CHAPITRE XX

CONSTRUCTIONS SIMPLES S EXECUTANT PAR DES INTERSECTIONS DE DROITES ET DE CERCLES.

Constructions exigeant i emploi du cercle.

587. Tracer un cercle (dans un plan donné), connaissant son rayon et son centre.

On emploie un compas (155) dont l'une des pointes a été

remplacée par une pièce portant un instrument propre à tracer une ligne déliée (cra3'on ou tire-ligne). On lui donne d'abord l'ouverture établissant entre les extrémités des branches une distance égale au rayon donné; au moyen d'une légère piqûre sur le papier, on arrête la pointe sèche au point assigné pour le centre ; en maintenant enfin la pointe traçante appuyée aussi sur l'épure, on fait pivoter l'ouverture du compas d'un tour autour de sa pointe sèche restant fixe.

La simplicité et la précision de ce tracé, plus grandes même que pour la droite car la réalisation matérielle d'une règle est une opération bien plus délicate que celle d'un compas, les propriétés cinématiques du cercle, lui assignent un rôle considérable dans la confection des épures.

533. Construire un triangle, connaissant deux côtés (non nuls) et l'angle (saillant) opposé à l'un d'eux.

Sur l'un des côtés de l'angle donné A (fig. 160) et à partir de son sommet, je porte une longueur AB égale au côté donné c du triangle inconnu qui doit le comprendre, et, de ce point B comme centre, avec un rayon égal au côté a du triangle qui doit être opposé à A, je décris une circonférence (587 1. Le troisième sommet G du triangle ne peut évidemment être qu'une trace de ce cercle sur la droite Ay, à laquelle l'autre côté de l'angle A a été emprunté. Réciproquement, toute semblable trace donne le troisième sommet d'un triangle (déchevêtré) répondant à la question, si elle tombe sur le côté Ay lui-même, non sur son prolongement Ay,, ni en son origine A. Les cas suivants peuvent se présenter.

I. a est > BP distance du point B à la droite Ay, dont l'expression, au moyen des données, est cjsinAj (317). La circonférence coupe cette droite en deux points G,, Go qui sont distincts et symétriques par rapport au point P (499).

1° Quand A est < 90% P tombe sur la demi-droite Ay (213), et G,, celle des deux traces qui rend la direction PGj identique à Ay, fournit toujours une solution. L'autre G.^ en donne une seconde, si toutefois PG. = PGi est < PA, c'est-à-dire (262) si a =: BGj = BG, est < BA ==c. Pour a^c, G^ se place en A et le triangle ABGo est enchevêtré, ou bien sur Ay, et l'angle en A du même triangle est, non égal, mais supplémentaire à l'angle donné.

2'^ Quand A est =90°, P se confond avec A, le triangle ABGj répond à la question ; l'autre ABG^ également, puisqu'il est rectangle aussi, avec les mêmes côtés pour son angle droit.

La construction est alors celle d'un triangle rectangle dont on donne l'hypoténuse a et un côté de l'angle droit c, toujours possible ainsi sous la condition a^ c (235).

3° Quand A est > 90f', P tombe sur Ay,; la trace G, donne une solution si a est > BA = c, car on a alors PGj > PA, et G, se