CONSTRUCTIONS DE TRIANGLES

place sur la dcmi-droilc Ay cllc-mcmc. L'autre C.j n'en donne jamais, parce qu'elle est sur Ay,.

II. a est = BP. I^cs traces C,, C.^ se confondent avec P (499), la circonférence étant tangente en P à la droite Ay (512). Les solutions possibles se réduisent au seul triangle ABP, rectangle en P, qui remplit les conditions de l'énoncé, est enchevêtré, ou

bien ne répond pas à la question, selon ([ue l'on a A ^90°.

III. a est <, BP. La circonférence auxiliaire ne rencontre pas la droite Ay, et aucun triangle ne peut exister avec les éléments donnés.

589. Construire un angle aigu, connaissant son sinus ou son cosinus.

Il suffît de prendre deux segments c, a dont le rapport c : a soit égal au sinus ou au cosinus donné, de construire un triangle rectangle ayant a pour hypoténuse et c pour un côté de l'angle droit (588, I, 2'), puis d'y prendre l'angle C opposé au côté c, ou l'angle aigu B adjacent.

Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que c< a, c'est-à-dire que le nombre donné pour le sinus ou le cosinus de l'angle inconnu soit < 1 (240j. Quand ce nombre est =1, on a c^^a, et l'angle cherché est droit ou nul, selon qu'il s'agit de son sinus ou de son cosinus.

589 bis. Si c'était la tangente de cet angle qui fût connue, ou bien sa cotangente, on i^rcndrait deux segments b, c dans un rapport b : c égal au nombre donné, on construirait un triangle rectangle ayant b, c pour côtés de son angle droit (235, II), puis on en prendrait l'angle aigu B, ou bien C.

Ce problème est toujours possible. Nous en consignons la solution ici, faute de lieu plus convenable; mais il faut remarquer qu'elle implique le simple tracé d'un angle connu (droit) et de segments à porter sur ses côtés, non celui de quelque cercle.

590. Construire un triangle, connaissant les longueurs a, b, c {non nulles) de ses trois côtés.

Des extrémités d'un segment BC ifig. 161) égal à l'un des côtés donnés a, prises pour centres, et avec des rayons égaux aux autres côtés c, b, je décris deux circonféi'ences. Le sommet A, opposé à BC dans le triangle inconnu, ne peut évidemment se trouver qu'à l'intersection de ces cercles ; réciproquement, une intersection, quand elle existera, donnera un triangle i déchevêtré) répondant à la question, si elle ne tombe pas sur la droite BC.

I. è — c < a < & -|- c. Les circonférences se coupent en deux points Aj, Ao non situés sur BC droite de leurs centres (578, 1),

et l'on a les deux triangles A,BC, A.^BC distincts en positions, mais n'en donnant qu'un seul en forme, parce qu'ils sont sj^métriques par rapport à la droite BC, partant égaux.

II. a = b-x-c, ou a=^h — c. Les circonférences ont, sur la droite BC, un contact qui est extérieur dans le premier cas, intérieur dans le second (Ibid. III). On trouve bien encore un triangle, mais il est enchevêtré parce que ses trois sommets sont en ligne droite.

III. a > 6 -|- c, ou a <ib — c. Les circonférences ne se rencontrent pas (Jbid. II), et le problème est impossible.

591. Construire deux segments rectilignes dont la somme ou différence soit égale à un segment donné p, et dont le produit des longueurs soit égal ci celui des longueurs q^O, r^O de deux autres segments, donnés aussi.

Sur une droite, à partir d'un même point I (fig. 162), je porte en IQ, IR deux segments égaux à 9(> r), r respectivement, cela dans des directions opposées ou identiques, selon que p doit être la somme ou la différence des segments cherchés (notre figure est conforme à la première hypothèse). Par l'un ou l'autre de ces points R, Q indififéreminent, Q, par exemple, je mène arbitrairement une droite QS différente de IQR, que toutefois nous prendrons perpendiculaire à celle-ci pour faciliter la discussion, et, sur laquelle, à partir de Q, je porte dans un sens arbitraire un segment QP égal à p. Je cherche le centre O de la circonférence passant par les trois points R, Q, P quand ils sont distincts (507), passant par R et tangente à Qy? en Q quand /> = 0, passant par P et tangente à QI en Q quand Q et R se confondent (519); puis, de ce même point 0 pris encore pour centre, avec 01 pour rayon, je décris une circonférence. Cela posé, si ce cercle rencontre la droite Q'P et si X désigne celle des deux intersections qui donne XQ>XP, ces deux segments sont ceux que l'on cherchait ; sinon le problème est impossible.

Effectivement, les points X, I étant équidistants du centre 0 de la première circonférence, ils lui sont tous deux à la fois, et par suite à ses cordes QP, QR (522), soit intérieurs, soit extérieurs, d'où XQ ± XP = PQ =p, selon que l'on aura voulu rendre égale à p, la somme ou la différence des segments inconnus. Pour la même raison, les puissances des mêmes points X, I par rapport à cette même circonférence, sont égales (552), et l'on a bien XQ.XP = IQ.IR = çr.

Pour que le problème soit possible, il faut évidemment et il suffit que 01, rajon de la circonférence résolvante, soit > O^, distance de son centre à la droite PQ qu'elle doit rencontrer ; à ce point de vue, les cas suivants peuvent se présenter.