IM.IN

relation montrant que la distance M'N' est infiniment petite comme MN, parce que la quantité variable IN a IM pour limite évidente, et qu'ainsi le premier facteur du second membre a pour limite 0 : IM'.

On en conclut que la demi-droite M'N' a pour position-limite la demi-tangente en M' à la seconde ligne, qui est située dans le même demi-plan que celle en M à la première, position-limite de MN.

Maintenant, le triangle variable IM'N' donne sans cesse IM'N' = 2 dr, — IN'M' — MIN = 2 dr. — IMN — MIN, à cause de l'égalité des angles IN'M', IMN; en outre, l'angle MIN a pour limite zéro. La limite de IM'N' + IMN, c'est-à-dire la somme des limites de ces angles, est donc égale à 2 dr., fait équivalent à celui que nous voulions établir, puisque ces dernières limites

INVEKSIOX d'une DROITE, d'lN CEHCIJ:. 305

sont les angles formés avec M'.M et l'opijoscc de MM' par deux, demi-hingentes en M', M dans la dls[)osilion topographique en question.

Raisonnement aussi facile dans une inversion négative.

573. Hn des poinls correspondants M, M', deux liçjnes de la première figure et leurs inuerses se coupent sons des angles égaux (456), mais de directions giratoires opposées, puisque, dans un même demi-plan d'arête IMM' et par rapport à quelque même axe, les demi-tangentes aux deux premières lignes sont respectivement symétriques à celles de la seconde (572), (415).

Ainsi donc, l'inversion d'une figure en conserve tous les angles, ce qui est une proi)riélé essentielle de ce mode de transformation.

Il est encore plus évident, que si les deux lignes de la première

figure sont tangentes en M, leurs lignes inverses le sont en M'.

574. Quand une droite passe par l'origine, son inverse est une droite se confondant avec elle; c'est évident.

Autrement, son inverse est la circonférence ayant pour diamètre le segment compris entre l'origine I (fig. 152) et l'inverse P' du pied P de la dislance de cette origine à la droite considérée.

En appelant M, M' un point quelconque de la droite et son inverse, nous avons vu tout à l'heure (572), que deux triangles du genre de IPM, IM'P' sont toujours équiangles. L'angle M', égal à P, est donc droit, et le lieu du point M' est bien la circonférence précisée dans l'énoncé (565).

On voit ainsi, que, dans deux figures inverses, les seules droites doubles (402) sont celles qui passent par l'origine.

575. Quand une circonférence passe par l'origine, son inverse est la perpendiculaire sur le diamètre passant par I (fig. 152), et dont le pied P est l'inverse de l'autre extrémité P' du même diamètre.

Autrement, l'inverse est une autre circonférence coïncidant (mais non point sur point) avec l'homothé tique à la proposée relativement à l'origine I et au rapport de similitude 0 : ri, où 3, n représentent la puissance de l'inversion et celle de son centre I par rapport à cette proposée.

1. Dans le premier cas. soient M', M un point quelconque du cercle proposé et son point inverse, formant avec I, P', P les sonnuets de deux triangles IM'P', IPM, du genre de ceux que, plusieurs fois déjà, nous avons vu être équiangles. L'angle IM'P' étant droit, parce que I, P' sont les extrémités d'un même diamètre (565), son égal IPM l'est aussi. Le sommet P et le côté PI de cet angle étant fixes, son autre côté PM reste sans cesse appliqué sur la perpendiculaire en P à IP, qui est bien ainsi le lieu du point M.

II. Dans le second cas, et si l'inversion est positive quand Vorigine I est extérieure à la circonférence proposée, mais négative si ce point lui est intérieur, si, en outre, la puissance 0 de V inversion est égale à la puissance II de I par rapport à cette proposée (528), la figure inverse se confond avec cette même circonférence.

Soient, en efTet, M un point quelconque de la circonférence considérée, M' son point inverse et Mj la seconde trace de cette circonférence sur la droite IM.

Les relations

IM.IM'=:J, IM.IM, z=n = D

donnent immédiatement IM'=:îM,. Les points M', Mj coïncident donc, puisque les hypothèses topographiques assurent l'identité des directions des segments égaux BI', IM,.

III. Le cercle considéré S est ainsi l'inverse de lui-même 2 relativement à la puissance n (II), l'inverse aussi de sa ligne inverse £ relativement à la puissance ."*, ligne encore inconnue. Donc (571, V), £ et £, inverses toutes deux à 9 relativement à la même origine I, sont homothétiqucs par rapport au centre I, le rapport de similitude de la première au second étant 3 : n, et £ est bien une circonférence (551), [Cf. 582, inf.).

De tout ceci, on conclut que, rfan.s deux figures inverses, les seuls cercles doubles, outre celui des points doubles (571, IV) quand il existe, sont ceux par rapport auxquels le centre de l'inversion a une puissance égale à celle de rinversion, cela extérieurement ou intérieurement, selon que celle-ci est positive ou négative. Dans le premier cas, on voit immédiatement en outre, que les longueurs des tangentes menées du centre de l'inversion aux cercles doubles, sont précisément les ragons du cercle des points doubles, et qu'ainsi ce dernier coupe orthogonalement tous les autres.