TANGENTES COMMUNES

(le tangentes communes existent, et dans chacune, une tangente a été tracée.

Inversion et liomologie,

582. Quand un centre d'honwthélie C, (fig. 159) de deux circonférences (), O' nest j)as sur l'une, ni sur l'autre par suite, il est aussi l'origine d'une inuersion existant entre elles (571 et suiu.).

Soient M un point mobile sur le premier cercle, M', son homologue sur l'autre, et 'M, la seconde trace de celui-ci sur la droite C,M. Le second cercle, considéré comme une figure ['M,] lieu des points 'M,, est inverse à lui-même (M',) relativement à l'origine C, et à la puissance de ce même point C, par rapport à ce cercle O', puissance supposée 7^ U (575, 11); mais cette figure [M',] est homothétiquc, avec le centre G,, à la (igure IM| constituée par le cercle O. Donc les figures [M|, ['M,], c'est-à-dire les cercles proposés O, O', sont inverses relativement à l'origine C, (571, V).

Ici, des points des cercles tels que M, 'M,, se correspondant dans l'inversion, c'est-à-dire en ligne droite avec le centre d'homothétie, origine de cette inversion, sans être homologues dans cette homothétie, sont dits antihomologues.

583. Des tangentes T, 'T, aux deux circonférences, qui sont antihomologues , c' est-à-dire dont les points de contact M, 'M, sont tels, se coupent toujours sur leur axe radical, ou lui sont parallèles.

Réciproquement, si, par un point quelconque J de l'axe radical (extérieur aux cercles), ou bien parallèlement à cet axe, on mène une tangente T au premier, deux 'T,, 'T^ au second, les tangentes T, 'T, sont antihomolognes relativement à un centre d'homolliétie, et T, 'T2 le sont aussi, mais relativement à l'autre centre.

I. Dans un même demi-plan d'arête M 'M,, deux demi-droites empruntées aux tangentes T et 'T, forment toujours des angles égaux avec M 'M, et 'xM,M, parce qu'il s'agit de lignes inverses (572).

Si donc ces tangentes se rencontrent en J, le triangle MJ'M, est isoscèle, les longueurs JM, J'M, des tangentes sont égales, et le point J appartient à l'axe radical (579). Si elles sont parallèles, elles sont perpendiculaires sur M 'M, ; cette droite passant alors par les centres des deux circonférences, est perpendiculaire aussi à l'axe radical, et celui-ci est parallèle aux tangentes.

Ceci est encore renfermé comme cas limite, dans le théorème du n» 584 (//(/".).

II. Le point J ayant été pris sur l'axe radical, les segments de

tangentes MJ, 'MjJ sont égaux dans un même demi-phm d'arête M'Mj, et les angles égaux JM'Mj, J 'M,M sont aigus.

Supposons maintenant M extérieur à la circonférence 0', et soient M'^ la seconde trace de celle-ci sur la sécante M'iNI,, puis T\ sa demi-tangente faisant, avec M'/M,, un angle égal à J'M,M (518), à JM'Mj par suite. Cette demi-droite étant forcément dans le demi-plan opposé à 'MiMJ, son angle avec M', 'M, et son égal JMM', sont alternes-internes par rapport à la sécante M', M. Les tangentes T',, T sont donc parallèles (185), les rayons O'M',, OM aussi; les points M',, M sont par suite homologues, et 'M,, M antihomologues, par rapport à quelque centre d'homothétie. Raisonnement semblable, si M est intérieur à la circonférence O', ou évidence quand il s'agit de tangentes parallèles à l'axe radical.

Mêmes considérations pour le second point de contact 'M.^, dont le caractère inverse avec M est évidemment relatif à l'autre centre d'homothétie.

584. Deux cordes antihomolognes, c'est-à-dire dont l'une a pour extrémités 'Q, 'R antihomolognes des extrémités Q, R de l'antre, se coupent aussi sur l'axe radical, ou lui sont simultanément parallèles.

Car ces quatre points étant sur une même circonférence à cause de l'inversion relative à quelque origine C (571, III), on a, si les droites en question se coupent en K (fig. 159),

KQ.KR = K'Q.K'R,

c'est-à-dire l'égalité des puissances de K par rapport aux deux cercles O, O' (579).

Si 'Q 'R est parallèle à QR, elle l'est aussi, non seulement à son homologue qr, mais encore à Q'R' homologue de QR, et, les trapèzes QRgr, Q'R' 'Q 'R étant inscrits dans les cercles O, 0', la droite issue de C, qui passe évidemment par les milieux de leurs quatre côtés parallèles QR, qr, Q'R', 'Q 'R à la fois (260, I), est perpendiculaire à tous (524), se confond, par suite, avec la droite des centres 00'.

585. Dans les parties un peu élevées de la Géométrie, on étudie Vhomologie de deux figures, relation importante pouvant être définie par le caractère suivant : la droite qui joint deux points quelconques d'une figure et celle qui joint leurs homologues dans l'autre, ou bien concourent sur un plan fixe H, dit plan d'homologie, ou bien sont parallèles à quelque même droite de ce plan {Cf. 396); d'où l'on conclut presque immédiatement, qu'une droite, un plan, ont pour homologue une droite, un plan aussi, et que la droite joignant deux points homologues, double alors, passe toujours par un point fixe double r, dit centre d'homologie, ou bien demeure parallèle à une droite fixe (Cf. 397, 403). Des considérations où nous ne pouvons entrer, réduisent l'homo-