AXE RADICAL DE DEUX CKHCLES

2° La droite de leurs centres quand ils ne le sont pas, et, en outre, sa perpendiculaire élevée au milieu de la distance de ces points, si leurs rayons sont égaux.

Quand ils sont concentriques, ils se confondent on n'ont (uicnn point commun, selon que leurs raijons sont c(j(nix ou inc(/(ULv; c'est évident.

Quand, au contraire, leurs centres O, o ne coïncident pas, et si ion nomme R > /• leurs rayons, leurs points comnuins, quand il en existe, sont ceux appartenant à Fun quelconque d'entre eux et à la droite perpendiculaire à la ligne des centres Oo, qui constitue le lieu des points dont la différence des carrés des distances à O, o est égale à l\- — r- (254), (499).

Cette seconde assertion n'est guère moins évidente, car, si M est un ])oint commun, on a OM ^:= H, oM ^=: /•, d'où

(1 ) ÔM'^ — Ôm' = Y{- — r\

relation montrant que M est bien sur la droite en question.

Inversement, si M est un point appartenant à la l'ois à cette droite et à la première circonférence par c\em[)le, on a la relation (1) avec OM = R, d'où oM- = /'', c'est-à-dire oM=r, et le même point appartient aussi à la deuxième circonférence.

577. Cette droite qui peut ainsi être substituée à l'un des cercles dans la recherche de leurs points d'intersection, est extrêmement remarquable et se nomme leur axe radical (579, inf.).

Comme, en vertu de la relation (1), chacun de ses points est au moins aussi éloigné de O que de o, il en est de même pour son pied P sur la droite des centres Oo, et le segment OV ne peut avoir une direction opposée à celle de Oo. En posant Oo=:rf, OP = x, cette distance x encore inconnue est déterminée par la relation (1) après substitution de P à M,

où d — .T représentera, ici comme plus loin, l'excès de la plus grande des quantités ainsi surlignées, sur la moindre. De là, et à cause de l'hypothèse essentielle d — Oo 7^ o, on tire immédiatement

R2 /.2 ^ fi2

La position de l'axe radical par rapport à la circonférence O aj^ant été déterminée ainsi, celles sur lui, des traces de cette circonférence seront aussitôt fournies par les considérations du n° 499, et ces traces, quand elles existent, seront les points communs cherchés à nos deux cercles.

578. Pour discuter ce qui se passe dans les divers cas à distinguer, recherclie fort utile, nous mettrons d'abord la formule (2) sous la forme

si R— d^r, ou sous cette autre

R — rf" — r2 (4) x = R+ — ,

pour R — rf ^ 7", ce que rendent facile des transformations évidentes.

Voici maintenant l'examen des cas en question.

I. R — /• < d < R + r. On a nécessairement R — rf < r, et la formule (3) donne x < R.

L'axe radical coupe la circonférence O en deux points distincts M,, Mo, symétriques par rapport à la droite des centres (499). Par suite (473, V), les angles sons lesquels les circonférences s'y coupent sont égaux. La figure 153 offre une disposition de ce genre.

On remarquera que ces hj-pothèses assurent l'existence de quelque triangle déchevêtré ayant pour côtés R, /•, ci (236), (590, inf.).

II. rf > R + r, ou rf < R — r. On a alors, dans la première hypothèse : R < rf, rf — R > /■, dans la seconde : R > rf, R — rf>r, et dans toutes deux ; R — rf>/', puis, en vertu de la formule (4), a: > R.

L'axe radical ne rencontre pas la circonférence O; par suite, nos deux cercles ne se i-cncontrent pas non plus.

En appelant m un point quelconque de l'un des cercles, et a le pied de sa distance à la droite des centres, la formule Ôm' — oiTi' = O^' — ôri' (254), combinée avec la relation évidente ±05i=bori = rf suivant les circonstances, rendra extrêmement facile la discussion de la distance de ce point à l'un des centres, quand il se meut sur l'autre circonférence.

On trouve ainsi dans l'hypothèse rf>R4-^> q"e tous les points du cercle o sont extérieurs au cei'cle O, et de même, que tous ceux de ce dernier sont extérieurs à l'autre (fig. 154). Dans l'hypothèse rf < R — r, on constatera que tous les points du cercle o de moindre rayon, sont intérieurs à l'autre, dont les points sont au contraire extérieurs au premier (fig. 155).

Chacune de ces deux hypothèses s'oppose évidemment à l'existence d'aucun triangle de côtés R, r, rf, qu'il soit déchevêtré ou non (236i.

III. rf = R— /', on rf = R — /'. Alors on a, ou rf — R = r, ou R — rf = y, toujours R — rf z= y. Les formules (3), (4), indiiférem-

DISCUSSION DES POINTS D'iNTERSECTION. 309

ment, donnent x = R; l'axe radical est tangent à la circonférence 0, à l'autre aussi par suite. Ces deux cercles n'ont qu'un point conmiun, situé nalurcllcinent sur la droite des centres, et ils y sont nuilucllenicnt tangents, puisqu'ils ont leur axe radical pour tangente conunune en ce point.

