I. C'est la somme des segments inconnus qui doit être égale

SIvGM. DONT L.V S. OU 1)1 IF. ET LE PKOI). SOXï UONNIÎS. 317

à p. Le point I est alors intérieur au se^nicnl QR, et en np\wlant / le pied sur lui, de sa distance au centre O, c'est-à-dire son point milieu, on a /Q = /\\ = {q -\- r) : 2, yl = q — {q -\- r) : 2 = (q-r):2.

D'autre part, et ceci parce que nous avons pris droit langlc RQa\ la distance Oa du centre O à la corde QP, qui a pour pied rà milieu de celle-ci, est parallèle à QR, et l'on a /0 = Qrj = p:2, Ojd = xQ = iq+ r) : 2. Il en résulte

et la condition de possibilité 01' ^ Or^i' devient

iq - /•)•■

Pi

iq

se

rédi

[lisant imméd

iatcmer

ità

El

qr.

Si c'est l'égalité qui a lieu, la circonférence résolvante est tangente en ci au segment QP, et les solutions XQ, XP sont alors égales.

II. Cesl la différence des segmenb inconnus qui doit cire égale à p. Dans ce cas, le point I est extérieur au segment QR, à la première circonférence par suite (522) ; on a donc 01 > OQ > Ocj, et la circonférence résolvante, dont le raj'on est 01, ne peut manquer de couper la droite QP, cela même à l'extérieur du segment QP; le problème est toujours possible.

592. On sait que la résolution d'une équation du deuxième degré équivaut à la recherche de deux quantités dont la somme (ou difîérence) et le produit aient des valeurs données. Par conséquent (591), tonte équation de cette sorte peut être résolue géométriquement, par rintersection d'une droite et d'une circonférence immédiatement constructibles au moyen des données.

593. La recherche d'une moyenne proportionnelle entre deux segments donnés q, r (c'est la résolution de l'équation .r- = qr) n'est que le cas particulier du problème traité au n" 591, où l'on donne pour les segments inconnus une difTérence p ^ 0.

Le point I est alors extérieur au segment QR ; P se confond avec Q, et le cercle RQP est tangent en Q à la perpendiculaire Qy?, aj^ant son centre en x milieu de QR ; la circonférence résolvante a pour rayon /l^zÇq-^r) : 2, et, en appelant J sa seconde trace sur son diamètre yl, on a non seulement QI = ç, mais QJ = / J — /Q = /I — /R = r. Ainsi donc, les tracés reviennent à

ceci : à partir de Q, sur une même droite, porter dans des directions opposées, des segments QI, QJ égaux à q, r ; sur IJ comme diamètre décrire une circonférence, en Q élever une perpendiculaire à IJ, et prendre la demi-corde découpée sur cette perpendiculaire par la circonférence. Nous retombons sur la construction classique de la moyenne proportionnelle.

Constructions n'exigeant pas te cercle, mais facilitées par son emploi, ou rendues plus précises.

594. Par un point donné I, mener une perpendiculaire sur une droite donnée CD (202).

Quand I est étranger à Œ), deux circonférences aj^ant pour centres des points distincts A, B pris arbitrairement sur cette droite et pour rayons, AI, BI respectivement, se couperont en I, se recouperont en un autre point .1, et la droite IJ sera perpendiculaire sur AB se confondant avec lO (578, I).

Pour exécuter tout le tracé avec une seule ouverture de compas, il suffira de prendre pour A, B(Jig- 163), les traces d'une circonférence décrite de I comme centre (avec un rayon suffisamment grand).

Si I était en / sur la droite donnée, on porterait en /A, iB deux segments égaux en longueur, mais de directions opposées, puis on prendrait la droite joignant les intersections I, J de deux circonférences décrites de A, B comme centres avec un même rayon r> /A, ou joignant / à un seul de ces points, tout aussi bien. Effectivement, A, B peuvent être considérés comme les intersections de deux cercles de même rayon, mais ayant I, J pour centres; IJ, droite de ces centres, est donc la perpendiculaire élevée sur le segment AB en son point milieu / (Ibid.).

595. Trouver le point milieu d'un segment donné AB (Jig. 163). Comme nous venons de le voir, il est la trace /, sur AB, de la droite IJ joignant les intersections I, J de deux cercles de rayons égaux, ayant A, B pour centres.

Ces deux tracés rendent de très grands services dans tous les arts, et aussi dans la confection des graphiques analogues à ceux de la Géométrie descriptive, où il faut quelquefois construire un grand nombre de droites perpendiculaires à une même autre. Ils fournissent effectivement avec beaucoup de précision une première perpendiculaire, à laquelle il ne reste plus qu'à mener autant de parallèles qu'on voudra.

Ils s'appliquent aussi à la construction et à la vérification des équerres (rectangulaires).