par le second, une droite parallèle à la première (43), (42).

On emploie une sorte de règle nommée équerre, qui sert à d'autres constructions (201, 202, inf.), mais qui, relativement au tracé proposé, n'a d'essentiel qu'une face plane assez étendue, limitée par deux arêtes rectilignes concourantes.

On applique la face de l'équerre sur le plan de l'épure, en plaçant l'une de ses arêtes en coïncidence avec la droite donnée. Ensuite, on applique sur la seconde arête, celle d'une règle ordinaire (30) appuyée aussi sur l'épure, puis maintenue dans cette position par une pression suffisante.

Enfin, on fait glisser l'équerre sur l'épure, en guidant sa seconde arête par celle de la règle (35, I), jusqu'à ce que sa première arête vienne passer par le point donné, et il n'y a plus qu'à tracer le long de celle-ci la parallèle cherchée. Il est clair, en effet, que la première arête de l'équerre s'est déplacée, à partir de la droite donnée jusqu'au point donné, en vertu d'un simple mouvement de translation ayant la seconde arête de l'équerre pour glissière mobile et celle de la règle pour glissière fixe correspondante.

64. Les arts de construction exigent très fréquemment que, par un point donné, on fasse passer dans l'espace une droite ou un plan parallèles à une droite ou à un plan donnés, tracés qui ne sont plus, comme le précédent, réalisables avec cette facilité directe. On emploie alors des moyens indirects variés, ayant pour base telles ou telles autres propriétés des figures parallèles, que nous rencontrerons plus loin.

Cas d intersection des droites et des plans.

65. Un plan qui coupe une droite sans la contenir tout entière coupe aussi toutes les droites et tous les plans qui sont parallèles à celle-ci.

66. Quand plusieurs droites parallèles sont dans un même plan, toute droite de ce plan qui coupe l'une sans se confondre avec elle, coupe aussi toutes les autres.

Car quelque autre plan passant par cette sécante, rencontre une des parallèles et, partant, toutes les autres (65). Donc son intersection avec le plan des parallèles, c'est-à-dire la sécante, rencontre aussi toutes celles-ci.

Par exemple ifig. 9), la sécante MX qui est située dans le plan où sont tracées les trois droites parallèles AB, A'B', A"B" et qui coupe la première en p sans coïncider avec elle, coupe aussi les dernières en p' et p".

67. Deux droites non parallèles et situées dans un même plan se rencontrent.

Car si, par un point quelconque A de l'une, AB {fig. 10), on mène la droite AE parallèle à la seconde CD, elle est située dans le plan ABCD (42) et ne coïncide pas avec la première; autrement AB serait parallèle à CD, contrairement à ce que nous supposons. Donc AB coupe AE (en A) et par suite (66) coupe aussi sa parallèle CD (en F).

68. Deux droites situées dans un même plan et ne se rencontrant pas, sont parallèles. Car elles se rencontreraient, si elles n'étaient pas parallèles (67).

69. Deux droites non parallèles et ne se rencontrant pas ne peuvent appartenir à un même plan. Car, en vertu des deux propositions précédentes, elles se rencontreraient ou bien seraient parallèles, si elles étaient toutes deux dans quelque même plan.

70. Deux droites par lesquelles, à la fois, on ne peut faire passer aucun plan, ne se rencontrent pas et ne sont pas parallèles. Car autrement, elles seraient dans un même plan (21, IV), (42).

CAS d'intersection des droites et des plans. 27

71. Une droite et un plan non parallèles se rencontrent. Raisonnement du n" 67, basé directement sur l'axiome du n" 65.

72. Une droite et un plan qui ne se rencontrent pas sont parallèles. Car ils se rencontreraient s'ils n'étaient pas parallèles

73. Une droite qui coupe un plan, coupe aussi tous ceux qui sont parallèles à celui-ci. Car n'étant pas parallèle au premier (47), elle ne l'est pas aux autres (59) et, partant, les rencontre tous (71).

74. Deux plans non parallèles se rencontrent. Car, parmi les droites parallèles au second, menées par quelque même point du premier, il y en a qui ne sont pas tout entières sur celui-ci ; autrement, en effet, ces deux plans seraient parallèles (60, in fine). Il y en a donc une au moins qui le coupe (71); par suite, le premier plan coupant inversement cette droite, coupe aussi le second, qui est parallèle à celle-ci (65).

75. Deux plans qui ne se rencontrcid pas sont parallèles. Car ils se couperaient, s'ils n'étaient pas parallèles (74).

76. Un plan qui en rencontre un autre sans coïncider avec lui, coupe aussi tous les plans qui sont parallèles à ce dernier. Car, n'étant pas parallèle au premier (56), il ne l'est pas aux autres (61), et, par suite, les rencontre tous (74).

77. Dans tout mouvement de translation, les glissières sont parallèles.

I. Deux glissières fixes, P, Q, sont dans un même plan. Car q désignant quelque point de la glissière mobile qui s'appuie sur Q, un plan mobile passant par q et par la glissière mobile p qui glisse sur P, demeure en coïncidence avec sa position initiale (36, II). Donc, la glissière Q, trajectoire du point q, est, comme celui-ci sans cesse, située tout entière dans cette position initiale, c'est-à-dire dans queliue plan fixe de l'espace contenant la glissière P.

II. Deux glissières fixes distinctes ne peuvent se rencontrer. Car, s'il en était autrement, le point de la figure mobile qui aurait leur point d'intersection pour position initiale, se déplacerait sur ces deux glissières à la fois ; par suite, il arriverait certainement aune autre position appartenant encore à ces deux droites à la fois. Celles-ci se confondraient donc (17, I), contrairement à l'hypothèse.