La méthode esquissée à la tin de l'alinéa précédent montrera que, sauf celui de contact, les points de chaque cercle sont extérieurs à l'autre dans la première hypolhése, contact extérieur (fig. 156) ; dans la seconde, ceux du cercle o sont intérieurs au cercle O, ceux de O extérieurs à o, contact intérieur (fig. 157). Dans les deux cas, il existe bien un triangle de côtés R, r, d, mais ses sonnnets sont toujours en ligne droite, et il est enchevêtré (206 j.

579. L'axe radical de deux cercles est le lieu des points dont les puissances par rapport à l'un et à l'autre (528) sont égales; par suite, ses points extérieurs aux cercles, sont ceux d'où les tangentes nwnées ci l'un et ci l'autre sont de même longueur (523).

C'est ce que montre immédiatement la relation (1), écrite

ÔM^ — R2 r= WV — r2

quand M est extérieur aux cercles (514), ou bien

R2 - ÔM' = /•' - ôm'

quand il leur est intérieur.

Ce fait confère une grande importance à l'axe radical dans un système de deux cercles. Assez souvent, on le nomme leur corde commune, cela même dans les cas où le manque d'intersections distinctes la fait disparaître.

Homothétie. — Tangentes communes.

580. Deux cercles appartiennent de deux manières à des figures homothéticpies entre elles, les unes l'étant directement, les autres inversement, mais où les centres sont toujours des points homologues, où le rapport de similitude est toujours égal à celui des rayons {Cf. 623, inf.).

Car M, M'i (fig. 158), ou M, M'., aussi bien, traces sur les deux circonférences de demi-droites issues de leurs centres O, O', et parallèles toujours directement ou toujours inversement, sont les extrémités de deux segments OM, O'M',, ou OM, O'M'^, dont le rapport OM : OM',, ou OM : 0'M%, est identique à r : r', rapport des rayons, constant par suite (396).

Le genre de l'homotliétie est celui du parallélisme. des demidroites considérées. Le centre Cj de l'homothétie directe dispa-

raît quand on a r = r' (403, V); autrement, il divise extérieurement le segment des centres 00' dans le rapport r : r'. Celui Cj de l'homothétie inverse existe toujours, divisant le même segment dans le même rapport, mais intérieurement.

Si les cercles étaient concentriques, les centres des deux homothéties se confondraient en leur centre commun.

581. Deux cercles peiwenl avoir deux paires de tangentes communes. En cas d'existence, celles de la première se coupent au centre d'homolliétie directe quand les rayons sont inégaux, sont parallèles à la droite des centres dans le cas contraire ; celles de la seconde passent de même par le centre inverse.

I. Toute tangente commune passe par un centre d'homothétie. Caries rayons menés aux points de contact dans les deux cercles lui étant perpendiculaires, sont parallèles entre eux, même homologues puisqu'ils passent par les centres qui le sont. Les points de contact sont donc homologues, et la tangente considérée, puisqu'elle les joint, est une droite double, passant ainsi par quelque centre d'homothétie, ou bien parallèle à la droite des centres des cercles, dont la direction est commune aux droites doubles quand les raj'ons sont égaux (403).

On se trouve dans ce dernier cas, ou dans celui où la tangente passe par le centre de l'homothétie directe, si la tangente commune est extérieure, c'est-à-dire laisse les cercles d'un même côté d'elle, car alors les rayons sont directement parallèles. Il s'agit, au contraire, du centre de l'homothétie inverse, si la tangente commune est intérieure, laissant les deux cercles de part et d'autre d'elle.

II. Toute droite issue d'un centre d'homothétie et tangente à un des cercles, lest aussi à l'autre. Car son homologue, qui se confond ainsi avec elle, est tangente au second cercle, le point de contact étant l'homologue de celui où elle touche le premier (473, 111).

III. La première paire existe, et les tangentes sont distinctes, quand le centre de l'homothétie directe est extérieur à l'un des cercles (à l'autre aussi par suite, évidemment) ou bien quand les rayons sont égaux; mais elle n'existe pas quand ce centre leur est intérieur. Quand le même centre est situé sur l'une des circonférences, sur l'autre aussi par suite, la paire existe encore, mais ses tangentes se confondent avec la tangente unique à l'une et à l'autre en ce point commun. Cette tangente unique est, en même temps, l'axe radical (578, III).

Des particularités du même genre peuvent se produire pour la seconde paire.

La fig. 158 représente deux cercles extérieurs l'un à l'autre, ayant par suite chacun de leurs centres d'homothétie extérieur à tous deux, ce dont on s'assurera facilement. Les deux paires